不等式的基本性质.ppt

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1、要点梳理要点梳理1.1.两个实数比较大小的方法两个实数比较大小的方法（1 1）作差法）作差法第七编 不等式7.1 7.1 不等关系与不等式不等关系与不等式 基础知识基础知识 自主学习自主学习 = = b b, ,b b c c _. _. (2) (2)同向相加性：同向相加性：a a b b, ,c c d d _. _. = = c ca a+ +c c b b+ +d d (3)(3)乘法单调性：乘法单调性： a a b b, ,c c00 _; _; a a b b, ,c c0 b b0,0,c c d d00 _; _; a a b b0(0(n nN N+ +) ) a an n

2、b bn n; ; a a b b0(0(n nN N+ +, ,n n2)2) 双向性：双向性：a a b b _. _. 3.3.不等式的一些常用性质不等式的一些常用性质 (1)(1)倒数性质倒数性质 a a b b, ,abab0 0 a a00 bcbcacac bdbdb b b b0,00,0c c d d 00a a x x b b或或a a x x b b0 b b0,0,m m0,0,则则真分数的性质：真分数的性质：假分数的性质：假分数的性质：基础自测基础自测1.1.若若x x+ +y y00，a a00,0,则则x x- -y y的值为的值为 （ ） A.A.大于大于0 B

3、.0 B.等于等于0 0 C. C.小于小于0 D.0 D.符号不能确定符号不能确定 解析解析 方法一方法一 因为因为a a0,0,0,所以所以y y00,0, 所以所以x x00，所以，所以x x- -y y0.0.应选应选A.A. 方法二方法二 a a0,0,0,取取a a=-2=-2得得-2-2y y0,0, 又又x x+ +y y0,0,两式相加得两式相加得x x- -y y0. 0. A2.2.设设a a、b b为非零实数为非零实数, ,若若a a b b, ,则下列不等式成立的是则下列不等式成立的是 （ ） A.A.a a2 2 b b2 2 B.B.abab2 2 =16b b2

4、 2=1,=1,故故A A错；错； 又又 故故D D错；错； 再令再令a a=1,=1,b b=4,=4,则则abab2 2=16=16a a2 2b b=4=4，故，故B B错，故选错，故选C. C. C3.3.若若a a2 2 b b2 2, ,则下列不等式成立的是则下列不等式成立的是 （ ） A.A.a a b b B. B. C.| C.|a a|b b| D.| D.以上均不对以上均不对 解析解析 a a2 2 b b2 2 | |a a| |2 2|b b| |2 2 | |a a| b b, ,则则acac2 2 bcbc2 2 B. B.若若a a b b0 abab b b2

5、 2 C. C.若若a a b b00，则，则 D.D.若若a a b b0 y y B.B.x x y y00 C. C.x x y y D.D.y y x x0 y y00或或x x y y0. 11时，时，x x3 3与与x x2 2- -x x+1.+1. 作差，通过分解因式判断差的符号作差，通过分解因式判断差的符号. . 解解 （1 1）( (x x-3)-3)2 2-(-(x x-2)(-2)(x x-4)-4) = =x x2 2-6-6x x+9-(+9-(x x2 2-6-6x x+8)=10,+8)=10, ( (x x-3)-3)2 2(x x-2)(-2)(x x-4)

6、.-4).题型分类题型分类 深度剖析深度剖析思维启迪思维启迪(2)(2)x x3 3-(-(x x2 2- -x x+1)=+1)=x x3 3- -x x2 2+ +x x-1 -1 = =x x2 2( (x x-1)+(-1)+(x x-1)=(-1)=(x x-1)(-1)(x x2 2+1),+1),x x1,1,x x3 3-(-(x x2 2- -x x+1)0,+1)0,当当x x11时，时，x x3 3 x x2 2- -x x+1.+1. （1 1）作差法步骤：作差）作差法步骤：作差变形变形判判断差的符号断差的符号. .作商法的步骤：作商作商法的步骤：作商变形变形判断判断商

7、与商与1 1的大小的大小. .（2 2）两种方法的关键是变形）两种方法的关键是变形. .常用的变形技巧有因式常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的大小的两个代数式来达到目的. . 探究提高探究提高知能迁移知能迁移1 1 (1)(1)比较比较x x6 6+1+1与与x x4 4+ +x x2 2的大小的大小, ,其中其中x xR R; ; (2) (2)设设a aR R, ,且且a a0,0,试比较试比较a a与与 的大小的大小. . 解解 （1 1）( (x x6 6+1)-(+1)-(x x4

8、 4+ +x x2 2) ) = =x x6 6- -x x4 4- -x x2 2+1=+1=x x4 4( (x x2 2-1)-(-1)-(x x2 2-1)-1) =( =(x x2 2-1)(-1)(x x4 4-1)=(-1)=(x x2 2-1)(-1)(x x2 2-1)(-1)(x x2 2+1)+1) =( =(x x2 2-1)-1)2 2( (x x2 2+1).+1). 当当x x= =1 1时，时，x x6 6+1=+1=x x4 4+ +x x2 2; ; 当当x x1 1时，时，x x6 6+1+1x x4 4+ +x x2 2. . （2 2）当当-1-1a

9、a011时时, , 当当a a-1-1或或00a a1 b b成立的充要条件是成立的充要条件是 （ ） A.A.a a2 2 b b2 2 B. B. C.lg C.lg a alg lg b b D. D. 可用特殊值代入验证，也可用不等式的可用特殊值代入验证，也可用不等式的 性质推证性质推证. . 解析解析 方法一方法一 取取a a=1,=1,b b=-2=-2，可验证，可验证A A、B B、C C均不正均不正 确，故选确，故选D.D. 方法二方法二 a a b b 2 2a a22b b 0 0 思维启迪思维启迪D探究提高探究提高 （1 1）判断一个关于不等式的命题的真假）判断一个关于不

10、等式的命题的真假 时时, ,先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑 , ,找到与命题相近的性质找到与命题相近的性质, ,并应用性质判断命题的真假并应用性质判断命题的真假, ,当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质数、指数函数的性质. .(2)(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法, ,在命题真假未定时在命题真假未定时, ,先用特殊值试试可以得到一些先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题对命题的感性认识，

11、如正好找到一组特殊值使命题不成立不成立, ,则该命题为假命题则该命题为假命题. .(3)(3)说明一个命题为假命题时说明一个命题为假命题时, ,可以用特殊值法可以用特殊值法, ,但不但不 能用特殊值法肯定一个命题，只能利用所学知识严能用特殊值法肯定一个命题，只能利用所学知识严 密证明密证明, ,在用不等式性质证明命题时在用不等式性质证明命题时, ,可适当使用可适当使用一些不等式性质的推广命题一些不等式性质的推广命题, ,本题就可以利用结论本题就可以利用结论“a ab,b,n nN N+ +，n n为奇数，则为奇数，则 ”. . 知能迁移知能迁移2 2 已知已知a a、b b、c cR R，则下

12、列推理：，则下列推理： a a3 3 b b3 3, ,abab0 0 a a2 2 b b2 2, ,abab0 0 0 0a a b b10,0, 即即a a b b,正确正确. .由由a a3 3 b b3 3, ,abab00可得可得a a b b, ,abab00，即即a a b b00或或b b a a0 b b2 2, ,abab00可得可得a a b b00或或a a b b0 b b00时时 但但a a b b00时，时， 故故不正确不正确. . 00a a b b1,loglog)logb b(1+(1+a a),), 故故正确正确. . 答案答案 C C题型三题型三 不等

13、式性质的应用不等式性质的应用 【例例3 3】（1212分）已知分）已知-1-1a a+ +b b33且且22a a- -b b4,4,求求2 2a a+3+3b b的的 取值范围取值范围. . 思维启迪思维启迪 将将2 2a a+3+3b b用用a a+ +b b和和a a- -b b表示出来，再利用不表示出来，再利用不 等式的性质求解等式的性质求解2 2a a+3+3b b的范围的范围. . 解解 设设2 2a a+3+3b b= =m m( (a a+ +b b)+)+n n( (a a- -b b),), 2 2分分 4 4分分 5 5分分-1-1a a+ +b b3,23,2a a-

14、-b b4, 4, 8 8分分 1010分分即即 1212分分 由由a a f f1 1( (x x1 1, ,y y1 1)b b, ,c c f f2 2( (x x1 1, ,y y1 1) b b a a- -b b0,0,a a b b a a- -b b0. b b acac bcbc或或a a b b acac b b a an n b bn n对于正数对于正数a a、b b才成立才成立. .4. 4. a a b b, ,对于正数对于正数a a、b b才成立才成立. .5.5.注意不等式性质中注意不等式性质中“”与与“”区别，如：区别，如：a a b b, ,b b c c a

15、 a c c, ,其中其中a a c c不能推出不能推出失误与防范失误与防范一、选择题一、选择题 1.1.下列四个数中最大的是下列四个数中最大的是 （ ） A.lg 2 B. A.lg 2 B. C.(lg 2) C.(lg 2)2 2 D.lg(lg 2) D.lg(lg 2) 解析解析 因为因为lg 2(0,1)lg 2(0,1)，所以，所以lg(lg 2)0;lg(lg 2) a a B.B.a a c cb b C. C.c c b b a a D.D.a a c c b b 解析解析 c c- -b b=4-4=4-4a a+ +a a2 2=(2-=(2-a a) )2 20,0,

16、 c cb b, ,已知两式作差得已知两式作差得2 2b b=2+2=2+2a a2 2, ,即即b b=1+=1+a a2 2, , b b=1+=1+a a2 2 a a,c cb b a a. . A3.3.已知已知a a, ,b b为非零实数为非零实数, ,且且a a b b, ,则则 （ ） A.A.a a2 2 b b2 2 B.B.a a2 2b b abab2 2 C.2 C.2a a-2-2b b0 D. 0 D. 解析解析 取取a a=-4,=-4,b b=2=2即可判断选项即可判断选项A A、B B、D D错错. . C4.4.已知已知a a、b b满足满足00a a b

17、 b11，下列不等式中成立的是，下列不等式中成立的是 （ ） A.A.a aa a b bb b B.B.a aa a b ba a C. C.b bb b b ba a 解析解析 取特殊值法取特殊值法. .B5.5.设设00b b a a11，则下列不等式成立的是，则下列不等式成立的是 （ ） A.A.abab b b2 21 B. 1 B. C.2 C.2b b22a a2 D.2 D.a a2 2 abab11 解析解析 y y=2=2x x是单调递增函数是单调递增函数, ,且且00b b a a1,1, 2 2b b22a a221 1, ,即即2 2b b22a a2. 2. C6.

18、6.若若 则下列不等式则下列不等式:a a+ +b b |b b|; |; a a b b c c0,0, 则则x x, ,y y, ,z z的大小顺序是的大小顺序是_._. 解析解析 方法一方法一 y y2 2- -x x2 2=2=2c c( (a a- -b b)0,)0,y y x x. . 同理，同理，z z y y,z z y y x x. . 方法二方法二 令令a a=3,=3,b b=2,=2,c c=1=1， 故故z z y y x x. . z z y y x x8.8.下列四个不等式：下列四个不等式： a a00b b;b b a a0;0;b b00a a;0;0b b

19、 b b0,0,则则 若若a a b b0,0,则则 若若a a b b0,0,则则 设设a a, ,b b是互不相等的正数，则是互不相等的正数，则 其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是_._.（把你认为正确命题（把你认为正确命题 的序号都填上）的序号都填上） 解析解析 作差可得作差可得 而而a a b b0,0,则则此式错误此式错误.a a b b00，则，则 进而可得进而可得 所所以可得以可得 正确正确. .若若 错误错误. .a a- -b b0 b b, ,e e f f, ,c c00，求证：，求证：f f- -acac b b, ,c c0,0,acac bcbc. . 又又e

20、 e f f,e e+ +acac f f+ +bcbc. . e e- -bcbc f f- -acac, ,即即f f- -acac e e- -bcbc. . 11.200811.2008年北京成功举办了第年北京成功举办了第2929届奥运会，中国取得届奥运会，中国取得 了了5151金、金、2121银、银、2828铜的骄人成绩铜的骄人成绩. .下表为北京奥运会下表为北京奥运会 官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某 球迷赛前准备用球迷赛前准备用12 00012 000元预订元预订1515张下表中球类比赛张下表中球类比赛 的门票：的门票： 若

21、在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下, , 该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中足球该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中足球 比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且足球比赛比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且足球比赛比赛项目比赛项目票价（元票价（元/ /场）场）男篮男篮1 0001 000足球足球800800乒乓球乒乓球500500门票的费用不超过男篮比赛门票的费用，求可以预订门票的费用不超过男篮比赛门票的费用，求可以预订的男篮比赛门票数的男篮比赛门票数. . 解解 设足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都预订设足球比赛门票数与乒乓球比赛门票

22、数都预订n n( (n nN N* *) )张，则男篮比赛门票预订（张，则男篮比赛门票预订（15-215-2n n）张，）张，由由n nN N* *，可得，可得n n=5,15-2=5,15-2n n=5.=5.可以预订男篮比赛门票可以预订男篮比赛门票5 5张张. . 12.12.设设f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx,1,1f f(-1)2,2(-1)2,2f f(1)4,(1)4,求求f f(-2) (-2) 的取值范围的取值范围. . 解解 方法一方法一 设设f f(-2)=(-2)=mfmf(-1)+(-1)+nfnf(1) (1) ( (m m, ,n n为待定系

23、数为待定系数),), 则则4 4a a-2-2b b= =m m( (a a- -b b)+)+n n( (a a+ +b b),), 即即4 4a a-2-2b b=(=(m m+ +n n) )a a+(+(n n- -m m) )b b, , f f(-2)=3(-2)=3f f(-1)+(-1)+f f(1).(1). 又又11f f(-1)2,2(-1)2,2f f(1)4,(1)4, 53 53f f(-1)+(-1)+f f(1)10,(1)10, 故故55f f(-2)10. (-2)10. 方法二方法二 f f(-2)=4(-2)=4a a-2-2b b=3=3f f(-1)+(-1)+f f(1).(1).又又11f f(-1)2,2(-1)2,2f f(1)4,(1)4,5353f f(-1)+(-1)+f f(1)10,(1)10,故故55f f(-2)10. (-2)10. 方法三方法三 由由 确定的平面区域如图确定的平面区域如图. .当当f f(-2)=4(-2)=4a a-2-2b b过点过点 时时, ,取得最小值取得最小值 当当f f(-2)=4(-2)=4a a-2-2b b过点过点B B(3,1)(3,1)时时, ,取得最大值取得最大值4 43-23-21=10,51=10,5f f(-2)10. (-2)10. 返回返回