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1、 第二讲第二讲古典概型与概率的定义古典概型与概率的定义1 1第二讲古典概型与概率的定义第二讲古典概型与概率的定义一、一、 古典概型古典概型设设 随机试验随机试验E 具有下列特点：具有下列特点：1） 样本点个数有限样本点个数有限有限性有限性2） 每个样本点发生的可能性相等每个样本点发生的可能性相等 等可能性等可能性则称则称 E E 为为 古典古典( (等可能等可能) )概型概型古典概型中概率的计算：古典概型中概率的计算：记记 则则 概率的概率的古典定义古典定义2故故3第二讲古典概型与概率的定义（1.3.1）4第二讲古典概型与概率的定义古典概率的性质古典概率的性质规范性规范性有限可加性有限可加性
2、3、对于互不相容的事件对于互不相容的事件 有有非负性非负性5基本计数原理基本计数原理 这里我们先简要复习一下计算古典概率这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的所用到的1. 加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,； 第第m种方式有种方式有nm种方法种方法,无论通过哪种方法都可以无论通过哪种方法都可以完成这件事，完成这件事，则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1 + n2 + + nm 种方法种方法 .这样就把求概率问题转化为这样就把求概率问题转化为计数问题计数问题 .排列组合是计算
3、古典概率的重要工具排列组合是计算古典概率的重要工具 .基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法 .2. 乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,； 第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才算完成这件事，才算完成这件事， 加法原理和乘法原理是两个很重要加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列具体问题，同时也是推导下面常用排列
4、组合公式的基础组合公式的基础 .3、排列、组合的几个简单公式、排列、组合的几个简单公式排列和组合的区别：排列和组合的区别：顺序不同是顺序不同是不同的排列不同的排列3把不同的钥匙的把不同的钥匙的6种排列种排列而组合不管而组合不管顺序顺序从从3个元素取出个元素取出2个个的排列总数有的排列总数有6种种从从3个元素取出个元素取出2个个的组合总数有的组合总数有3种种（1）排列）排列: 从从n个不同元素取个不同元素取 k个个（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为：k = n时称全排列时称全排列排列、组合的几个简单公式排列、组合的几个简单公式ABDC例如：例如：n=4, k =3第第1次选取次选取
5、第第2次选取次选取第第3次选取次选取BDCBCDBDC从从n个不同元素取个不同元素取 k个（允许重复）个（允许重复）（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为：例如：从装有例如：从装有4张卡片的盒中张卡片的盒中有放回地摸取有放回地摸取3张张3241n=4,k =3123第第1张张4123第第2张张4123第第3张张4共有共有4.4.4=43种可能取法种可能取法（2）、组合）、组合: 从从n个不同元素取个不同元素取 k个个（1 k n)的不同组合总数为：的不同组合总数为：常记作常记作，称为组合系数。，称为组合系数。组合系数组合系数 又常称为二项式系数，因为又常称为二项式系数，因为它出现在下
6、面的二项式展开的公式中：它出现在下面的二项式展开的公式中：（3）、组合系数与二项式展开的关系）、组合系数与二项式展开的关系令令 a=-1,b=1利用该公式，可得到许多有用的组合公式：利用该公式，可得到许多有用的组合公式：令令 a=b=1,得得由由有有比较两边比较两边 xk 的系数，可得的系数，可得 运用二项式展开运用二项式展开（4）、）、n个不同元素分为个不同元素分为k组，各组元素组，各组元素数目分别为数目分别为r1,r2,rk的分法总数为的分法总数为r1个个元素元素r2个个元素元素rk个个元素元素n个个元素元素因为因为例例1 1 袋中有袋中有a 只白球，只白球，b 只红球，从袋中按只红球，从
7、袋中按不放回与放回两种方式取不放回与放回两种方式取m个球（个球（ ),求其中恰有求其中恰有 k 个个 （ ）白球的概率）白球的概率解解 （1）不放回情形不放回情形E: 球编号，任取一球，记下颜色，放在一球编号，任取一球，记下颜色，放在一边，重复边，重复 m 次次 :记事件记事件 A 为为m个球中有个球中有k个白球，则个白球，则19又解又解 E1: 球编号球编号, 一次取一次取 m 个球个球,记下颜色记下颜色 1:记事件记事件 A 为为m个球中有个球中有k个白球，则个白球，则不放回地逐次取不放回地逐次取 m 个球个球, 与一次任取与一次任取 m 个个球算得的结果相同球算得的结果相同.则则因此因此
8、称称超几超几何分布何分布20（2）放回放回 情形情形E2: 球编号球编号, 任取一球任取一球, 记下颜色记下颜色, 放回去放回去, 重复重复 m 次次 2:记记 B 为取出的为取出的 m 个球中有个球中有 k 个白球个白球, 则则称称二项分布二项分布21 设有设有 k 个不同的球个不同的球, 每个每个球等可能地落入球等可能地落入 N 个盒子中（个盒子中（ ）, 设设每个盒子容球数无限每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率求下列事件的概率:（1）某指定的）某指定的 k 个盒子中各有一球；个盒子中各有一球；（4）恰有）恰有 k 个盒子中各有一球；个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球）某指
9、定的一个盒子没有球；（2）某指定的一个盒子恰有）某指定的一个盒子恰有 m 个球个球( )（5）至少有两个球在同一盒子中；）至少有两个球在同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球）每个盒子至多有一个球.例例2 2 （分房模型）（分房模型） 22解解设设 (1) (6)的各事件分别为的各事件分别为则则23解：把解：把2n只鞋分成只鞋分成n堆堆,每堆每堆2只的只的分法总数为分法总数为而出现事件而出现事件A的分法数为的分法数为 ,故故例例3 n双相异的鞋共双相异的鞋共2n只，随机地分成只，随机地分成n堆，堆，每堆每堆2只只 . 问问:“各堆都自成一双鞋各堆都自成一双鞋”(事件事件A)的的概率是多少？概率
10、是多少？例4 袋中有a个红球，b个白球，现在把球随机地一个个摸出来，求第k次摸出的一个球是红球的概率（1ka+b）。解 以A表示事件“第k次摸出的一个球是红球”这一事件。把a个红球及b个白球都看作是不同的（比如设想它们都编了号），若把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b个位置上，则可能的排列法相当于把a+b个元素进行全排列。将每一种排列法作为一个样本点，那末各样本点的出现是等可能的，样本点总数为（a+b）！，下面求事件A所包含的样本点个数，由于第k次摸 得红球有a种取法，而另外（a+b-1)次摸球相当于a+b-1个球进行全排列，有（a+b-1)！种方法，故事件A所包含的样本点个数为a(a+b-
11、1)!。于是27第二讲古典概型与概率的定义1、几何概型、几何概型 向一个可度量的有限区域向一个可度量的有限区域 内投一点内投一点, 若该点落入若该点落入 内任何子区域内任何子区域 A 中的可能中的可能性大小只与该区域性大小只与该区域A的度量成正比的度量成正比, 而与而与其位置和形状无关，则称这个随机试验其位置和形状无关，则称这个随机试验为几何型随机试验，或为几何型随机试验，或几何概型几何概型。2、几何概率的计算、几何概率的计算二、几何概型二、几何概型 (等可能概型的推广等可能概型的推广)其中其中分别表示区域分别表示区域，区域，区域A A的度量。的度量。28例例5 5 （会面问题）两人相约（会面
12、问题）两人相约 7 7 点到点到 8 8 点在某点在某地会面，先到者等候另一个人地会面，先到者等候另一个人 20 20 分钟，过时分钟，过时就可离去，试求这两个人能会面的概率。就可离去，试求这两个人能会面的概率。解解：以以 x x , , y y 分别表示两个人到达时刻，则会分别表示两个人到达时刻，则会面的充要条件为面的充要条件为即即：0 0x xy y60606060G G20202020g gxa 3 3、几何概率的性质、几何概率的性质规范性规范性可列可加性可列可加性 3、对于互不相容的事件对于互不相容的事件 有有非负性非负性33公理公理2 P(S)=1 (2)公理公理3 若事件若事件A1
13、, A2 , 两两互不相容，则有两两互不相容，则有 (3)这里事件个数可以是有限或无限的这里事件个数可以是有限或无限的 .公理公理1 0 P(A) 1 (1) 设设E是随机试验，是随机试验，S是它的样本空间，对是它的样本空间，对于于S中的每一个事件中的每一个事件A，赋予一个实数，记为，赋予一个实数，记为P(A) ，称为事件，称为事件A的概率，如果集合函数的概率，如果集合函数 P( ) 满足下述三条公理满足下述三条公理:三、三、 概率的公理化定义概率的公理化定义公理公理2 P(S)=1 (2) 公理公理3 若事件若事件A1, A2 , 两两互不相容，则有两两互不相容，则有 (3)这里事件个数可以
14、是有限或无限的这里事件个数可以是有限或无限的.公理公理 1 0 P(A) 1 (1)公理公理1说明，任一事件的概率介于说明，任一事件的概率介于0与与1之间；之间；公理公理2说明，必然事件的概率为说明，必然事件的概率为1；公理公理3说明，对于任何说明，对于任何互不相容（互斥）互不相容（互斥）的的事件序列，这些事件至少有一个发生的概事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和率正好等于它们各自概率之和. 由概率的三条公理，我们可以推导由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质出概率的若干性质. 下面我们就来给出下面我们就来给出概率的一些简单性质概率的一些简单性质. 在说明这些
15、性质时，为了便于理在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于解，我们常常借助于文氏图文氏图.概率的性质概率的性质即不可能事件的概率为即不可能事件的概率为0 .有限可加性有限可加性 性质性质2 2 对于互不相容的事件对于互不相容的事件 有有由由 知，知， B=A(B-A) 且且 A(B-A)= ，因为因为1=P(S)=P(A)+P( ) 性质性质4对任一事件对任一事件A ，有，有 性质性质4在概率的计算上很有用，如果在概率的计算上很有用，如果正面计算事件正面计算事件A的概率不容易，而计算其的概率不容易，而计算其对立事件对立事件 的概率较易时，可以先计算的概率较易时，可以先计算 ，再计算，再计
16、算P(A). 性质性质4对任一事件对任一事件A ，有，有 (4)例例7 7 “分房模型分房模型”的应用的应用生物系二年级有生物系二年级有 n 个人，求至少有两个人，求至少有两人生日相同（设为事件人生日相同（设为事件A ) 的概率的概率.解解为为 n 个人的生日均不相同个人的生日均不相同,这相当于这相当于本问题中的人可被视为本问题中的人可被视为“球球”，365天为天为365只只“盒子盒子”若若 n = 64，每个盒子至多有一个球每个盒子至多有一个球. 由例由例4（6）性质性质5 对任意两个事件对任意两个事件A, B, 有有 BAB=AB+(B A)P(B)=P(AB)+ P(B AB) B -
17、ABAB性质性质6 加法公式：对任意两个事件加法公式：对任意两个事件A, B, 有有 推广：一般：右端共有 项.46 又因又因再由性质再由性质 3便得便得 . 则有则有（2）因为因为 ，所以，所以 例例1010 小王参加小王参加“智力大冲浪智力大冲浪”游戏游戏, 他能答出第他能答出第 一类问题的概率为一类问题的概率为0.7, 答出第二类问题的概率答出第二类问题的概率为为0.2, 两类问题都能答出的概率为两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王求小王解解 设事件设事件Ai 表示表示“能答出第能答出第 i 类问题类问题” i = 1,2(1)(1) 答出第一类而答不出第二类问题的概率答出第一类而答
18、不出第二类问题的概率 (2) 两类问题中至少有一类能答出的概率两类问题中至少有一类能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率两类问题都答不出的概率(2)(3)52 例例10中小王他能答出第一类问题的概率中小王他能答出第一类问题的概率为为0.7, 答出第二类问题的概率为答出第二类问题的概率为0.2, 两类两类问题都能答出的概率为问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是为什么不是 ？若是的话若是的话, 则应有则应有而现在题中并未给出这一条件而现在题中并未给出这一条件.在在1.5中将告诉我们上述等式成立的中将告诉我们上述等式成立的条件是条件是 ：事件：事件 相互独立相互独立.53解解 设设 A 表
19、示事件表示事件 “n 次取到的数字的乘积次取到的数字的乘积能被能被10整除整除”设设 A1 表示事件表示事件 “n 次取到的数字中有偶数次取到的数字中有偶数” A2表示事件表示事件 “n 次取到的数字中有次取到的数字中有5”A = A1 A2例例1111 在在1,2,3, ,9中重复地任取中重复地任取 n ( )个数个数, 求求 n 个数字的乘积能被个数字的乘积能被10整除的概率整除的概率.课堂练习课堂练习: 设设A , B满足满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下，在何条件下， P(AB) 取得最大取得最大(小小)值？值？ 最大最大(小小)值是多少值是多少？解解最小值在最小值在 时取得时取得 最小值最小值 最大值最大值最大值在最大值在 时取得时取得
