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1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四节第四节 洛朗级数洛朗级数二、洛朗级数的概念三、函数的洛朗展开式一、问题的引入四、小结与思考1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、问题的引入一、问题的引入问题问题:负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 收敛半径收敛半径收敛域收敛域收敛半径收敛半径收敛域收敛域两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分R3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结
2、束结束 结论结论:.常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: :.4机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、洛朗级数的概念二、洛朗级数的概念定理定理C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线. 为洛朗系数为洛朗系数.5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证证对于第一个积分对于第一个积分:R.z.6机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对于第二个积分对于第二个积分:7机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 其中其中8机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 下面证明下面
3、证明9机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则10机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如果如果C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简单的任何一条正向简单闭曲线闭曲线 . 则则可用一个式子表示为可用一个式子表示为:证毕证毕11机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明:函数函数在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数. 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，幂项的级数是唯一的， 这就
4、是这就是 f (z) 的洛朗级数的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法的一般方法. .12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、函数的洛朗展开式三、函数的洛朗展开式常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 间接法间接法 1. 直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数然后写出然后写出缺点缺点: 计算往往很麻烦计算往往很麻烦.13机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 根据正、负幂项组成的级数的唯一性根据正、负幂项组成的级数的唯一性, 可可用代数运算、代换、
5、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .优点优点 : 简捷简捷 , 快速快速 .2. 间接展开法间接展开法14机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1 1解解由定理知由定理知:其中其中15机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 故由柯西故由柯西定理知定理知:由高阶导数公式知由高阶导数公式知:16机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 另解另解17机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2 2 把把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解z的圆环域包
6、括的圆环域包括18机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 oxy119机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 12oxy由由且仍有且仍有20机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2oxy由由此时此时21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 仍有仍有22机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明:1. 函数函数在以在以为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有的负幂项的负幂项, 而且而且又是这些又是这些项的奇点项的奇点, 但是但是可能是函数可能是函数的奇点的
7、奇点,也可能也可能的奇点的奇点.不是不是23机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 给定了函数给定了函数与复平面内的一点与复平面内的一点以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式 (包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾回答：不矛盾 .朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛指函数在某一个给定的圆环域内的洛24机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结
8、束 例例3 3解解 25机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4 将函数将函数在在内展成洛朗展式内展成洛朗展式.解解26机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5 5内的洛朗展开式内的洛朗展开式. 解解 27机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 28机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 29机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、小结与思考四、小结与思考 在这节课中在这节课中, 我们学习了洛朗展开定理和函我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法数展开成洛朗级数的方法.
9、将函数展开成洛朗级将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点数是本节的重点和难点.30机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 洛朗级数与泰勒级数有何关系洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题思考题31机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 洛朗级数是一个双边幂级数洛朗级数是一个双边幂级数, 其解析部分是其解析部分是一个普通幂级数一个普通幂级数; 思考题答案思考题答案是一般与特殊的关系是一般与特殊的关系. . 洛朗级数的收敛区域是圆环域洛朗级数的收敛区域是圆环域32机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .作业作业: P73 14(1)(2)(3), 15, 33
