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1、第三节 圆 的 方 程1.1.圆的定义、方程圆的定义、方程定义定义平面内到平面内到_的距离等于的距离等于_的点的轨迹叫做圆的点的轨迹叫做圆 方方程程标标准准(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2(r(r0)0) 圆心圆心C_C_半径为半径为r r 一一般般x x2 2+y+y2 2+Dx+Dx+Ey+F=0Ey+F=0 充要条件：充要条件：_圆心坐标：圆心坐标：_半径半径r=_r=_定点定点定长定长( (a,ba,b) )D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 02.2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系(1)(1)确定方法：比较确定方法：比较_与与_的距离与半
2、径的大小关系的距离与半径的大小关系. .(2)(2)三种关系：三种关系：圆的标准方程圆的标准方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2，点，点M(xM(x0 0,y,y0 0).)._点在圆上；点在圆上；_点在圆外；点在圆外；_点在圆内点在圆内. .点点圆心圆心(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r=r2 2(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括
3、号中打“”或或“”).).(1)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径确定圆的几何要素是圆心与半径.( ).( )(2)(2)方程方程(x+a)(x+a)2 2+(y+b)+(y+b)2 2=t=t2 2(tR)(tR)表示圆心为表示圆心为( (a,ba,b) )，半径为，半径为t t的的一个圆一个圆.( ).( )(3)(3)方程方程x x2 2+y+y2 2+ax+2ay+2a+ax+2ay+2a2 2+a-1=0+a-1=0表示圆心为表示圆心为 半径为半径为 的圆的圆.( ).( )(4)(4)方程方程AxAx2 2+Bxy+Cy+Bxy+Cy2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表
4、示圆的充要条件是表示圆的充要条件是A=C0A=C0，B=0B=0，D D2 2+E+E2 2-4AF-4AF0.( )0.( )(5)(5)若点若点M(xM(x0 0,y,y0 0) )在圆在圆x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0外，则外，则x x0 02 2+y+y0 02 2+Dx+Dx0 0+Ey+Ey0 0+F+F0.( )0.( )【解析解析】(1)(1)正确正确. .圆由其圆心和半径两个要素就确定了圆由其圆心和半径两个要素就确定了. .(2)(2)错误错误. .当当t0t0时，方程表示圆心为时，方程表示圆心为(-a,-b)(-a,-b)，半径为，半径为
5、|t|t|的圆的圆. .(3)(3)错误错误. .当当a a2 2+(2a)+(2a)2 2-4(2a-4(2a2 2+a-1)+a-1)0 0即即-2-2a a 时才表示圆时才表示圆. .(4)(4)正确正确. .因为因为A=C0,B=0,DA=C0,B=0,D2 2+E+E2 2-4AF-4AF0 0得方程得方程AxAx2 2+Bxy+Cy+Bxy+Cy2 2+ +Dx+Ey+FDx+Ey+F=0=0表示圆，反之也成立表示圆，反之也成立. .(5)(5)正确正确. .因为点因为点M(xM(x0 0,y,y0 0) )在圆外，所以在圆外，所以答案答案: :(1) (2)(1) (2) (3)
6、 (3) (4) (5) (4) (5)1.1.圆心为点圆心为点(0(0，1)1)，半径为，半径为2 2的圆的标准方程为的圆的标准方程为( )( )(A)(x-1)(A)(x-1)2 2+y+y2 2=4 (B)x=4 (B)x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2=2(C)x(C)x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4 (D)(x-1)=4 (D)(x-1)2 2+y+y2 2=2=2【解析解析】选选C.C.由已知得圆的标准方程为由已知得圆的标准方程为(x-0)(x-0)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2=22 2，即，即x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4.=4.2.
7、2.圆圆x x2 2+y+y2 2-4x+6y=0-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是的圆心坐标和半径分别是( )( )(A)(2(A)(2，3)3)，13 (B)(-213 (B)(-2，3)3)，1313(C)(-2(C)(-2，-3)-3)， (D)(2(D)(2，-3)-3)，【解析解析】选选D.D.由由x x2 2+y+y2 2-4x+6y=0-4x+6y=0得得(x-2)(x-2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=13=13，故圆心坐，故圆心坐标为标为(2(2，-3)-3)，半径为，半径为3.3.若点若点(2(2，3)3)在在C:(x-1)C:(x-1)2 2+(y-2)+(
8、y-2)2 2=r=r2 2内，则内，则( )( )( (A)rA)r= (B) = (B) ( (C)rC)r (D) (D) 【解析解析】选选B.B.由已知得由已知得 即即或或r r4.4.方程方程x x2 2+y+y2 2+4mx-2y+5m=0+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是表示圆的充要条件是( )( )(A) (A) m m1 (B)m1 (B)m1 1( (C)mC)m ( (D)mD)m 或或m m1 1【解析解析】选选D.D.由已知得充要条件为由已知得充要条件为(4m)(4m)2 2+(-2)+(-2)2 2-4-45m5m0 0，即，即4m4m2 2-5m+1-5m
9、+10 0，解得：，解得：5.5.已知点已知点A(1,2)A(1,2)在圆：在圆：x x2 2+y+y2 2+ax-2y+b=0+ax-2y+b=0上，且点上，且点A A关于直线关于直线x-x-y y=0=0的对称点的对称点B B也在圆上，则也在圆上，则a=_,b=_.a=_,b=_.【解析解析】方法一：点方法一：点A(1,2)A(1,2)关于直线关于直线x-yx-y=0=0的对称点为的对称点为B(2,1)B(2,1)，又因为，又因为A A，B B两点都在圆上，两点都在圆上，所以所以方法二：易知圆心在方法二：易知圆心在y=xy=x上，上，即即a=-2,a=-2,又又点点A(1,2)A(1,2)
10、在圆在圆x x2 2+y+y2 2-2x-2y+b=0-2x-2y+b=0上，上，1 12 2+2+22 2-2-21-21-22+b=0,b=1.2+b=0,b=1.答案答案: :-2 1-2 1考向考向 1 1 确定圆的方程确定圆的方程【典例典例1 1】(1)(2013(1)(2013哈尔滨模拟哈尔滨模拟) )过点过点A(6A(6，0)0)，B(1B(1，5)5)，且，且圆心圆心C C在直线在直线l：2x-7y+8=02x-7y+8=0上的圆的方程为上的圆的方程为_._.(2)(2)已知已知A(0A(0，1)1)，B(2B(2，1)1)，C(3C(3，4)4)，D(-1D(-1，2)2)，
11、问这四点能，问这四点能否在同一个圆上？为什么？否在同一个圆上？为什么？【思路点拨思路点拨】(1)(1)可根据已知条件，先求其圆心可根据已知条件，先求其圆心C C的坐标，再求的坐标，再求圆的半径圆的半径r=|AC|r=|AC|；也可用待定系数法，设出圆的标准方程或一；也可用待定系数法，设出圆的标准方程或一般方程，依据已知条件构建关于般方程，依据已知条件构建关于a,b,ra,b,r或或D,E,FD,E,F的方程组求解的方程组求解. .(2)(2)先求过先求过A A，B B，C C三点的圆的方程，再验证点三点的圆的方程，再验证点D D与圆的位置关与圆的位置关系即可系即可. .【规范解答规范解答】(1
12、)(1)方法一：方法一：A(6A(6，0)0)，B(1B(1，5)5)，线段线段ABAB的中点坐标为的中点坐标为ABAB垂直平分线方程为垂直平分线方程为即即x-y-1=0.x-y-1=0.由方程组由方程组 得圆心得圆心C C的坐标为的坐标为(3(3，2).2).又半径又半径所求圆的方程为所求圆的方程为(x-3)(x-3)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=13.=13.方法二：设所求圆的方程为方法二：设所求圆的方程为(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2. .由已知，得由已知，得所求圆的方程为所求圆的方程为(x-3)(x-3)2 2+(y-2)+(y-2)2
13、2=13.=13.方法三：设所求圆的方程为方法三：设所求圆的方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0(D+Dx+Ey+F=0(D2 2+E+E2 2-4F-4F0)0)，则则所求圆的方程为所求圆的方程为x x2 2+y+y2 2-6x-4y=0-6x-4y=0，即即(x-3)(x-3)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=13.=13.答案答案: :(x-3)(x-3)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=13=13(2)(2)设经过设经过A A，B B，C C三点的圆的方程为三点的圆的方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0(D+Dx+Ey+F=0(D2 2+E+E2
14、 2-4F-4F0)0)，则则故经过故经过A A，B B，C C三点的圆的方程为三点的圆的方程为x x2 2+y+y2 2-2x-6y+5=0.-2x-6y+5=0.即即(x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=5.=5.把点把点D D的坐标的坐标(-1(-1，2)2)代入上面方程的左边，得代入上面方程的左边，得(-1-1)(-1-1)2 2+(2-+(2-3)3)2 2=5.=5.所以点所以点D D在经过在经过A A，B B，C C三点的圆上，故三点的圆上，故A A，B B，C C，D D四点四点在同一个圆上在同一个圆上. .【互动探究互动探究】若将本例题若将本例题(1)(1
15、)中条件变为中条件变为“经过点经过点A(6A(6，0)0)，且，且与直线与直线l:2x-3y+13=0:2x-3y+13=0相切于点相切于点B(1B(1，5)5)的圆的圆”，结果如何？，结果如何？【解析解析】依题设可知，圆心在过切点依题设可知，圆心在过切点B(1B(1，5)5)且与且与l垂直的直线垂直的直线上，其斜率为上，其斜率为 所以方程为所以方程为 即即3x+2y-13=0.3x+2y-13=0.又圆心在又圆心在ABAB的垂直平分线的垂直平分线x-y-1=0x-y-1=0上，上，由由 得圆心得圆心(3(3，2).2).半径半径 因此所求圆的方程为因此所求圆的方程为(x-3)(x-3)2 2
16、+(y-2)+(y-2)2 2=13.=13.【拓展提升拓展提升】 1.1.求圆的方程的两种方法求圆的方程的两种方法(1)(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程进而写出方程. .(2)(2)待定系数法：待定系数法：若已知条件与圆心若已知条件与圆心( (a,ba,b) )和半径和半径r r有关，则设圆的标准方程，有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于依据已知条件列出关于a a，b b，r r的方程组，从而求出的方程组，从而求出a a，b b，r r的的值值; ;若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方
17、程，若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于依据已知条件列出关于D D，E E，F F的方程组，进而求出的方程组，进而求出D D，E E，F F的的值值. .2.2.确定圆心位置的方法确定圆心位置的方法(1)(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上圆心在过切点且与切线垂直的直线上. .(2)(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上圆心在圆的任意弦的垂直平分线上. .(3)(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线两圆相切时，切点与两圆圆心共线. .【变式备选变式备选】求圆心在直线求圆心在直线y=-4xy=-4x上，并且与直线上，并且与直线l:x+y-1=0:x+y-1=0
18、相相切于点切于点P(3P(3，-2)-2)的圆的方程的圆的方程. .【解析解析】方法一：设圆心方法一：设圆心C(a,-4a)C(a,-4a)，由题意得：由题意得：即即a a2 2-2a+1=0-2a+1=0，解得，解得a=1a=1，圆心圆心C(1C(1，-4)-4)，r=|PC|= r=|PC|= 圆的标准方程为圆的标准方程为(x-1)(x-1)2 2+(y+4)+(y+4)2 2=8.=8.方法二：过切点方法二：过切点P P且与且与l垂直的直线是垂直的直线是y+2=x-3y+2=x-3，即，即x-y-5=0.x-y-5=0.由由 得圆心得圆心(1(1，-4)-4)，于是于是r=r=圆的方程为
19、圆的方程为(x-1)(x-1)2 2+(y+4)+(y+4)2 2=8.=8.考向考向 2 2 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题【典例典例2 2】(1)(2013(1)(2013武汉模拟武汉模拟) )在圆在圆x x2 2+y+y2 2-2x-6y=0-2x-6y=0内，过点内，过点E E(0(0，1)1)的最长弦和最短弦分别为的最长弦和最短弦分别为ACAC和和BDBD，则四边形，则四边形ABCDABCD的面积的面积为为( )( )(2)(2)已知实数已知实数x x，y y满足方程满足方程x x2 2+y+y2 2-4x+1=0.-4x+1=0.求求 的最大值和最小值；的最大值和最小值；求求
20、y-xy-x的最大值和最小值；的最大值和最小值；求求x x2 2+y+y2 2的最大值和最小值的最大值和最小值. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)由图形的几何性质判断并求得最长弦由图形的几何性质判断并求得最长弦ACAC和最和最短弦短弦BDBD是关键是关键. .(2)(2)充分利用所求代数式的几何意义，运用几何法求解充分利用所求代数式的几何意义，运用几何法求解. . 为为点点( (x,yx,y) )与原点连线的斜率与原点连线的斜率;y-xy-x表示动直线表示动直线y=y=x+bx+b在在y y轴上的轴上的截距；截距；x x2 2+y+y2 2表示点表示点( (x,yx,y) )与原点的距离的平
21、方，也可以消去与原点的距离的平方，也可以消去一个元，转化为在函数定义域内求最值一个元，转化为在函数定义域内求最值. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.B.由题意可知，圆的圆心坐标是由题意可知，圆的圆心坐标是(1(1，3)3)，半径是半径是 且点且点E(0E(0，1)1)位于该圆内，位于该圆内，由图形的几何性质得，过点由图形的几何性质得，过点E(0E(0，1)1)的最短弦是以该点为中点的最短弦是以该点为中点的弦，的弦，最短弦长最短弦长而过而过E(0E(0，1)1)的最长弦长等于该圆的直径，即的最长弦长等于该圆的直径，即 且且ACBDACBD，S S四边形四边形ABCDABCD= =(2)
22、(2)原方程可化为原方程可化为(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=3,=3,表示以表示以(2,0)(2,0)为圆心，为圆心， 为半为半径的圆，径的圆， 的几何意义为点的几何意义为点( (x,yx,y) )与原点连线的斜率与原点连线的斜率. .所以设所以设 即即y=y=kxkx, ,当直线与圆相切时，斜率当直线与圆相切时，斜率k k取最大值或最小值，取最大值或最小值，此时此时 解得解得 的最大值为的最大值为 最小值为最小值为y-xy-x可看作直线可看作直线y=y=x+bx+b在在y y轴上的截距轴上的截距. .当直线与圆相切时，直当直线与圆相切时，直线线y=y=x+bx+b在在y y轴上的
23、截距取最大值或最小值，此时轴上的截距取最大值或最小值，此时 解得解得 所以所以y-xy-x的最大值为的最大值为 最小值为最小值为方法一：方法一：x x2 2+y+y2 2表示点表示点( (x,yx,y) )与原点的距离的平方与原点的距离的平方. .由平面几何由平面几何知识可知，原点与圆心的连线所在直线与圆的两个交点处取得知识可知，原点与圆心的连线所在直线与圆的两个交点处取得最大值或最小值最大值或最小值. .又圆心到原点的距离为又圆心到原点的距离为2 2，故，故方法二：由方法二：由x x2 2+y+y2 2-4x+1=0-4x+1=0得：得：y y2 2=-x=-x2 2+4x-1,+4x-1,
24、且且-x-x2 2+4x-10,+4x-10,即即x x2 2+y+y2 2=x=x2 2+(-x+(-x2 2+4x-1)=4x-1,+4x-1)=4x-1,【拓展提升拓展提升】 1.1.与圆有关的长度或距离最值问题的解法与圆有关的长度或距离最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解求解. .2.2.与圆上点与圆上点( (x,yx,y) )有关代数式的最值的常见类型及解法有关代数式的最值的常见类型及解法(1)(1)形如形如 型的最值问题，可转化为过点型的最值问题，可转化为过点( (a,ba,b) )和点和点(
25、 (x,yx,y) )的直线的斜率的最值问题的直线的斜率的最值问题. .(2)(2)形如形如t=t=ax+byax+by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题问题. .(3)(3)形如形如(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2型的最值问题，可转化为动点到定点的型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题距离平方的最值问题. .【变式训练变式训练】在在OABOAB中，已知中，已知O(0O(0，0)0)，A(8A(8，0)0)，B(0B(0，6)6)，OABOAB的内切圆的方程为的内切圆的方程为(x-2)(x-2)2 2+(y
26、-2)+(y-2)2 2=4=4，P P是圆上一点是圆上一点. .(1)(1)求点求点P P到直线到直线l：4x+3y+11=04x+3y+11=0的距离的最大值和最小值的距离的最大值和最小值. .(2)(2)若若S=|PO|S=|PO|2 2+|PA|+|PA|2 2+|PB|+|PB|2 2，求，求S S的最大值和最小值的最大值和最小值. .【解析解析】(1)(1)由方程由方程(x-2)(x-2)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4=4得该圆圆心坐标为得该圆圆心坐标为(2(2，2)2)，半径为，半径为2 2，故圆心故圆心(2(2，2)2)到直线到直线l的距离为的距离为由图形的几何性质得
27、，点由图形的几何性质得，点P P到直线到直线l的最大值为的最大值为5+2=75+2=7，最小值为，最小值为5-2=3.5-2=3.(2)(2)设设P(x,yP(x,y) )，则，则(y-2)(y-2)2 2=4-(x-2)=4-(x-2)2 2=-x=-x2 2+4x+4x且且-x-x2 2+4x0+4x0，即，即0x4,0x4,S=|PO|S=|PO|2 2+|PA|+|PA|2 2+|PB|+|PB|2 2=x=x2 2+y+y2 2+(x-8)+(x-8)2 2+y+y2 2+x+x2 2+(y-6)+(y-6)2 2=3x=3x2 2-16x+88+3(y-2)-16x+88+3(y-
28、2)2 2=3x=3x2 2-16x+88+3(-x-16x+88+3(-x2 2+4x)=-4x+88.+4x)=-4x+88.又又xx0 0，4 4，S Sminmin=-4=-44+88=724+88=72，S Smaxmax=-4=-40+88=88.0+88=88.考向考向 3 3 与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题【典例典例3 3】(2013(2013南京模拟南京模拟) )已知已知P(4P(4，0)0)是圆是圆x x2 2+y+y2 2=36=36内的一内的一点，点，A A，B B是圆上两动点，且满足是圆上两动点，且满足APB=90APB=90. .求矩形求矩形APBQAPBQ的
29、顶点的顶点Q Q的轨迹方程的轨迹方程. .【思路点拨思路点拨】寻找到点寻找到点R R满足的等量关系，利用直接法求出满足的等量关系，利用直接法求出R R的的轨迹方程，再根据方程判定其轨迹轨迹方程，再根据方程判定其轨迹. .【规范解答规范解答】设设ABAB的中点为的中点为R R，则，则R R也是也是PQPQ的中点的中点. .设设R R的坐标为的坐标为(x(x1 1,y,y1 1) )，则在，则在RtABPRtABP中，中，|AR|=|PR|.|AR|=|PR|.又因为又因为R R是弦是弦ABAB的中点，所以的中点，所以ORAB.ORAB.在在RtOARRtOAR中，中，|AR|AR|2 2= =|
30、AO|AO|2 2-|OR|-|OR|2 2=36-(x=36-(x1 12 2+y+y1 12 2).).又又|AR|=|PR|= |AR|=|PR|= 所以有所以有(x(x1 1-4)-4)2 2+y+y1 12 2=36-(x=36-(x1 12 2+y+y1 12 2) )，即，即x x1 12 2+y+y1 12 2-4x-4x1 1-10=0,-10=0,因此点因此点R R的运动轨迹是一个圆的运动轨迹是一个圆, ,而当而当R R在此圆上运动时，在此圆上运动时，Q Q点即在点即在所求的轨迹上运动所求的轨迹上运动. .设设Q(x,yQ(x,y) )，因为，因为R R是是PQPQ的中点，
31、的中点，所以所以代入方程代入方程x x1 12 2+y+y1 12 2-4x-4x1 1-10=0-10=0，得，得整理得整理得:x:x2 2+y+y2 2=56,=56,即矩形即矩形APBQAPBQ的顶点的顶点Q Q的轨迹方程为的轨迹方程为x x2 2+y+y2 2=56.=56.【拓展提升拓展提升】求与圆有关的轨迹方程的方法求与圆有关的轨迹方程的方法【提醒提醒】注意轨迹与轨迹方程的区别注意轨迹与轨迹方程的区别. .【变式训练变式训练】已知圆已知圆C:(x-1)C:(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=9=9，过点，过点A(2,3)A(2,3)作圆作圆C C的的任意弦，求这些弦的中
32、点任意弦，求这些弦的中点P P的轨迹方程的轨迹方程. .【解析解析】方法一：直接法方法一：直接法设设P(x,yP(x,y) )，由题意知圆心，由题意知圆心C(C(，).).PP点是过点点是过点A A的弦的中点，的弦的中点，又又 (2-x,3-y), =(1-x,1-y),(2-x,3-y), =(1-x,1-y),(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0,(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0,PP点的轨迹方程为点的轨迹方程为方法二：定义法方法二：定义法由已知知，由已知知，PAPC,PAPC,由圆的性质知点由圆的性质知点P P在以在以ACAC为直径的圆上，为直径的圆上，又圆心又圆
33、心C(1C(1，1)1)，而，而ACAC中点为中点为 所以半径为所以半径为所求动点所求动点P P的轨迹方程为的轨迹方程为【满分指导满分指导】与圆的方程有关的解答题的规范解答与圆的方程有关的解答题的规范解答【典例典例】(12(12分分)(2013)(2013徐州模拟徐州模拟) )已知以点已知以点 ( (tRtR，t0)t0)为圆心的圆与为圆心的圆与x x轴交于点轴交于点O O，A A，与，与y y轴交于点轴交于点O O，B B，其中，其中O O为原点为原点. .(1)(1)求证：求证：OABOAB的面积为定值的面积为定值. .(2)(2)设直线设直线y=-2x+4y=-2x+4与圆与圆C C交于
34、点交于点M M，N N，若，若OM=ONOM=ON，求圆，求圆C C的方程的方程. .【思路点拨思路点拨】【规范解答规范解答】(1)(1)圆圆C C过原点过原点O O，设圆设圆C C的方程是的方程是 2 2分分令令x=0x=0，得，得y y1 1=0,y=0,y2 2= = 3 3分分令令y=0y=0，得，得x x1 1=0,x=0,x2 2=2t=2t，|OA|=|2t|OA|=|2t|，4 4分分S SOABOAB= = 即即OABOAB的面积为定值的面积为定值. . 6 6分分(2)OM=ON(2)OM=ON，CM=CNCM=CN，OCOC垂直平分线段垂直平分线段MN.MN. 8 8分分
35、k kMNMN=-2=-2，k kOCOC= =直线直线OCOC的方程是的方程是 解得解得t=2t=2或或t=-2.t=-2. 9 9分分当当t=2t=2时时，圆心，圆心C C的坐标为的坐标为(2(2，1)1)， 此时此时C C到直线到直线y=-2x+4y=-2x+4的距离的距离 圆圆C C与直线与直线y=-2x+4y=-2x+4相交于两点相交于两点. . 1010分分当当t=-2t=-2时时，圆心，圆心C C的坐标为的坐标为(-2(-2，-1)-1)，OC= OC= 此时此时C C到直线到直线y=-2x+4y=-2x+4的距离的距离圆圆C C与直线与直线y=-2x+4y=-2x+4不相交，不
36、相交，t=-2t=-2不符合题意，舍去不符合题意，舍去. . 1111分分圆圆C C的方程为的方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=5. =5. 1212分分【失分警示失分警示】( (下文下文见规范解答过程见规范解答过程) ) 1.(20131.(2013广州模拟广州模拟) )若直线若直线3x+y+a=03x+y+a=0过圆过圆x x2 2+y+y2 2+2x-4y=0+2x-4y=0的圆心，的圆心，则则a a的值为的值为( )( )(A)-1 (B)1 (C)3 (D)-3(A)-1 (B)1 (C)3 (D)-3【解析解析】选选B.B.由由x x2 2+y+y2
37、2+2x-4y=0+2x-4y=0得得(x+1)(x+1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=5=5，所以该圆圆，所以该圆圆心为心为(-1(-1，2).2).又直线又直线3x+y+a=03x+y+a=0过过(-1(-1，2)2)点，点，3 3(-1)+2+a=0(-1)+2+a=0，解得，解得a=1.a=1.2.(20132.(2013合肥模拟合肥模拟) )圆心在圆心在y y轴上，半径为轴上，半径为1 1，且过点，且过点(1(1，2)2)的的圆的方程为圆的方程为( )( )(A)x(A)x2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1 (B)x=1 (B)x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1
38、=1(C)(x-1)(C)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1 (D)x=1 (D)x2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1【解析解析】选选A.A.设圆心坐标为设圆心坐标为(0,b)(0,b)，则由题意知，则由题意知 解得解得b=2b=2，故圆的方程为，故圆的方程为x x2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1.=1.3.(20133.(2013郑州模拟郑州模拟) )若圆若圆x x2 2+y+y2 2-6x+6y+14=0-6x+6y+14=0关于直线关于直线l:ax+4y-:ax+4y-6=06=0对称，则直线的斜率是对称，则直线的斜率是( )( )(A)6 (B) (C
39、) (D) (A)6 (B) (C) (D) 【解析解析】选选D.D.依题意知直线依题意知直线l:ax+4y-6=0:ax+4y-6=0经过圆经过圆x x2 2+y+y2 2- -6x+6y+14=06x+6y+14=0的圆心的圆心(3(3，-3)-3)，所以，所以3a-12-6=03a-12-6=0，解得，解得a=6.a=6.所以直线所以直线l的方程为的方程为6x+4y-6=0.6x+4y-6=0.即即3x+2y-3=03x+2y-3=0，亦即，亦即所以直线所以直线l的斜率为的斜率为4.(20134.(2013日照模拟日照模拟) )经过圆经过圆x x2 2+2x+y+2x+y2 2=0=0的
40、圆心的圆心C C，且与直线，且与直线x+yx+y=0=0垂直的直线的方程是垂直的直线的方程是_._.【解析解析】易知点易知点C C的坐标为的坐标为(-1(-1，0)0)，而所求直线与，而所求直线与x+yx+y=0=0垂直，垂直，所以所求直线的斜率为所以所求直线的斜率为1 1，故所求直线的方程为，故所求直线的方程为y=x+1y=x+1，即，即x-x-y+1=0.y+1=0.答案答案: :x-y+1=0x-y+1=05.(20135.(2013石家庄模拟石家庄模拟) )直线直线x-2y-2k=0x-2y-2k=0与与2x-3y-k=02x-3y-k=0的交点在圆的交点在圆x x2 2+y+y2 2
41、=9=9的外部，则的外部，则k k的范围是的范围是_._.【解析解析】 又交点在圆又交点在圆x x2 2+y+y2 2=9=9的外的外部部. .(-4k)(-4k)2 2+(-3k)+(-3k)2 29 9，即，即25k25k2 29.9.解得解得答案答案: :6.(20136.(2013天津模拟天津模拟) )点点P(1P(1，2)2)和圆和圆C C：x x2 2+y+y2 2+2kx+2y+k+2kx+2y+k2 2=0=0上的上的点的距离的最小值是点的距离的最小值是_._.【解析解析】由圆由圆C C：x x2 2+y+y2 2+2kx+2y+k+2kx+2y+k2 2=0=0得：得：(x+
42、k)(x+k)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=1.=1.圆心坐标为圆心坐标为C(-k,-1)C(-k,-1)，当当k=-1k=-1时，时，| |PC|PC|minmin= =3.= =3.由图形几何性质得点由图形几何性质得点P(1P(1，2)2)和圆上的点的距离的最小值为和圆上的点的距离的最小值为3-1=2.3-1=2.答案答案: :2 21.1.方程方程 所表示的曲线图形是所表示的曲线图形是( )( )【解析解析】选选D.D.方程方程 即即x=1(y0)x=1(y0)，或，或x x2 2+y+y2 2=2(x1)=2(x1)，表示一条直线表示一条直线x=1(x=1(去掉点去掉点(1(1
43、，0)0)以及圆以及圆x x2 2+y+y2 2=2=2位于直线位于直线x=1x=1右侧的部分，故右侧的部分，故D D正确正确. .2.2.若圆若圆(x-3)(x-3)2 2+(y+5)+(y+5)2 2=r=r2 2上有且只有两个点到直线上有且只有两个点到直线4x-3y-2=04x-3y-2=0的的距离等于距离等于1 1，则半径，则半径r r的取值范围是的取值范围是( )( )(A)(4(A)(4，6) (B)6) (B)4 4，6)6)(C)(4(C)(4，6 6 (D)(D)4 4，6 6【解析解析】选选A.A.因为圆心因为圆心(3(3，-5)-5)到直线到直线4x-3y-2=04x-3y-2=0的距离为的距离为5 5，所以当半径所以当半径r=4r=4时，圆上有时，圆上有1 1个点到直线个点到直线4x-3y-2=04x-3y-2=0的距离等于的距离等于1 1，当半径，当半径r=6r=6时，圆上有时，圆上有3 3个点到直线个点到直线4x-3y-2=04x-3y-2=0的距离等于的距离等于1 1，所以圆上有且只有两个点到直线所以圆上有且只有两个点到直线4x-3y-2=04x-3y-2=0的距离等于的距离等于1 1时，时，4 4r r6.6.
