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1、8-1 位移法求解 第八章第八章 柱体的自在改动问题柱体的自在改动问题8-2 按应力函数求解 8-3 薄膜比较8-4 等截面杆改动按应力函数举例 8-5 薄壁杆的自在改动 在在第第五五章章的的最最后后我我们们以以圆圆柱柱形形杆杆的的改改动动问问题题为为例例来来阐阐明明空空间间三三维维问问题题的的求求解解过过程程。无膂力无膂力对于圆杆改动：扭矩对于圆杆改动：扭矩Mz =MTMz =MT 应力：应力： x=x= y=y= z=z= xy=0 xy=0 ， 位移分量：位移分量： u = -Kyz , v =Kxz , u = -Kyz , v =Kxz , w =0 , w =0 , K为单位位长改
2、改动角。角。 对于普通等截面杆改于普通等截面杆改动w w 0 0 称称为自在自在改改动，为了求解普通等截面杆自在改了求解普通等截面杆自在改动，参，参考考圆杆改杆改动解解进展假展假设半逆解。半逆解。8-1 位移法求解 对于普通等截面杆自在改于普通等截面杆自在改动，可，可设位移分量：位移分量： u= u= -Kyz -Kyz , , v= v= Kxz Kxz , , u u、v v与与园园杆杆改改动一致一致 w = K w = K(x,y) (x,y) w w不能不能为零零, , 为x,yx,y函数。而函数。而(x,y)(x,y)称称为 扭曲函数。扭曲函数。 8-1 位移法求解 无膂力等截面杆改
3、动位移表达式已设定。无膂力等截面杆改动位移表达式已设定。 未知量为：未知量为：K K和和 (x,y)(x,y)。工程工程应变分量：分量： u= -Kyz , v= Kxz , w= K(x,y) 8-1 位移法求解应力分量：应力分量： x=x= y=y= z=z= xy=0xy=0， 一切物理量均由一切物理量均由K K和和(x,y) (x,y) 表示。表示。 8-1 位移法求解 按位移法求解，根本方程为平衡微分方程三个。按位移法求解，根本方程为平衡微分方程三个。 或 2 = 0 两两个个平平衡衡微微分分方方程程自自然然满足足，而而第第三三个个方方程程为：8-1 位移法求解根根本本方方程程仅仅为
4、为一一个个，求求解解 (x,y)(x,y)的的方方程程。由根本方程可见由根本方程可见 (x,y)(x,y)为一个调合函数。为一个调合函数。同同时在在根根本本方方程程中中不不出出现K K。K K确确实定定当当然然也也应经过边境条件来确定。境条件来确定。扭扭曲曲函函数数 (x,y)(x,y)除除了了满足足 2 2 = = 0,0,还需求需求满足足边境条件，境条件，8-1 位移法求解首首先先调查扭扭杆杆侧边的的边境境条条件件：主主要要边境境在在侧边上方向余弦上方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0) (l,m,n)=(l,m,0) 面力：面力： 满足足 xyozMTMTMTMT8-1 位移法求解 y
5、xonMT-dxdy 上式也可以用上式也可以用 边境条件用境条件用(x,y)(x,y)的偏微分表示。的偏微分表示。 由于由于 那那么么 代入代入侧面面边境条件境条件 8-1 位移法求解在扭杆端面如在扭杆端面如z = 0):z = 0):法线的方向余弦法线的方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1) (l,m,n)=(0,0,-1) 杆端截面法杆端截面法线方向面力方向面力 ，满足；足；合力合力为零零合力矩合力矩为xyozMTMTMTMT而在杆端截面面内的面力分布不清楚，运用圣而在杆端截面面内的面力分布不清楚，运用圣维南原理，在南原理，在,x,y,x,y方向面力分量不清楚方向面力分量不清楚, ,但
6、要求但要求 8-1 位移法求解上式也可以表示为上式也可以表示为可以可以证明当扭曲函数明当扭曲函数(x,y)(x,y)在主在主要要边境上力境上力边境条件境条件满足足时，那么那么 和和 自然自然满足。足。见以以下：下： 8-1 位移法求解利用格利用格林公式林公式 2 2 = = 0 0 8-1 位移法求解 而第三个方程为：而第三个方程为： 扭矩扭矩MTMT与与K K 和和(x,y)(x,y)的关系。的关系。 小小结： 用位移法求解改用位移法求解改动问题归结为求解扭曲函数求解扭曲函数(x,y)(x,y)和和单位改位改动角角K K。 2 2 = 0 = 0 在在V V上上 在杆在杆侧边上上由由求求 (
7、x,y) (x,y) 8-1 位移法求解当当(x,y)(x,y)确定后，利用杆端面条件确定后，利用杆端面条件求求K K 令令 改改动刚度度 当当(x,y) (x,y) 和和K K均找到后，那么扭杆的位移、均找到后，那么扭杆的位移、应力均可求出。力均可求出。 作业：作业： 证明扭曲函数证明扭曲函数 能用来求椭圆截能用来求椭圆截面杆面杆 的改动问题，其中的改动问题，其中a a和和 b b 为为椭圆截面的半轴长度，并且扭矩为椭圆截面的半轴长度，并且扭矩为 8-2 按应力函数求解 按按位位移移法法求求解解改改动动问问题题要要求求在在V V内内求求解解调调和和方方程程 2 2 = 0, = 0,其边境条
8、件其边境条件 ( ( (x,y) (x,y) 的的微微分分方方式式但但能能满满足足边边境境条条件件调调合合函函数数 (x,y) (x,y) 是是不不易易找找到到的的。下下面面讨讨论论按按应应力力法法求求解解等等截截面面杆杆改改动动问问题题根根本本方方程程以以及及应应力力函数法求解等截面杆改动问题的作法。函数法求解等截面杆改动问题的作法。8-2 按应力函数求解2.1 2.1 按应力法求解方程按应力法求解方程 同同 圆 杆杆 改改 动 类 似似 ， 设 x=x= y=y= z=z= xy=0xy=0仅 存存 在在 zx(x,y)=zx(x,y)= xz xz 和和 zy(x,y)=zy(x,y)=
9、 yzyz两两个个应力力分分量量，将将应力力分分量量代代入入应力力法法的的根本方程九个三个平衡和六个相容方程根本方程九个三个平衡和六个相容方程8-2 按应力函数求解三个平衡方程：三个平衡方程： 前两式自然前两式自然满足，剩下一个控制方程足，剩下一个控制方程 无膂力相容方程无膂力相容方程为： 由于由于设 x=x= y=y= z=0z=0， = 0 = 0 8-2 按应力函数求解那么相容方程中有四个自然满足，仅剩下两那么相容方程中有四个自然满足，仅剩下两个个控制方程控制方程 2 2 zx =0 zx =0 和和 2 2 zy =0zy =0按按应力法求解力法求解根本方程根本方程为三个三个 2zx
10、=0 2zy =08-2 按应力函数求解边境条件：边境条件：在侧边：方向余弦在侧边：方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0) (l,m,n)=(l,m,0) 面力：面力： ；前两个方程；前两个方程满足；足； 第三个力第三个力边境条件：境条件：l l zx+mzx+m zy = 0 zy = 0 在端面：方向余弦在端面：方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1) (l,m,n)=(0,0,-1) 面力：面力： 满足。足。 8-2 按应力函数求解在在 x,y x,y 方向面力运用圣维南原理方向面力运用圣维南原理8-2 按应力函数求解2.2 2.2 按应力函数按应力函数 (x,y)(x,y)求解求解
11、 设应力分量与力分量与应力函数的关系力函数的关系为 那么那么应力法第一个根本方程平衡微分方程力法第一个根本方程平衡微分方程自自然然满足。足。8-2 按应力函数求解常数常数C C是什么？是什么？C C 和位移法公式中的和位移法公式中的系数有什么关系系数有什么关系? ? 将上式代入应力法的其它两个根本方程，得将上式代入应力法的其它两个根本方程，得 2 = C泊泊松方程松方程 由由应力函数法和位移法可知力函数法和位移法可知 8-2 按应力函数求解 将将应力函数力函数代入杆代入杆侧边的的边境条件境条件 l l zx+mzx+m zy = 0 zy = 0 8-2 按应力函数求解而而 代入代入边境条件，
12、得境条件，得 那么那么应力函数在扭杆力函数在扭杆侧边应该为常数常数 : : s s =C1 =C1 yxonMT-dxdyl zx+m zy = 0 8-2 按应力函数求解对于单连域：可取对于单连域：可取 s = 0 s = 0 x yS1S0S2对于复于复连域：可取一条域：可取一条边境限境限上上s s为零，而其它零，而其它边境境s s为非非零常数：零常数： s0 = 0, si =Ci 0, i=1,2,3再将再将(x,y)(x,y)代入端面上的代入端面上的边境条件：境条件：方向余弦方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1) (l,m,n)=(0,0,-1)， 面力：面力： 满足。足。8-2
13、 按应力函数求解在在x,yx,y方向面力运用圣维南原理方向面力运用圣维南原理第一、二方程恒第一、二方程恒满足。足。 第一个方程第一个方程 第二个方程第二个方程 8-2 按应力函数求解在在x,yx,y方向面力运用圣维南原理方向面力运用圣维南原理第三个方程第三个方程 yxoMTXY8-2 按应力函数求解当当为单连域域时：在：在s s上上 s = 0s = 0当当为多多连域域时： s0 = 0, si =Ci 0, i=1,2,38-2 按应力函数求解(Ai为si围成的面成的面积。) 8-2 按应力函数求解总结：总结： 按应力函数按应力函数 (x,y)(x,y)求解求解, , (x,y)(x,y)须
14、满足须满足 2 2 =-2KG= C =-2KG= C，且且 (x,y)(x,y)与与MT MT 之间满足之间满足 单连域单连域 多连域多连域8-2 按应力函数求解在柱体侧边在柱体侧边 s = 0 s = 0 单连域单连域 si si =Ci =Ci 多多连连域域 当当 k k 和和 (x,y) (x,y) 由由上上述述方方程程确确定定后后，可可求出求出 zxzx、 zyzy以及应变和位移。以及应变和位移。 8-3 薄膜比较 对于截面外形比较复杂的柱体，不论采用位对于截面外形比较复杂的柱体，不论采用位移法还是应力法求解改动问题解答解析解是移法还是应力法求解改动问题解答解析解是很困难的，而普朗特
15、很困难的，而普朗特ProndtlProndtl在在19031903年提出了年提出了薄膜比较，它利用薄膜在均匀压力下的垂度与等薄膜比较，它利用薄膜在均匀压力下的垂度与等截面直杆改动问题中的应力函数在数学上的类似截面直杆改动问题中的应力函数在数学上的类似性，用薄膜来比较扭杆，它可以协助我们寻觅改性，用薄膜来比较扭杆，它可以协助我们寻觅改动问题的解答动问题的解答, ,尤其是对截面较复杂的改动可以避尤其是对截面较复杂的改动可以避开数学上的困难，而采用实践薄膜比较实验测定，开数学上的困难，而采用实践薄膜比较实验测定，笼统的获得一些有价值的解。笼统的获得一些有价值的解。 8-3 薄膜比较xyooxzq T
16、TTTTTdydx 一均匀薄膜外形同扭杆一均匀薄膜外形同扭杆截面，周边固定，并使薄膜截面，周边固定，并使薄膜受均匀微小压力受均匀微小压力q q作用，薄膜作用，薄膜将悄然凸起，而构成曲面将悄然凸起，而构成曲面 z=z(x,y) z=z(x,y)，薄膜仅接受张力拉力薄膜仅接受张力拉力T T。 下面来寻求薄膜垂度下面来寻求薄膜垂度z=z(x,y) z=z(x,y) 所应满所应满足的方程和边境条件。足的方程和边境条件。8-3 薄膜比较xyooxzq TTTTTTdydx 寻求寻求z=z(x,y)z=z(x,y)应满足的应满足的方程，即求解方程是由薄方程，即求解方程是由薄膜微元膜微元dxdydxdy的的
17、z z方向的平衡方向的平衡条件来确定条件来确定( ( Fz = 0)Fz = 0)。8-3 薄膜比较xyooxzq TTTTTTdydx整理后，得整理后，得 或或 z(x,y) z(x,y) 所所应满足的方程。足的方程。 8-3 薄膜比较xyooxzq TTTTTTdydx与改与改动问题应力函数力函数(x,y)(x,y)所所应满足方程和足方程和边境条件相比境条件相比2 2 =-2KG =-2KG ，s = 0 s = 0 ， 与与z z之之间存在比存在比较关系关系: :薄膜垂度薄膜垂度z=z(x,y) z=z(x,y) 所应满所应满足的边境条件：足的边境条件：zs= 0单连域。域。8-3 薄膜
18、比较薄薄膜膜垂垂度度z(x,y)z(x,y)可可由由实实验验测测定定，再再根根据据上上再再根据上式可确定根据上式可确定 的分布规律。在应力函的分布规律。在应力函数解改动问题时，思索边境条件还有数解改动问题时，思索边境条件还有由此式确定比例系数单连域域 扭矩扭矩MTMT与薄膜垂度所与薄膜垂度所围成体成体积的两倍之的两倍之间也同也同样存在一致的比存在一致的比较关系。关系。8-3 薄膜比较对于多连域，对于多连域， 在孔边上应为常数，所以在在孔边上应为常数，所以在薄膜比较实验中，开孔区运用平行于薄膜比较实验中，开孔区运用平行于x- yx- y平平面的无重刚性平板来替代。面的无重刚性平板来替代。扭杆剪扭
19、杆剪应力：力： 剪剪应力力分分量量的的大大小小与与该薄薄膜膜垂垂度度上上对应点点沿沿垂垂直直方方向向的的斜率成正比斜率成正比8-3 薄膜比较 yxsnzyzx改动截面上恣意点总剪应力改动截面上恣意点总剪应力 应力矢量应力矢量t t数值和方向确定数值和方向确定: : 恣意点恣意点总剪剪应力数力数值可利用薄膜等高可利用薄膜等高线，平行于，平行于x- yx- y面的平面与薄面的平面与薄膜相截可膜相截可获得一系列得一系列闭合曲合曲线薄膜等高薄膜等高线。8-3 薄膜比较在等高线上恣意点应力可沿在等高线上恣意点应力可沿x,yx,y方向分解，也可沿方向分解，也可沿n,sn,s方方向分解。根据剪应力分量与向分
20、解。根据剪应力分量与薄膜垂度沿垂直方向斜率成比例薄膜垂度沿垂直方向斜率成比例: :在等高在等高线上上 , ,所以在等高所以在等高线上上 yxsnzyzx8-3 薄膜比较恣意点总剪力恣意点总剪力 等高等高线切方向与垂度等高切方向与垂度等高线的垂直方向斜的垂直方向斜 率成正比。薄膜等高率成正比。薄膜等高线为扭杆横截面上的剪扭杆横截面上的剪 应力力线。发生在薄膜具有最陡斜率的点生在薄膜具有最陡斜率的点处，普通在杆，普通在杆边境上。境上。 yxsnzyzx截面上的最大剪截面上的最大剪应力力 8-3 薄膜比较总结薄膜比较与杆改动各物理量之关系总结薄膜比较与杆改动各物理量之关系 柱改动柱改动 (x,y)
21、2GK Mz zx , zy 等高等高线方向线方向薄膜比薄膜比较较z(x,y)q/T 2V, 8-4 等截面杆改动按应力函数举例ba yx 采采用用应力力函函数数解解法法求求改改动问题,应力函数力函数(x,y) 在域内在域内满足方程足方程 2 =-2KG 1例题例题1. 1. 椭圆截面杆的改动。椭圆截面杆的改动。 在在边境境上上满足足方方程程 s s = = 0 0 2 2 以以及及 3 38-4 等截面杆改动按应力函数举例由于椭圆杆截面方程为由于椭圆杆截面方程为 因此，可因此，可设应力函数力函数(x,y) (x,y) 为那那么么(x,y)(x,y)自自然然满足足方方程程 s s = = 0
22、0。ba yx8-4 等截面杆改动按应力函数举例代回代回 (x,y) (x,y) 再代回再代回3 3式式 留意留意 ，将将 (x,y)(x,y)代入根本方程代入根本方程 2 2 =-2KG =-2KG ， 得得 8-4 等截面杆改动按应力函数举例再代回再代回3 3式式 留意留意 得得 8-4 等截面杆改动按应力函数举例应力分量应力分量 各点各点总剪剪应力：力： 最大剪最大剪应力在柱截面力在柱截面边境上境上 ： 设a a b b，当，当 y=b y=b 时 为最最大。大。 8-4 等截面杆改动按应力函数举例应变应变: : x=x= y=y= z=z= xy=0xy=0， 位移：当不思索位移：当不
23、思索刚体位移体位移时 椭圆杆改杆改动时，杆，杆纵向向发生位移。生位移。 8-4 等截面杆改动按应力函数举例例题例题2. 2. 等边三角形截面高为等边三角形截面高为a a受扭矩受扭矩MzMz 作用，求截面剪应力。作用，求截面剪应力。 x-a=0ax y解：解：对于于单连域，域，应力函数力函数 s s = = 0 0，思思索索此此缘由由，设 时同同椭圆杆改杆改动一一样，取，取 三角形截面杆的三角形截面杆的边境方程境方程为 的因子。的因子。8-4 等截面杆改动按应力函数举例 设 那么那么 (x,y)(x,y)自然自然满足方程足方程 s s = 0= 0。 2 =-2KG 得得 4ma=-2KG, 将
24、将 (x,y)(x,y)代入根本方程代入根本方程 x-a=0ax y8-4 等截面杆改动按应力函数举例利用利用 或或 得得 ，那，那么么 8-4 等截面杆改动按应力函数举例应力分量为应力分量为 截面上最大剪应力：截面上最大剪应力： y=-b/2 y=b/2 x=a/2 x x=-a/2 y8-4 等截面杆改动按应力函数举例例题例题3. 3. 矩形截面杆的改动。矩形截面杆的改动。 矩形截面矩形截面 (a (ab) b) 受扭矩受扭矩MzMz作用，作用，应力函数中要求力函数中要求 s = 0 s = 0 假假设假假设应力函数力函数为 满足足 s = 0s = 0，但，但 2 2 =-2kG =-2
25、kG 不能不能满足。足。 8-4 等截面杆改动按应力函数举例 所所以以直直接接采采用用上上述述 s s = = 0 0 的的假假设设式式不不能能作为改动的应力函数作为改动的应力函数. .x yab 利用薄膜比利用薄膜比较，来判，来判别狭矩形截面的狭矩形截面的应力函数特点。力函数特点。 对于于矩矩形形截截面面杆杆改改动首首先先思思索索 a a b b时的情况的情况, ,情况情况1:1:8-4 等截面杆改动按应力函数举例同同样外外形形薄薄膜膜周周边固固定定受受均均匀匀压力力作作用用时，薄薄膜垂度膜垂度变化如化如图，ozz yxx yab可可见垂度曲面沿垂度曲面沿x x方向很方向很长一段一段为柱柱面
26、，在此段面，在此段 ，只只是是在在狭狭矩矩形形截截面面两两端端部部 ，但但区区域域很小，近似法忽略两端影响很小，近似法忽略两端影响. .8-4 等截面杆改动按应力函数举例=(y) 这这样样狭狭矩矩形形界界面面改改动动应力函数应力函数 也以为也以为 应满足根本方程足根本方程为 1 1 ozz yx8-4 等截面杆改动按应力函数举例 s = 0 2 2 3 3 x yab8-4 等截面杆改动按应力函数举例由式由式1 1积两次分，得积两次分，得 将上式代入式将上式代入式2，得，得 C1= 0 , C2= GKb2/4 = -GK(y2-b2/4) 那么那么8-4 等截面杆改动按应力函数举例最后将最后
27、将 代入式代入式3 3，得，得 = -GK(y2-b2/4) 8-4 等截面杆改动按应力函数举例解得解得 那那么么 应力分量力分量截面上最大剪截面上最大剪应力力y=y= b/2 b/2： x yab8-4 等截面杆改动按应力函数举例缘由是忽略了由是忽略了 zyzy近似的，如不忽略近似的，如不忽略 zyzy很很小小，但但力力臂臂大大，产生生另另一一半半 Mz/2Mz/2，按近似按近似计算，偏于保守。算，偏于保守。实践上践上x yab将应力分量对截面形心取矩，得将应力分量对截面形心取矩，得8-4 等截面杆改动按应力函数举例情况情况2 2：普通矩形截面扭矩：普通矩形截面扭矩a a b b 且且a a
28、 b b : : a/2 a/2b/2b/2x y按按应力函数求解，力函数求解，那么那么(x,y)(x,y)应满足足 2 =-2KG b/2 = 0,， a/2 = 0 (x,y) (x,y) 和和 K K为待定。待定。 8-4 等截面杆改动按应力函数举例1.将将求求解解 (x,y)的的问问题题转转化化为为求求解解一一个个调调和和函函数数F(x,y) 的问题的问题.思思索索在在狭狭矩矩形形截截面面的的应力力函函数数为 1= 1= -GK(y2-GK(y2-b2/4)b2/4)能能满足足 2 2 1 1 =-2KG =-2KG 和和 1 1y=y= b/2 b/2 = = 0 0 条件，条件，选
29、普通矩形截面的普通矩形截面的 (x,y): (x,y): = = 1 +F(x,y)= -GK(y2-b2/4)+F(x,y)1 +F(x,y)= -GK(y2-b2/4)+F(x,y)a/2 a/2b/2b/2x y8-4 等截面杆改动按应力函数举例由于由于 (x,y) (x,y) 满足满足 2 2 =-2KG =-2KG， s = 0 ,s = 0 , . .因此因此 F(x,y) F(x,y) 需求满足需求满足 2F= 2F= 0 0 F Fy=y= b/2 = 0, F b/2 = 0, F x= x= a/2 = GK(y2-b2/4) a/2 = GK(y2-b2/4) = -GK
30、(y2-b2/4)+F(x,y)8-4 等截面杆改动按应力函数举例2.根据根据F(x,y)为调合函数以及满足对称边境条为调合函数以及满足对称边境条 件，件，F(x,y)亦采用级数方式的分别变量函数。亦采用级数方式的分别变量函数。 即：即： Am为待定系数。待定系数。 8-4 等截面杆改动按应力函数举例3、利用边境条件、利用边境条件 F a/2 = GK(y2-b2/4) 将将GK(y2-b2/4)展开为展开为 cos(my/b) 的级的级数，数， 可将可将 Am 用用 GK 表示。表示。 8-4 等截面杆改动按应力函数举例4.最最后后利利用用 ， 将将GK用用Mz 表表示示，并并可可确确定定应
31、应力力分分量量 zx , zy 。 详细过程参看徐芝纶上册详细过程参看徐芝纶上册P.330333。8-5 薄壁杆的自在改动 薄壁杆件在工程中经常碰见，它们可分薄壁杆件在工程中经常碰见，它们可分为开口薄壁和闭口薄壁杆件。下面分别讨论为开口薄壁和闭口薄壁杆件。下面分别讨论它们的计算方法。它们的计算方法。5.1开口薄壁杆件的自在改开口薄壁杆件的自在改动开口薄壁杆开口薄壁杆为单连域，其截面可由曲域，其截面可由曲边等等宽狭狭长矩形截面或由几个直矩形截面或由几个直边等等宽狭狭长矩形截矩形截面面组成。成。 8-5 薄壁杆的自在改动 对于曲边狭长形截面可近似以等宽的直边对于曲边狭长形截面可近似以等宽的直边狭长
32、截面替代进展计算。狭长截面替代进展计算。 从薄膜比从薄膜比较看两者看两者围成的体成的体积和最大斜率和最大斜率不会有多大差不会有多大差别，当两者受一，当两者受一样扭矩扭矩时，两个，两个柱体的柱体的K 和剪和剪应力没有多大差力没有多大差别。baMbax yM8-5 薄壁杆的自在改动baMbax yM直直边狭狭长截面剪截面剪应力力计算式算式8-5 薄壁杆的自在改动 对于于由由几几个个假假设干干个个同同样资料料的的狭狭矩矩形截面形截面组成的薄壁杆成的薄壁杆,其中第其中第 i个狭矩形截面个狭矩形截面长ai ，宽bi ，那么它，那么它应接受改接受改动为：MM3总的改的改动为： MM3M2M1M2M18-5
33、 薄壁杆的自在改动那么那么 代回代回 Mi Mi 表达表达式式 第第 i 个狭矩形截面上的最大剪个狭矩形截面上的最大剪应力力为8-5 薄壁杆的自在改动5.2闭口薄壁杆改动闭口薄壁杆改动 闭口薄壁杆口薄壁杆为多多连域，按域，按应力函数求解力函数求解时 根本方程：根本方程： 2 2 =-2KG =-2KGs0 = 0, si =Ci 0, i=1,2 Ai为si围成的面成的面积。 8-5 薄壁杆的自在改动对于二连域薄壁改动杆一个孔洞：对于二连域薄壁改动杆一个孔洞： 2 =-2kG s0 = 0, s1 =C1 S0s yxS18-5 薄壁杆的自在改动S0sx yS1对于薄膜比较，在外对于薄膜比较，
34、在外边固定，而内周用无边固定，而内周用无重刚性平板重刚性平板薄膜垂度方程薄膜垂度方程 2z=-q/T zs0 = 0, zs1 =h hqTTxz使薄膜受均匀使薄膜受均匀压力力q后，后，在在S0上：上：z=0,在在S1上：上：z=h.8-5 薄壁杆的自在改动对于闭口薄壁杆知：对于闭口薄壁杆知： Mz, Mz, ，s s 壁厚变壁厚变化化. . 求任一点剪求任一点剪应力力 s和和k : 而而 S0s yxS1S0sx yS1hqTTxz8-5 薄壁杆的自在改动而而 那那么么 剪剪应力力计算公式算公式 S0sx yS1hqTTxz 8-5 薄壁杆的自在改动由由 ，得到，得到 根据薄膜垂直方向的平衡
35、，得根据薄膜垂直方向的平衡，得 S0sx yS1hqTTxz8-5 薄壁杆的自在改动剪剪应力力环流定理流定理 S0s yxS18-5 薄壁杆的自在改动剪剪应力力环流定理流定理 剪应力环流定理：在柱体改动时，横截面剪应力环流定理：在柱体改动时，横截面内的恣意一条封锁曲线上，应力环流等于这曲内的恣意一条封锁曲线上，应力环流等于这曲线所围成的面积线所围成的面积 乘以乘以2GK.8-5 薄壁杆的自在改动剪剪应力力环流定理流定理 利用格林公式利用格林公式 8-5 薄壁杆的自在改动例例：知知 ABC：长长为为 s1，壁壁厚厚 1 ; CDA：长长为为 S2，壁壁厚厚 2 ; CEA：长为：长为 S3，壁厚
36、，壁厚 3。 受受扭扭矩矩 Mz。求求 1， 2， 3和和K。123ABA1A2CDEh2h1 1qTTT解：由未知量只需建立解：由未知量只需建立 有关它有关它们的四个方程。的四个方程。 由薄膜比由薄膜比较： 8-5 薄壁杆的自在改动可得可得 或或 1 1 剪力剪力总流量流量为分流之和分流之和123ABA1A2CDEh2h1 1qTTT8-5 薄壁杆的自在改动利用剪应力环流定理利用剪应力环流定理 2 3 由由 得得 123ABA1A2CDE8-5 薄壁杆的自在改动将将 代入上式，得代入上式，得4 1 3 2 8-5 薄壁杆的自在改动由由(1)、(2)、(3)、(4)式式联联立立求求解解，得得其中其中
