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1、初一数学有理数全章讲义初一数学有理数全章讲义-.1.11.1 正数和负数正数和负数知识点归纳知识点归纳一、一、 正数和负数的定义正数和负数的定义正数正数： 大于 0 的数叫做正数。 根据需要， 有时在正数前面加上正号 “+， 但是正数前面的正号 “+，一般省略不写。负数负数：在正数前面加上负号“-的数叫做负数。负数前面的负号“-不能省略。注：对于正数和负数的概念，不能简单地理解为带“注：对于正数和负数的概念，不能简单地理解为带“+ +的数就是正数，带“的数就是正数，带“- -的数就是负数。的数就是负数。egeg：-a -a 不一定是负数，因为字母不一定是负数，因为字母 a a 可以表示任何数，
2、当可以表示任何数，当 a a 是正数时，是正数时，-a -a 是负数；当是负数；当 a a 表示负数时，表示负数时，-a -a 那么是一个正数，而不是负数；当那么是一个正数，而不是负数；当a a 表示表示 0 0 时，时，-a -a 就是在就是在 0 0 前面加上一个负号，仍是前面加上一个负号，仍是 0,00,0 不分正不分正负。负。二、具有相反意义的量二、具有相反意义的量正数和负数表示具有相反意义的量。假设用正数表示某种意义的量，那么负数就表示与其相反的量，反之亦然。常见的表示相反意义的量：零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、升高和下降。三、三
3、、0 0 的意义重点理解的意义重点理解数数 0 0 既不是正数，也不是负数。既不是正数，也不是负数。0 0 是正数和负数的分界限是正数和负数的分界限。0是一个确定的温度，海拔 0 表示海平面的平均高度。0 的意义已经不仅是表示“没有。典型例题典型例题1、以下说法不正确的选项是A0 不是正数，也不是负数B负数是带有“-的数，正数是带有“+的数C非负数是正数或 0D0 是一个特殊的整数，它并不只是表示“没有2、水位上升-0.5cm 的意义是A水位上升 0.5cmB水位下降 0.5cmC水位没有变化D水位下降了 5cm3、以下说法错误的选项是A-5 一定是负数B在正数前面加上“-就成了负数C自然数一
4、定是正数D-a 不一定是负数4、以下说确的有不带负号的数都是正数 带负号的数不一定是负数 0表示没有温度 0 既不是正数， 也不是负数A.0 个B.1 个C.2 个D3 个5、在跳远测验中，合格标准是4.00m，小明跳出了 4.18m，记作+0.18m，小华跳出了 3.96m，应记作6、-1,2，-3,4，-5，第 81 个数是，第 2005 个数是。7、峨眉山上某天的最高气温为 12，最低气温为-4，那么这天的最高气温比最低气温高A.4B.8C.12D.168、一架飞机在距离地面1500 米的高空飞行，它第一次下降了-200 米，第二次又上升了-100 米，第-优选-.1.2.11.2.1
5、有理数有理数知识点归纳一、有理数的概念一、有理数的概念正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数有理数。注： 1正整数、0、负整数统称为整数整数。2正分数和负分数统称为分数分数。3对于小数，只有能化成分数的小数能化成分数的小数才是有理数。4我们把有限小数和无限循环小数有限小数和无限循环小数都看做分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数。5无限循环小数不能化成分数，因此它不是分数，也不是整数，所以就不是有理数。二、有理数的分类重点二、有理数的分类重点按数的种类分按数的种类分按有理数的性质分按有理数的性质分正整数正整数正有理数整数0正分数负整数有理数0有理数负整数正
6、分数负有理数分数负分数负分数注：1有理数的分类必须按同一标准，不漏、不重。20 和正整数统称为非负整数非负整数。30 和负整数统称为非正整数非正整数。40 和正有理数统称为非负数非负数。50 和负有理数统称为非正数非正数。典型例题典型例题1、-7 是A.自然数B.负分数C.非负数D.负整数2、所有的正整数和负整数结合在一起构成A.整数集合B.有理数集合C.自然数集合D.以上说法都不对3、关于 0 的说法，正确的有是整数不是正数，也不是负数是最小的整数是自然数A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个-优选-.4、以下说法不正确的选项是A.-0.5 是分数 B.0 不是正数也不是负数 C.整数和分
7、数统称为有理数D.0 是最小的正数5、以下说法错误的选项是A负整数和负分数统称为负有理数B正整数，0，负整数统称为整数C正有理数和负有理数组成全体有理数D3.14 是小数，也是分数6、以下说确的的是A.有理数是指整数、分数、正有理数、0、负有理数B.一个有理数不是整数就是负数C.一个有理数不是整数就是分数D.以上说法都正确447、,0,0.四个数中，有理数的个数为7A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个8.有理数中，是整数而不是正数的是 ，是分数而不是正分数的是 。9、有理数中，最小的自然数是,最小的正整数是 。10、整数与分数统称为 ，整数包括 ，分数包括 。11、通常把和统称为非负整数，
8、把和统称为非正整数；把和统称为非负数，把和统称为非正数。12、将以下各数按要求分别填入相应的集合中。313239.3,6,3,7,0,100,2.25,0.01,65,0.2.4347 100(1)正整数集合：(2)负整数集合：(3)正分数集合：(4)负分数集合：(5)整数集合：(6)分数集合：(7)有理数集合：-优选-.1.2.2 数轴知识点归纳知识点归纳一、数轴的概念一、数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。考前须知：考前须知：1 1数轴是一条两端无限延长的直线。数轴是一条两端无限延长的直线。2 2原点，正方向，单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可。原点，正方向，单位长度是
9、数轴的三要素，三者缺一不可。3 3同一数轴上的单位长度要统一。同一数轴上的单位长度要统一。4 4数轴的三要素都是根据实际需要规定的。数轴的三要素都是根据实际需要规定的。5 5定义中的“规定二字，是说原点的规定、正方向的选取、单位长度大小确实定，都是根定义中的“规定二字，是说原点的规定、正方向的选取、单位长度大小确实定，都是根据实际需要规定的，通常取向右为正方向。据实际需要规定的，通常取向右为正方向。二、数轴的画法重点二、数轴的画法重点画数轴时，关键要表达数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。其步骤如下：1、画一条水平的直线；2、在直线上任意选取一点为原点，并用这点表示零在原点下方
10、标上“0 ；3、确定正方向一般规定向右为正 ，用箭头表示出来；4、 选取适当的长度作为单位长度， 从原点向右， 每隔一个单位长度选取一点， 依次表示 1,2,3， ；从原点向左，每隔一个单位长度选取一点，依次表示-1，-2，-3，。三、数轴上的点与有理数的关系重点、难点三、数轴上的点与有理数的关系重点、难点一般地，设 a 是一个正数，那么数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a 个长度单位；表示数-a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a 个长度单位。所有的有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数正有理数可以用原点右边或上边的点表示可以用原点右边或上边的点表示，负有理数，负有理数可
11、以用原点左边或下边可以用原点左边或下边的点表示的点表示，0 0用原点表示。用原点表示。注：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数有理数与数轴上的点不是一一对应的关系。与数轴上的点不是一一对应的关系。四、利用数轴比拟大小重点、难点四、利用数轴比拟大小重点、难点1、数轴上的数的大小比拟：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大2、有理数大小比拟法那么： 1正数都大于 02负数都小于 03正数大于负数4 4两个负数比拟大小两个负数比拟大小：距原点距离远的数比距离远点近的数小，即在原点的左侧，离原点越远，数越小。-优选-.典型例题典型例题1、规定了 、 、
12、的直线叫做数轴。2、在数轴上表示数-3 的点在原点的 ，与原点的距离为个长度单位。3 3、在数轴上到原点距离是、在数轴上到原点距离是 2.52.5 个长度单位的点表示的数是个长度单位的点表示的数是 。4 4、P P 点表示的数是点表示的数是-1 -1，到，到 P P 点点 4 4 个单位长度的点表示的数是个单位长度的点表示的数是 。5、一个动点从表示 1 的点出发，先向左移动 2 个单位，再向右移动 3 个单位长度，那么终点离原点的距离是个单位长度。6 6、假设点、假设点 A A 表示数表示数-3 -3，点，点 B B 表示数表示数 7 7，那么，那么 A A、B B 间的距离是间的距离是 。
13、7、以下图中表示数轴的是.A.B.C.D.8 8、数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是、数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是 1cm1cm，假设在这个数轴上随意画出一，假设在这个数轴上随意画出一条长条长 2005cm2005cm 的线段的线段 ABAB，那么线段，那么线段 ABAB 盖住的整点有盖住的整点有A. 2003A. 2003 或或 20042004 个个B.2004B.2004 或或 20052005 个个C.2005C.2005 或或 20062006 个个D.2006D.2006 或或 20072007 个个9、画出数轴，用数轴画出表示以下各点的数并用“连接起
14、来。144，-2，-4.5，0，1 , 23510、如图，写出数轴上点 A、B、C、D、E 表示的数。1111、小敏家、学校、邮局、图书馆坐落在同一条东西走向的大街上，依次记为、小敏家、学校、邮局、图书馆坐落在同一条东西走向的大街上，依次记为 A A，B B，C C，D D，学校位于小敏家西学校位于小敏家西 150m150m，邮局位于小敏家东，邮局位于小敏家东 100m100m，图书馆位于小敏家西，图书馆位于小敏家西 400m400m。（1 1）用数轴表示用数轴表示 A A，B B，C C，D D 的位置的位置. .（2 2）一天小敏从家里以每分钟一天小敏从家里以每分钟50m50m 的速度先去
15、邮局寄信后又往图书馆方向共走了的速度先去邮局寄信后又往图书馆方向共走了8min.8min.试问小敏这时约在什么位置？距离图书馆和学校各约多少米？试问小敏这时约在什么位置？距离图书馆和学校各约多少米？-优选-.1.2.31.2.3 相反数相反数知识点归纳知识点归纳一、相反数的概念一、相反数的概念只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；特别地，0 的相反数是 0.注： 1 “0 0 的相反数是的相反数是0 0是相反数定义的一局部，千万不能把它漏掉.2相反数是 成对成对出现的，不能单独存在， 单独的一个数不能说是相反数单独的一个数不能说是相反数 .3 “只有符号不同的两个数中的“ 只有
16、只有指的是 除符号不同以外数字完全一样除符号不同以外数字完全一样 ，不要理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数.二、相反数的意义二、相反数的意义任何一个数都有相反数，而且只有一个只有一个相反数，正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；是正数；0 0 的相反数仍是的相反数仍是 0. 0.几何意义：互为相反数的两个数几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧到原点的的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数。位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反
17、数。代数意义：代数意义：相反数中， “相反相反的意思是说： “只有符号相反，即两个数除符号不同外其余都即两个数除符号不同外其余都一样。一样。【注意】【注意】 ： 1一个数的相反数的相反数是它本身.2注意区别“相反数 与“相反意义的量。前者是指具有相反符号的一对数，后者指相对具有相反意义的量。三、相反数的表示方法三、相反数的表示方法一般的，一个数 a 的相反数可以表示为-a。根据相反数的意义，只改变原数的符号即可得到原数的相反数，就是说只要在一个数的前面只要在一个数的前面加“加“- -号即可得到这个数的相反数。号即可得到这个数的相反数。【注意】【注意】 1数 a 表示任意一个数，可以是正数、负数
18、和 0，还可以表示任意的一个式子。2一一个个数数的的前前面面加加上上“- -号号表表示示这这个个数数的的相相反反数数，加加上上“+ +号号表表示示这这个个数数本本身身。四、相反数的求法四、相反数的求法求一个数的相反数，只要在它的前面添上“只要在它的前面添上“- -号即可得到原数的相反数号即可得到原数的相反数；当原数是多个数的和当原数是多个数的和差时，差时， 要用括号括起来再添要用括号括起来再添 “- -号号； 假设原数是单个数且前面有假设原数是单个数且前面有 “- -那么也应先括起来再添那么也应先括起来再添 “- -号，然后化简。号，然后化简。如： 1-a 的相反数是-a ，即 a； 2a+b
19、 的相反数是-a+b ； 3-2的相反数是-(-2)，即-2.五、多重符号的化简五、多重符号的化简当“当“- -号的个数为偶数时，化简结果为正；当“号的个数为偶数时，化简结果为正；当“- -号个数为奇数时，化简结果为号个数为奇数时，化简结果为负负。-优选-.六、相反数的性质六、相反数的性质任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数一定是负数；负数的相反任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；数一定是正数；0 0 的相反数仍是的相反数仍是 0 0。【注意】1假设两个数互为相反数，那么它们的和为 0.2数轴上表示相反数的两个数关于原点对称.3相反数
20、等于它本身的数只有 0.4相反数是成对出现的，不能单独存在.5 “只有符号不同的两个数中的“只有指的是除符号不同以外数字完全一样，不要理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数.典型例题典型例题1、判断以下说法是否正确。111-3 与互为相反数。 25 的相反数是。 3530 的相反数是-0，所以 0 与-0 不是互为相反数。 2、以下表达正确的选项是A.符号不同的两个数互为相反数B.一个数的相反数一定是负数C.非负数的相反数是非整数D.正数的相反数是分数3 3、如果、如果 a=-aa=-a，那么表示，那么表示 a a 的点在数轴上的位置是的点在数轴上的位置是A.A.原点左侧原点左侧B.B.原点
21、右侧原点右侧C.C.原点原点D.D.原点或原点右侧原点或原点右侧4 4、一个数的相反数小于它本身，这个数是、一个数的相反数小于它本身，这个数是A.A.正数正数B.B.负数负数C.C.非正数非正数D.D.非负数非负数5 5、一个数的相反数大于它本身，这个数是、一个数的相反数大于它本身，这个数是A.A.正数正数B.B.负数负数C.C.非正数非正数D.D.非负数非负数6 6、一个数的相反数是非负数，那么这个数一定是、一个数的相反数是非负数，那么这个数一定是A.A.正数正数B.B.负数负数C.C.正数或正数或 0 0D.D.负数或负数或 0 07 7、一个数的相反数是非正数，那么这个数一定是、一个数的
22、相反数是非正数，那么这个数一定是A.A.正数正数B.B.负数负数C.C.正数或正数或 0 0D.D.负数或负数或 0 08、下面两个数互为相反数的是111A.1与 0.2B.与-0.333C.2与-2.25D.-5与+(-5)3429、-+4是的相反数；-7是的相反数。10、a 的相反数是 ，当a=13 时，a 的相反数是 ，当a=-5 时，a 的相反数是 ，-优选-.当 a=0 时，a 的相反数是 。1111、如果、如果-a=-9-a=-9，那么，那么-a -a 的相反数是的相反数是 。1212、如果、如果-x -x 的相反数是的相反数是-2 -2，那么，那么 x=x= ；如果；如果 x-3
23、x-3 的相反数是的相反数是 0 0，那么，那么 x=x= 。13、求以下各数的相反数。11，-，0,1,0.1，-a，-2xy，a-b，4214、化简：1111 (2)2(- )3-+-24-(- )5+-(-2)3241515、a-4a-4 与与-1 -1 互为相反数，求互为相反数，求 a a 的值。的值。1616、x x 与与 y y 互为相反数，互为相反数，y y 与与 z z 互为相反数，互为相反数，z=2z=2，求，求 x x、y y 的值。的值。1717、数轴上离原点的距离小于、数轴上离原点的距离小于 3.53.5 的整数点的个数为的整数点的个数为 m m，距离原点等于，距离原点
24、等于 3.53.5 的点的个数为的点的个数为 n n，求，求m-nm-n 的值。的值。-优选-.1.2.41.2.4 绝对值绝对值知识点归纳知识点归纳一、一、绝对值的概念绝对值的概念数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|，读作“a 的绝对值。【注意】 1一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点与原点的距离，由于距离总是正数和零， 所以一个数的绝对值是正数或零， 即是一个非负数， 这就是绝对值的一个重要性质非负性。2在数轴上，表示这个数的点离原点的距离越远，绝对值越大；反之离原点距离越近，绝对值越小。（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的。二、绝对值的意义二
25、、绝对值的意义1、绝对值的几何意义绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。2 2、绝对值的代数意义：、绝对值的代数意义：一个正数正数的绝对值是它本身本身，一个负数负数的绝对值是它本身本身的相反数的相反数，0 0 的绝对值是 0 0.三、绝对值的表示方法重点三、绝对值的表示方法重点a(a 0)|a|= =0(a 0)a(a 0)【注意】 1非负数的绝对值等于他本身，即a 0 |a| a2非正数的绝对值等于它本身的相反数，即a 0|a| a四、绝对值得性质重点、难点四、绝对值得性质重点、难点1、绝对值具有非负性非
26、负性，任何一个数的绝对值总是正数或零，即：|a| 0。2、0 的绝对值是 0，绝对值等于 0 的数是 0，绝对值最小的数是 0，即：a 0 |a| 0。3、互为相反的两个数绝对值相等，即：a b 0/a b |a|b|。4、绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即：|a|b| a b或a b。5、绝对值等于同一个整数的数有两个，它们互为相反数，即：| x| a x a。6 、 假 设 几 个 数 的 绝绝 对对 值值 的的 和和 为为0 0 ， 那 么 这 几 个 数 分 别 为0 ， 即 ：|a|b|c|.|m| 0 a b c . m 0。五、绝对值的求法五、绝对值的求法1、在数轴上找到表示
27、这个数 a 的点，这个点与原点的距离就是这个数 a 的绝对值。-优选-.2、 一个正数在数轴上对应的点与原点的距离恰好等于这个数本身， 所以正数的绝对值是它本身。3、一个负数在数轴上对应的点与原点的距离是这个数的相反数，所以一个负数的绝对值是它本身的相反数。4、表示 0 的点就是原点，原点与原点的距离是 0，所以|0|=0。【注意】在求一个数在求一个数 a a 的绝对值时要注意：的绝对值时要注意：先判断这个数先判断这个数 a a 是正数、是正数、负数还是负数还是 0 0，再再根据绝对值的代数意义求出这个数的绝对值。根据绝对值的代数意义求出这个数的绝对值。六、利用绝对值比拟两个负数的大小重点六、
28、利用绝对值比拟两个负数的大小重点1、比拟两个负整数负整数的大小：根据绝对值大的数反而小根据绝对值大的数反而小2、比拟两个负分数的大小时，有两点必须注意：绝对值大的数反而小绝对值大的数反而小；比拟绝对值时，分分母一样，分子大的数大母一样，分子大的数大；分子一样，分母大的数反而小分子一样，分母大的数反而小，也可以将分数转化为小数进展比拟。3、利用绝对值比拟两个负数大小的步骤：分别计算分别计算两个数的绝对值；比拟绝对值的大小绝对值的大小；判定两个数的大小根据绝对值大的数反而小 。七、含有字母的绝对值的化简求值重点、难点七、含有字母的绝对值的化简求值重点、难点化简绝对值要分两步走，即“先判后去先判断这
29、个数是正数、零还是负数，再由绝对值的意义确定去掉绝对值的符号的结果是等于它本身还是等于它本身的相反数或零。e.g：化简| x 3|第一步：取取 0 0 点点：令x 3 0，得x第三步：在各围化简在各围化简： 3；第二步：取围取围：x 3和x 3或x 3和x 3；|当x 3时，x 3 0， x 3| (x 3) x 3| x 3| x 3.当x 3时，x 3 0，典型例题：典型例题：1、-5 的绝对值是1A.5B.C.-5D.0.552 2、假设、假设| a | 3,|b | 5,且且a b，那么，那么a的值为的值为A.A.3B.B.3C.C.3D.D.不能确定不能确定3 3、数轴上的点、数轴上
30、的点 A A 到原点的距离是到原点的距离是 6 6，那么点，那么点 A A 表示的数是表示的数是A.6A.6 或或-6 -6B.6B.6C.-6C.-6D.3D.3 或或-3 -3-优选-.4 4、以下各式错误的选项是112211A.| 5| 5B.| 8.1| 8.1C.| | D.| | 2233225 5、假设、假设| a |b |,那么那么a,b的关系是的关系是A.A.相等相等B.B.互为相反数互为相反数C.C.相等或互为相反数相等或互为相反数D.D.以上均不正确以上均不正确6、以下说法中错误的个数是绝对值是它本身的数有两个，它们是 0 和 1一个有理数的绝对值必是正数2 的相反数的绝
31、对值是 2任何有理数的绝对值都不是负数A.0B.1C.2D.37、在以下四个数中，比 0 小的数是A.0.5B.-2C.1D.38、以下各式中正确的选项是111A.0 B. C3.7 5.2.D.0 23439、有理数a在数轴上对应的点如下图，那么a，a，1的大小关系是A. a a 1B.1 a aC.a 1 a.D.a a 11010、满足、满足| x | x的数有的数有A. 1A. 1 个个B. 2B. 2 个个C. 3C. 3 个个D.D.无数个无数个1111、| a | 3|，那么，那么a的值为的值为A.A.3B.B.3C C3. .D.D.以上答案均不正确以上答案均不正确2，那么，那
32、么a b为为A.A.3B.B. 7C C3或7. .D.D. 3或 71313、 设设a是最小的正整数，是最小的正整数，b是最大负整数的相反数，是最大负整数的相反数，c是绝对值最小的有理数，是绝对值最小的有理数， 那么那么a、b、c1212、假设、假设| a | 5,|b |的大小关系是的大小关系是 b cC.C.a b cD.D.a b c1414、以下推理：、以下推理：若a b,则| a|b|若| a|b|,则a b若a b,则| a|b|若| a| b,则a b，其中正确的个数为，其中正确的个数为A. 1A. 1 个个B. 2B. 2 个个C. 3C. 3 个个D.4D.4 个个1515
33、、a、b为有理数，且为有理数，且aA.A.a b cB.B.a 0,b 0,|b | a，那么，那么a,b,a,b的大小顺序是的大小顺序是A.A.b a a bB.B. a b a bC.C.b a a bD.D. a a b b-优选-.16、求以下各数的绝对值，并将所有数在数轴上表示出来。1817、比拟以下各组数的大小。118、计算：11 11| 12| 2| | 8|2| | | 2| | 1|24 |4362727.2304338213541012和2()和(0.333)3和4 | |和 |3265431011-优选-.111111111(3)| 25| | | |4|1|.|2329
34、99810099251919、把以下各式去掉绝对值的符号。、把以下各式去掉绝对值的符号。1 1|a4|a 42 2|5b|b 52020、| x3| y3|0，求，求x y的值的值2-优选-.2121、| x | 7,| y |12,且且x y，求求x y的值的值1.3.11.3.1 有理数的加法有理数的加法知识点归纳知识点归纳一、有理数加法的定义一、有理数加法的定义1、把两个两个有理数合成一个合成一个有理数的运算叫作有理数的加法。2、两个有理数相加，有以下几种情况：1 1两数都是正数； 2 2两数都是负数； 3 3两数异号，即一个是正数，一个是负数；4 4一个是正数，一个是 0； 5 5一个
35、是负数，一个是 0； 6 6两个数都是 0.二、有理数的加法法那么二、有理数的加法法那么1、有理数的加法法那么共有 4 条：1同号两数相加，取一样的符号，并把绝对值相加；2异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3互为相反的两个数相加得 0；4一个数与 0 相加，仍得这个数。2、用字母表示加法法那么：1同号两数相加-优选-.假设a 0,b 0,那么a b | a | |b |；假设a 0,b 0,那么a b | a | |b |；2异号两数相加，绝对值不相等时，假设a 0,b 0,且| a |b |,那么a b | a | |b |假设a 0,
36、b 0,且| a |b |,那么a b |b | | a |3互为相反的两个数相加：假设a 0,b 0,且| a |b |,那么a b 0（4）一个数与 0 相加：a 0 a【注意】理解与运用有理数的加法法那么应该注意以下几点：理解与运用有理数的加法法那么应该注意以下几点：1 1符号一样的两个数相加的算法，实际上有两种：两个正数相加或两个负数相加。两个数相符号一样的两个数相加的算法，实际上有两种：两个正数相加或两个负数相加。两个数相加后得一个数，符号不变，绝对值相加，实际上说明了这类题的算法。加后得一个数，符号不变，绝对值相加，实际上说明了这类题的算法。2 2绝对值不相等的异号两数相加时，最后
37、结果是由大的绝对值减去小的绝对值和较大的加数的绝对值不相等的异号两数相加时，最后结果是由大的绝对值减去小的绝对值和较大的加数的符号两局部组成，千万不要两个绝对值相加。符号两局部组成，千万不要两个绝对值相加。3 3互为相反的两个数相加时，也可以用绝对值不相等的异号两数相加的法那么进展计算。互为相反的两个数相加时，也可以用绝对值不相等的异号两数相加的法那么进展计算。4 4任何数同任何数同 0 0 相加仍得任何数，在小学就接触过，不同的是中学还接触到负数与相加仍得任何数，在小学就接触过，不同的是中学还接触到负数与 0 0 相加，仍相加，仍得这个负数。得这个负数。5 5计算时不能只计算绝对值，忘记确定
38、符号。计算时要牢记步骤，不管是同号还是异号两数计算时不能只计算绝对值，忘记确定符号。计算时要牢记步骤，不管是同号还是异号两数相加，一定要先确定符号，再计算绝对值。相加，一定要先确定符号，再计算绝对值。6 6不要将“同号两数相加和“异号两数相加的法那么弄混，要熟练掌握法那么，准确计不要将“同号两数相加和“异号两数相加的法那么弄混，要熟练掌握法那么，准确计算绝对值的加减。算绝对值的加减。7 7不能认为和一定大于加数：受小学加法的影响，认为和一定大于每个加数，这是错误的。不能认为和一定大于加数：受小学加法的影响，认为和一定大于每个加数，这是错误的。要打破小学学习中的思维定式。要打破小学学习中的思维定
39、式。三、有理数加法的运算步骤三、有理数加法的运算步骤进展有理数加法运算时，应按以下“一判二定三加减的步骤：-优选-.1判断类型，根据类型确定用哪一个法那么；2根据加数的绝对值的大小及加数的符号确定和的符号；3 对绝对值进展加减运算确定数值。四、有理数加法的运算律四、有理数加法的运算律有有理理 数数加加 法法运运 算算律律加法结合律加法结合律加法交换律加法交换律文 字 语言符 号 语言文 字 语言符 号 语言五、有理数加法运算律运算技巧五、有理数加法运算律运算技巧利用有理数的加法运算律，可以使计算简捷，实际运算常采用以下技巧：1互为相反的两个数可以先相加；2几个数的和为 0 可先相加；3几个数相
40、加可得整数的可先相加；4同分母的分数可先相加；5异号且绝对值相近的两数可先相加； 6符号一样的数可先相加。三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。数相加，和不变。两个数相加，交换加数的位置，和不变。两个数相加，交换加数的位置，和不变。ab baa b c a b c1.3.21.3.2 有理数的减法有理数的减法知识点归纳知识点归纳、一、有理数减法的意义一、有理数减法的意义-优选-.1、 有理数的减法，就是两个有理数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。2、 有理数的减法与加法互为逆运算。3、 任意两个数都可以进展减法运算。4、
41、 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两局部构成： 1性质符号； 2数字即数的绝对值。二、有理数的减法法那么二、有理数的减法法那么容：容：减去一个数，等于加上这个数的相反数 ，即，即a b理数。这样一来，就把有理数的减法运算转化为加法运算了，具体步骤是：（1）将减号变成加号，把减数的相反数变成加数；（2）按照加法运算的步骤去做。【注意】【注意】（1）有理数的减法是有理数加法的逆运算，做减法时常用转化的思想，把减法转化成加法计算；（2）进展减法运算时，首先应弄清减数的符号 是“+还是“- ；（3）将有理数减法转化为加法时，要同时改变两个符号：一个是把运算符号“-变为“+；另一个是改变减数的性质符号
42、，变成它的相反数，如：-5-+3=-5+-3=-8-5-3=-5+3=-2三、有理数的加减混合运算三、有理数的加减混合运算对有理数的加减混合运算应作如下理解：1因为减法可以转化为加法运算，于是加减混合运算可以统一为加法运算，用式子表示为： a (b)。这里的a、b表示任意有a b c d a (b) c (d),这称为几个数的代数和。2代数和中，加号和括号可以省略。-优选-.【特别提示】只有把加减法统一成加法后，才能写成代数和，正数要带着性质符号当正数在只有把加减法统一成加法后，才能写成代数和，正数要带着性质符号当正数在式子的第一项时可以省略式子的第一项时可以省略 。四、有理数加减混合运算的方
43、法和步骤四、有理数加减混合运算的方法和步骤1、运用有理数的减法法那么将有理数混合运算中的减法转化为加法；2、写成省略加号和括号的形式；3、运用加法法那么、加法交换律、加法结合律简化运算。【注意】 1简化和的形式后，要注意“+“-的理解和使用.既可看作运算符号，也可看作数的性质符号.2运用加法运算律时，第一。交换加数位置时，要连同它的性质符号一起交换位置，千万不要把符号漏掉；第二，在应用结合律时，应突出凑整、同分母、同号的特点。五、运用作差法比拟两个有理数的大小五、运用作差法比拟两个有理数的大小运用有理数的减法运算律可以比拟两个有理数的大小，这就是“作差法。要比拟两个有理数a与b的大小，可先求出
44、a与b的差a b。1当a b 0时，a2当a b 0时，a b； b；3当a b 0时，a b.以上结论，反过来也成立。-优选-.1.4.11.4.1 有理数的乘法有理数的乘法知识点归纳知识点归纳一、有理数的乘法法那么一、有理数的乘法法那么1、异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘.2、任何数与 0 相乘，都得 0.3、同号两数相乘得正数，并把绝对值相乘。【注意】 1有理数的乘法法那么可以简述为:两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与乘，任何数与 0 0 相乘，都得相乘，都得 0. 0.2不为 0 的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘.3
45、当因数中有负号时，必须用括号括起来当因数中有负号时，必须用括号括起来.4数字与字母、字母与字母、数字与括号之间相乘时可省略乘号.5有理数的乘法实质是通过符号法那么，将有理数的乘法转化为小学算术乘法来完成.二、有理数乘法的运算律二、有理数乘法的运算律有有理理数数乘乘法法运运算算律律乘法分配律乘法分配律符 号 语言文 字 语言符 号 语一个数与来那个个数的和相乘，等于把这个数分别一个数与来那个个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。与这两个数相乘，再把积相加。乘法结合律乘法结合律乘法交换律乘法交换律文 字 语言符 号 语言文 字 语言三个数相乘，先把前两个因数相乘，然后把结果与三
46、个数相乘，先把前两个因数相乘，然后把结果与第三个数相乘；第三个数相乘； 或者先把后两个数相乘，或者先把后两个数相乘， 再把第一个再把第一个数与所得的结果相乘，积不变。数与所得的结果相乘，积不变。两个数相乘，交换因数的位置，积不变。两个数相乘，交换因数的位置，积不变。ab baabc abcab c ab ac-优选-.言【考前须知】1乘法交换律和乘法结合律，是指因数的位置交换和因数的结合，它们都包含性质符号.2用乘法分配律时，要平均分配，不能漏乘，且要注意符号法那么的应用.3进展乘法运算时，一定要把小数转化为分数，带分数转化为假分数，能约分的要先约分。4乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘
47、，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘.如：abcd再把积相加。5 5利用乘法分配律去掉括号时要注意以下两个方面：利用乘法分配律去掉括号时要注意以下两个方面：A.括号外面是正数正数时，去掉括号后式子各项的符号与原括号式子相应各项的符号一样一样；B.括号外面的因数是负数负数时，去掉括号后式子各项的符号与原括号式子相应各项的符号 相反相反，另外还要特别注意再去括号时，不要漏项不要漏项。三、有理数乘法法那么的推广1、几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正。2、几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0.【
48、考前须知】1在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数；2 2几个不等于几个不等于 0 0 的有理数相乘，先根据负因数的个数确定符号，然后把绝对值相乘；的有理数相乘，先根据负因数的个数确定符号，然后把绝对值相乘；3几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0.反之，如果积为 0，那么至少有一个因数为 0.四、两个有理数的乘法步骤四、两个有理数的乘法步骤1、确定积的符号，根据同号得正，异号得负这一结论。2、把绝对值相乘，这与小学里的乘法一致。五、几个非零有理数的乘法步骤五、几个非零有理数的乘法步骤1、先确定积的符号先确定积的符号，积的符号由负因数的个数决定.当负因数由奇数个时，积为负；当负
49、因数的个数由偶数个时，积为正。2、再把绝对值相乘再把绝对值相乘。注注：进进展展有有理理数数的的乘乘法法运运算算时时，一一般般来来说说，把把小小数数化化成成分分数数，把把带带分分数数化化成成假假分分数数进进展展计计算算时时简简单单些些。d(ac)b.一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，-优选-.1.4.21.4.2 有理数的除法有理数的除法知识点归纳知识点归纳一、倒数的意义：乘积是一、倒数的意义：乘积是 1 1 的两个数互为倒数的两个数互为倒数【考前须知】1 “互为倒数的两个数是相互依存的；20 和任何数相乘都等于 0 而不是 1，因此 0 0 没有倒数没有倒数；3a(a1
50、0)的倒数是；a4倒数的结果必须化成最简形式最简形式，使分母中不含小数和分数；5互为倒数的两个数必定同号同为正数或同为负数互为倒数的两个数必定同号同为正数或同为负数 。二、倒数的求法二、倒数的求法1、求一个数的倒数，可以直接写成这个数的几分之一，即a(a1 0)的倒数是anm2、求一个分数的倒数，只要将分子、分母交换一下位置即可，即的倒数是mn3、求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数再求其倒数4、求一个小数的倒数，先将小数化成分数，然后再求倒数5、求一个数的负倒数，先求这个数的倒数，再求倒数的相反数即可。 乘积为乘积为-1 -1 的两个数互为负的两个数互为负倒数倒数三、有理数的除法法那么
51、三、有理数的除法法那么1 1、除以一个不等于、除以一个不等于 0 0 的数，等于乘这个数的倒数的数，等于乘这个数的倒数-优选-.2 2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除3 3、0 0 除以任何一个不等于除以任何一个不等于 0 0 的数，都得的数，都得 0 0有理数的除法公式有理数的除法公式1ab a(b 0)b【考前须知】1 1一般在不能整除的情况下，应用第一个法那么，在能整除的情况下应用第二个法那么一般在不能整除的情况下，应用第一个法那么，在能整除的情况下应用第二个法那么2 2因为找不到一个与因为找不到一个与 0 0 相乘结果不为相乘
52、结果不为0 0，所以，所以0 0 不能当除数不能当除数3 第二个法那么与有理数的乘法法那么相似， 两数相除时先确定商的符号，两数相除时先确定商的符号， 再确定商的绝对值。再确定商的绝对值。四、有理数的乘除混合运算四、有理数的乘除混合运算有理数的乘除混合运算通常先统一为乘法，变成多个有理数相乘。1 1、因为乘法与除法是同一级运算，应按从左到右的顺序运算、因为乘法与除法是同一级运算，应按从左到右的顺序运算2 2、结果的符号由算式中负数的个数决定，负数的个数为偶数个时结果为正；负数的个数是奇数个、结果的符号由算式中负数的个数决定，负数的个数为偶数个时结果为正；负数的个数是奇数个时结果为负时结果为负3
53、 3、化成后，应先约分再相乘、化成后，应先约分再相乘五、有理数的加减乘除混合运算五、有理数的加减乘除混合运算有理数的四那么混合运算，应遵循有括号先算括号一般先算小括号，再算中括号，最后算大括号里面的运算，无括号那么应按“先乘除，后加减的顺序计算。-优选-.知识点归纳知识点归纳一、乘方的概念一、乘方的概念定义：求 n 个一样因数一样因数的积积的运算，叫作乘方，即aaa.a，记作a，读作a的 n 次方。 nn个【注意】其实乘方运算是求假设干一样因数的积的一种简便运算，其实乘方运算是求假设干一样因数的积的一种简便运算， 这里要注意因数一这里要注意因数一定要一样定要一样。二、幂的概念二、幂的概念定义：
54、乘方的结果叫作幂乘方的结果叫作幂。【考前须知】1乘方与幂不同，乘方是一种运算，幂是乘方运算的一种结果，乘方与幂的关系，就如同乘法与积的关系一样；2只有乘方才有幂，不能单独出现一个数就叫幂。三、指数、底数的概念三、指数、底数的概念定义：一样因数的个数叫指数，一样因数叫底数。定义：一样因数的个数叫指数，一样因数叫底数。如在an中，a叫底数，n 叫指数。注意：底数一定是一样的因数注意：底数一定是一样的因数四、乘方运算法那么四、乘方运算法那么正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。-优选-.【考前须知】1有时一个数也
55、可看作它本身的一次方有时一个数也可看作它本身的一次方2有理数的乘方是有理数乘法的简便运算，因此有理数乘方的符号源于有理数乘法的符号法那么。五、有理数的混合运算五、有理数的混合运算1、运算顺序：1先算乘方，再算乘除，最后算加减；2同级运算，从左到右进展；3如有括号，先做括号的运算，按小括号、中括号。大括号依次进展。4通常把六种根本运算分为三级：加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方和开方是第三级运算。5运算顺序的规定是先做高级运算，再做低级运，同级运算是指加与减或乘与除在一起的运算。【考前须知】1在计算时，应强化顺序意识，但该简便运算时还应简便运算；2要活用运算顺序，不能一味强调顺序计算。如：
56、同级运算，按从左到右的顺序进展；将加减法统一成加法，乘除运算统一成乘法后就不可按这个顺序进展，各根据需要运用交换律、结合律灵活选择运算顺序；对于有括号的，那么先做括号的运算，可以用分配律时就可以先去括号而不是先算括号里的等；3应注意数的性质符号的变化，不能出错。六、六、-1 -1 的的 n n 次方次方-1 的奇次幂为-1，-1 的偶次幂为 1，用式子表示为-12n=1， -12n+1=-1.n 为正整数【推广】用字母a表示有理数，n为正整数，那么有：1当a 0时，an 0;；an 0，n为正偶数2当a 0时，n；a 0，n为正奇数3当a 0时,an0.a2n(a)2n,(a)2n1 a2n1
57、,a2n0.1.5.21.5.2 科学计数法科学计数法知识点归纳知识点归纳一、绝对值大于一、绝对值大于 1010 的数的科学计数法的数的科学计数法1、科学计数法：把一个绝对值大于绝对值大于 1010 的数写成a10n的形式其中a是整数位只有一位整数位只有一位的数，n是正整数正整数 ，这种计数的方法就是科学计数法。-优选-.2 2、用科学计数法计数时应注意：、用科学计数法计数时应注意：1不能改变数的大小；2表示成a10n的形式；31|a|10,且n为正整数；4负数也可以用科学计数法表示， “-照写，其他与正数一样。3、一个数写成a10n的形式时，a的整数位只有一位，否那么错误。4、把一个数写成a
58、10n的形式时，假设这个数是大于 10 的数，那么n比这个数的整数位少 1.二、把科学计数法形式的数转化为原数二、把科学计数法形式的数转化为原数1,、根据 10 的指数n来确定，n是几，就把小数点向右移动几位。2、把科学计数法表示的数a10中的指数加上 1，就得到了原数的整数位。【考前须知】1当把科学计数法形式的数转化成原数时，可在以上方法中任选一种，便可解决问题。2化繁为简的思想方法：用科学计数法表示数，易读、易写、易记，不易出错，减少阅读书写和记忆的麻烦，这渗透了化繁为简的思想。n1.5.31.5.3 近似数近似数知识点归纳知识点归纳一、准确数和近似数一、准确数和近似数1、准确数往往是生活
59、中可以用自然数表示的人数或物体的个数等。2、在实际问题中有的量不可能或者没有必要用准确数表示，而用有理数近似地表示出来，这个数就是这个量的近似数或近似值 。注：一般地，表示测量出来的数，通常是近似数。注：一般地，表示测量出来的数，通常是近似数。二、有效数字二、有效数字一个近似数，从左边第一个不是左边第一个不是 0 0 的数字起的数字起，到末尾数字末尾数字为止，所有的数字所有的数字都叫做这个数的有效数字。【提示】1、有效数字确实定，要注意以下几点：1从左边第一个非零数字起，为第一个有效数字；2到准确的数位上，后面的数字按四舍五入处理；3有效数字包括重复数字和 0、2、对于同一个数字取近似值时，有
60、效数字个数越多，准确度越高。3、特别地，用科学计数法表示的近似数a10n，规定它的有效数字是a中的有效数字。4、还可根据保存几位有效数字取近似数。-优选-.三、近似数准确度的表示三、近似数准确度的表示近似数和准确数的接近程度可以用准确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数准确到哪一位，准确度是准确程度。准确度有两种形式：一是准确到哪一位，二是保存几个有效数字。四、近似数和有效数字确实定方法四、近似数和有效数字确实定方法1、对一般数字的近似数有两个原那么：一是非零数字都是有效数字；二是前面的“ 0都不是有效数字，夹在非零数字中间的“0和后面的“0都是有效数字。n2、对用科学计数法表示的数：由a10 (1|a|10)中的a确实定，a的有效数字就是这个近似数的有效数字，与n无关。3、对带有计数单位的近似数，方法同上，如 1.2 万，同有两个有效数字 1、2，而不是 5 个有效数字 1、2、0、0、0。【考前须知】1有些近似数大小是一样的，但准确度和有效数字不同。2有些近似数表现形式不同，但数值大小、准确程度和有效数字是一样的。-优选-.-优选-.-优选
