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1、2.5 函数的微分与线性逼近函数的微分与线性逼近实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.2.5.1 微分的概念微分的概念再例如再例如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?定义定义( (微分的实质微分的实质) )微分的定义微分的定义由定义知由定义知: :可微的条件可微的条件定理定理证证(1) 必要性必要性(2) 充分性充分性微分的几何意义微分的几何意义MNT）几何意义几何意义:(:(如图
2、如图) ) P 以直代曲的思想是微积分的核心思想以直代曲的思想是微积分的核心思想 微分三角形微分三角形）例例1 1解解2.5.2 微分的计算微分的计算求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则例例2 2解解例例3 3解解微分形式的不变性微分形式的不变性结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性例例4 4解解例例3 3解解例例5 5解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.2.5.3 函数的
3、一阶线性逼近函数的一阶线性逼近例例1 1解解计算函数改变量的近似值计算函数改变量的近似值例例1 1解解常用近似公式常用近似公式证明证明例例2 2解解误差估计误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做差，我们把它叫做间接测量误差间接测量误差.定义：定义：问题问题:在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得?办法办法: :将误差确定
4、在某一个范围内将误差确定在某一个范围内. .通常把绝对误差限与相对误差限简称为通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误绝对误差差与与相对误差相对误差.例例3 3解解小结小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:导数与微分的区别导数与微分的区别:近似计算的基本公式近似计算的基本公式一阶线性逼近一阶线性逼近一阶线性逼近一阶线性逼近思考题思考题思考题解答思考题解答说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念. 练练 习习 题题练习题答案练习题答案练练 习习 题题练习题答案练习题答案
