测量误差与数据处理2

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1、测量误差与数据处理2方差与协方差传播律方差与协方差传播律 协方差：描述两个随机变量之间的误差相关关系。 ，x和y不相关，相互独立，误差不相关 ，x和y是相关的，不独立测量误差与数据处理测量误差与数据处理2随机向量及其协方差阵随机向量及其协方差阵 n维随机向量 方差协方差阵非对角线元素对角线元素测量误差与数据处理测量误差与数据处理2协方差传播律观测值线性函数的方差特例：当随机向量X中的各个分量两两相互独立时，它们之间的协方差为0，方差阵为对角阵，此时z的方差上式变为（2.13）测量误差与数据处理测量误差与数据处理2【例2.1】用长度为L的钢尺量距，连续丈量了N个尺段。已知每一尺段的距离都是独立观

2、测值，且其中误差均为m，求全长S的中误差。解：由于共丈量了N个尺段，故全长 由（2.13）知， ，即 。呵，原来是这样啊！测量误差与数据处理测量误差与数据处理2【例2.2】设有观测值L1、L2和L3的函数 已知其方差分别为 ， ， 两两之间的协方差分别为 ， ， 。求函数F的方差。 解：由方差阵的定义知， 观测值的方差阵为： F的矩阵形式函数F的方差测量误差与数据处理测量误差与数据处理2非线性函数的方差问题：已知变量x的方差和协方差，求函数 的方差。核心：将非线性函数化为线性函数。方法：将函数在 处展开为泰勒级数。令：则有：测量误差与数据处理测量误差与数据处理2非线性函数的方差 函数 的全微分

3、 或写成由于 ，x与dx具有相同的方差，因而z与dz方差相同。因此，对于非线性函数线性化，也可以先列出函数式，然后对其求全微分。 测量误差与数据处理测量误差与数据处理2【例2.3】设有观测向量 ，已知其方差阵为求 的函数 当L1=2，L2=3，L3=4时的方差。解：因函数F是个非线性函数，求其全微分 测量误差与数据处理测量误差与数据处理2误差传播律在测量中的应用 水准测量的精度 已知每站高差测量中误差 ，求测段AB中误差 A、B两点间的总高差： 测量误差与数据处理测量误差与数据处理2水准测量的精度 已知每千米高差测量中误差 ，求测段AB中误差 设测段长为S,各测站距离s大致相等，则测站数N=S

4、/s 由于每千米高差中误差：于是有：因此：测量误差与数据处理测量误差与数据处理2 【例2.4】水准测量中若要求每千米观测高差中误差不超过10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm，则该水准路线长度不应超过多少千米？ 解： 由公式 因此有：该水准路线长度不应超过36千米。测量误差与数据处理测量误差与数据处理2导线方位角的精度导线测量示意图已知同精度角度观测中误差为 ，求第N条导线边方位中误差。方位角公式：方位角中误差：测量误差与数据处理测量误差与数据处理2同精度独立观测值的算术平均值的精度对某量同精度独立观测n次，其观测值为L1、L2、Ln，它们的中误差均等于 ，求平均值的中误差 。n次算术

5、平均值：由方差-协方差传播公式，有：即有：测量误差与数据处理测量误差与数据处理2 【例2.5】已知某台经纬仪一测回测角中误差为6，如果要使各测回的平均值的中误差不超过2，则至少应测多少测回？ 解：由公式 可得 所以，至少应观测所以，至少应观测9 9个测回。个测回。测量误差与数据处理2权与定权的常用方法权与定权的常用方法 权的定义：设有观测值 ，它们的方差为 设不等于零任意常数 ，则定义 的权为 式中的方差式中的方差 可以是同一个量的观测值的方差，也可可以是同一个量的观测值的方差，也可以是不同量的观测值的方差，以是不同量的观测值的方差， 称为单位权中误差。称为单位权中误差。 权比：测量误差与数据

6、处理测量误差与数据处理2单位权中误差 从权的定义式上看， 只起着一个比例常数的作用，而其值一经选定，它还有着具体的含义 ， 可以理解为衡量误差大小的“单位误差标准”。 凡是中误差等于 的观测值，其权必然等于1；或者说，权为1的观测值的中误差必然等于 。因此，通常称 为单位权中误差，而称 为单位权方差或方差因子，把权等于1的观测值，称为单位权观测值。【例2.6】已知三个角度观测值的中误差分别为3，4和5，试求各角的权。 解: 若取 则有 若取 则有 上例说明00取值不同， 则各观测值的权不同，但权之间的比值不变，即测量误差与数据处理测量误差与数据处理2【例2.7】已知A角的中误差A A=2，权P

7、 PA A=4，B角的权P PB B=16，试求单位权中误差0 0及B角的中误差B B。 解: 由权的定义式可得 将A A、P PA A之值代入上式可解出 又由权的定义式可得 测量误差与数据处理测量误差与数据处理2水准测量定权水准测量定权已知同精度观测Ni 个测站的水准高差hi 的方差为： 取C个测站的观测高差的方差为单位权方差，即 按定权公式可得用测站数定权的公式 用测站数定权（用于山地）用测站数定权（用于山地） 测量误差与数据处理测量误差与数据处理2 已知每公里观测高差的方差相等时， Si 公里观测高差的方差为 取C公里观测高差的方差为单位权方差， 即 按定权公式可得用路线长度定权的公式

8、： 上式说明，当每公里观测高差等精度时，水准测量高差的权与距离成反比。 用路线长度定权（用于平地）用路线长度定权（用于平地）测量误差与数据处理测量误差与数据处理2测量误差与数据处理测量误差与数据处理2【例2.8】如下图，确定水准路线观测值的权。图2.3 水准路线图假定每千米观测高差的中误差为 则由 各线路观测高差的中误差为： 如令则有：权比：测量误差与数据处理测量误差与数据处理2下面按路线长度定权的公式定权： 上式中令C=1，即取每千米高差中误差为单位权中误差，于是有： 上式中令C=3，即取3千米高差中误差为单位权中误差，于是有：权比：权比：权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方

9、法权与定权的常用方法【例例2.92.9】在在平平坦坦地地区区测测得得两两段段观观测测高高差差及及水水准准路路线线的的长长分分别别为为：h h1 1=10.125=10.125米米，S S1 1=3.8km=3.8km，h h2 2=-8.375=-8.375米米，S S2 2=5.5km=5.5km，设设每每一一测测站站的的观测精度相同，那么观测精度相同，那么h h1 1和和h h2 2哪一个权大？哪一个精度高？哪一个权大？哪一个精度高？ 解解：由由水水准准测测量量的的定定权权公公式式 知知，水水准准测测量量的的权权与与路路线线长长度度成成反反比比，因因为为S S2 2大大于于S S1 1 ，

10、所所以以，h h1 1的的权权比比h h2 2的的权权大大，h h1 1精度高。精度高。 测量误差与数据处理测量误差与数据处理2【例例2.102.10】在在相相同同观观测测条条件件下下进进行行的的四四等等水水准准测测量量中中，设设以以4 4公公里里的的观观测测高高差差为为单单位位权权观观测测高高差差，已已知知单单位位权权中中误误差差0 0 = =1mm1mm，则则6464公里观测高差的中误差等于多少？公里观测高差的中误差等于多少？ 解：根据题意知，解：根据题意知，C C=4=4公里公里，0 0 = = 1mm1mm，S=64S=64公里，由水公里，由水准测量的定权公式求准测量的定权公式求646

11、4公里观测高差的权公里观测高差的权 再由权的定义式再由权的定义式 可得可得 所以，所以，6464公里观测高差的中误差为公里观测高差的中误差为4 4mmmm。 距离量测定权 1 1、钢尺量距的权、钢尺量距的权 设单位长度距离丈量的方差为设单位长度距离丈量的方差为2 2 ， 则丈量距离则丈量距离S Si i 的方差为的方差为 取丈量长度取丈量长度C C的方差为单位权方差，的方差为单位权方差， 即取即取 则按定权公式得则按定权公式得 上式说明，上式说明， 当单位长度距离丈量的精度相同时，距离丈量的权与长当单位长度距离丈量的精度相同时，距离丈量的权与长度成反比。度成反比。测量误差与数据处理测量误差与数

12、据处理2距离量测定权测距仪测距的权可按定权公式直接求得，即测距仪测距的权可按定权公式直接求得，即 式中式中 为任选的单位权方差；为任选的单位权方差； 为测距方差，它包含固定误差为测距方差，它包含固定误差和比例误差两部分。即和比例误差两部分。即 mm kmmm km2 2、光电测距的权、光电测距的权测量误差与数据处理测量误差与数据处理2等精度观测算术平均值的权 已知一组等精度的独立观测值已知一组等精度的独立观测值( (方差均为方差均为2 2) )算术平均值的方差为：算术平均值的方差为： 若取若取C C次观测值的算术平均值为单位权观测值，次观测值的算术平均值为单位权观测值， 即取即取 按定权公式可

13、得算术平均值的权按定权公式可得算术平均值的权 上式说明，算术平均值的权与观测次数成正比。上式说明，算术平均值的权与观测次数成正比。 测量误差与数据处理测量误差与数据处理2协因数 单位权方差与观测值方差之比可作为衡量精度的相对指标，单位权方差与观测值方差之比可作为衡量精度的相对指标， 反过来，反过来，观测值方差与单位权方差之比同样可作为衡量精度的相对指标，我们称其观测值方差与单位权方差之比同样可作为衡量精度的相对指标，我们称其为协因数，用符号为协因数，用符号Q Qiiii表示，即表示，即 与权的定义式比较可得与权的定义式比较可得 由协因数定义式又可得到由协因数定义式又可得到 测量误差与数据处理2

14、协因数阵1 1、n n维随机向量维随机向量X X的协因数阵的协因数阵仿协因数定义仿协因数定义, ,定义两随机变量的互协因数定义两随机变量的互协因数 将将n n维随机向量维随机向量X X的的方差阵的定义式乘以方差阵的定义式乘以 ，得，得: : 上列矩阵称为协因数阵，上列矩阵称为协因数阵， 记作记作Q QX X， 即即 上式矩阵中，当上式矩阵中，当Q Qijij=0(ij)=0(ij)时，时， 则则X Xi i和和X Xj j互相独立。互相独立。 测量误差与数据处理2协因数阵当向量当向量Z Z是向量是向量X X和和Y Y的分块向量时，即的分块向量时，即 则有则有 式中，式中， Q QX X、Q Q

15、Y Y分别为分别为X X、Y Y向量的自协因数阵，而向量的自协因数阵，而Q QXYXY、Q QYXYX分别为分别为X X向量向量关于关于Y Y向量的互协因数阵，向量的互协因数阵，Q QXYXY与与Q QYXYX互为转置。当互为转置。当Q QXYXY=0 =0 时，表示时，表示X X、Y Y互相独互相独立。立。 2 2、分块向量的协因数阵、分块向量的协因数阵测量误差与数据处理2权阵 平差计算中，往往用协因数阵的逆阵参与运算，为表达方便，将其逆平差计算中，往往用协因数阵的逆阵参与运算，为表达方便，将其逆阵用符号阵用符号P P表示，并称其为权阵，即表示，并称其为权阵，即 观测值的权一般要通过对权阵求

16、逆得到协因数阵，再利用权与协因数观测值的权一般要通过对权阵求逆得到协因数阵，再利用权与协因数的倒数关系求权。当权阵为对角阵时，的倒数关系求权。当权阵为对角阵时，Q Qiiii=1/P=1/Piiii，再由权与协因数的关，再由权与协因数的关系得系得 测量误差与数据处理2测量误差与数据处理2【例例2.11 2.11 】 已知观测值向量已知观测值向量L L的协因数阵为的协因数阵为 试求试求:1) :1) 观测值观测值L L1 1、L L2 2的权的权P P1 1和和P P2 2； 2) 2) 观测值向量观测值向量L L的权阵的权阵P P。 解解: 1) : 1) 由权与协因数的关系式可得由权与协因数

17、的关系式可得 2) 2) 由权阵的定义式可得观测向量由权阵的定义式可得观测向量L L的权阵为的权阵为 测量误差与数据处理2【例例2.12 2.12 】已知观测向量】已知观测向量L L的权阵为的权阵为 试求观测值试求观测值L L1 1， L L2 2的权。的权。解解: : 由权阵与协因数阵的关系式得观测值向量由权阵与协因数阵的关系式得观测值向量L L的的 协因数阵为协因数阵为 再由权与协因数的关系式得再由权与协因数的关系式得: : 测量误差与数据处理2 协因数传播律设有随机向量设有随机向量X X的一个线性函数为：的一个线性函数为： 用矩阵表示为：用矩阵表示为：由于：由于：因此：因此：当随机向量当

18、随机向量X X中的各个分量两两之间相互独立时，它们之间的协因数为零，中的各个分量两两之间相互独立时，它们之间的协因数为零，此时此时z z的协因数为：的协因数为：或：或：测量误差与数据处理2 协因数传播律测量误差与数据处理2【例例2.13 】在测站在测站O O上观测了上观测了A A、B B、C C三个方向，三个方向， 如图所示，得观测值如图所示，得观测值L L1 1、L L2 2、L L3 3。设各方向值之间互相独立且等精度，。设各方向值之间互相独立且等精度， 其权逆阵为其权逆阵为 试求角度试求角度=(=(1 1 2 2)T)T的权逆阵的权逆阵Q Q。 解解: : 因为因为 上式中上式中 ，说明

19、在一个测站上当有二个以上方向时，说明在一个测站上当有二个以上方向时, , 由由方向观测值求出的角度之间是相关的。方向观测值求出的角度之间是相关的。 测量误差与数据处理2【例例2.14 】已知独立观测值已知独立观测值LiLi的权为的权为P Pi i(i=1(i=1，2 2，n)n)， 求加权平均值求加权平均值x=x=PLPL/ /P P的权的权PxPx。 解解: :因为因为 按协因数传播公式，得按协因数传播公式，得 由权与协因数的关系式，得由权与协因数的关系式，得 设在一个三角网中，以同精度独立分别观测n个三角形的三个内角 , 则第i个三角形的闭合差为：测量误差与数据处理2菲列罗公式菲列罗公式

20、（i=1,2,n） 三角形内角和的中误差 三角形闭合差计算测角中误差的计算公式 测量误差与数据处理2用不同精度的真误差计算单位权中误差用不同精度的真误差计算单位权中误差 设一系列不等精度的观测值、观测值的真误差、观测值的权分别为设一系列不等精度的观测值、观测值的真误差、观测值的权分别为 L1, L2, L1, L2, , Ln, Ln 1, 2, 1, 2, , n, n P1, P2, P1, P2, , Pn, Pn 再假设一列观测值为再假设一列观测值为 其真误差为其真误差为 由协因数传播律可得由协因数传播律可得 即说明即说明 （i=1,2,i=1,2,n,n）是等精度的）是等精度的, ,

21、 且权都等于且权都等于1 1。 测量误差与数据处理2按按等精度观测计算中误差的公式，有等精度观测计算中误差的公式，有 将将 代入上式，可得代入上式，可得 上式即为按不等精度观测值的真误差求单位权中误差的公式。上式即为按不等精度观测值的真误差求单位权中误差的公式。 如果要求第如果要求第i i个观测值的中误差，只要由权的定义式通过变换便可得到个观测值的中误差，只要由权的定义式通过变换便可得到计算公式，即计算公式，即 测量误差与数据处理2利用双观测列之差求中误差利用双观测列之差求中误差1 1、利用双观测列之差求、利用双观测列之差求单位权中误差单位权中误差设一组量的双观测列分别为设一组量的双观测列分别

22、为 和和 为第为第i i个量的往返观测值个量的往返观测值, , 再设每个量的双观测的权相等再设每个量的双观测的权相等, , 均为均为PiPi，则同一量的双观测之差为，则同一量的双观测之差为 其真误差为其真误差为 利用权倒数传播公式得双观测之差的权倒数为利用权倒数传播公式得双观测之差的权倒数为 测量误差与数据处理2利用双观测列之差求中误差双观测之差的权为双观测之差的权为 由不等精度观测求单位权中误差的公式可得由不等精度观测求单位权中误差的公式可得 将将 和和 代入上式得代入上式得 等精度观测时有等精度观测时有 测量误差与数据处理2利用双观测列之差求中误差利用双观测列之差求中误差 如果要求任一量的

23、单次观测的中误差，根据权的定义式可以如果要求任一量的单次观测的中误差，根据权的定义式可以导出所求结果为导出所求结果为 2 2、求双观测列单次观测的中误差、求双观测列单次观测的中误差测量误差与数据处理2利用双观测列之差求中误差利用双观测列之差求中误差根据协方差传播公式得根据协方差传播公式得 则双观测列平均值的中误差为则双观测列平均值的中误差为 等精度观测时有等精度观测时有 3 3、求双观测列平均值的中误差、求双观测列平均值的中误差如果要求任一对观测值平均值的中误差如果要求任一对观测值平均值的中误差, , 则由求平均值的函数式则由求平均值的函数式 测量误差与数据处理2【例2.15】设在A、B两水准

24、点间分五段进行水准测量，每段进行往返观测，其结果列于表中。试求：（1）每公里观测高差中误差；（2）第二段观测高差中误差；（3）第二段高差平均值的中误差；（4）全长一次观测高差中误差；（5）全长高差平均值中误差。段 号高 差往 测（m）返 测（m）12345+1.444-0.348+0.584-3.360-0.053-1.437+0.356-0.593+3.352+0.063+7+8-9-8+104.03.02.01.52.5测量误差与数据处理2解：令C=1，即令1km观测高差为单位权观测值。 （1）每公里观测高差的中误差 （2）第二段观测高差中误差（3）第二段往返观测高差平均值中误差测量误差与

25、数据处理2 （4）全长一次测高差中误差 （5）全长观测高差平均值中误差测量误差与数据处理2测量平差准则 角号观测值vvvABC451721793456550737+2+2+2+1+1+4+1+2+31795954+6+6+6 下表中三角形内角之和与其理论值（180）之间存在不符值，其闭合差值 W=L1+L2+L3-180= -6。 为了消除观测值之间的不符值，各观测值上应分别加上一个改正数 Vi ，使得满足 满足上述理论关系的改正数有很多，哪一组改正数最合适呢？的条件下求出未知参数和观测值的估值，这种方法就称为最小二乘法。的条件下求出未知参数和观测值的估值，这种方法就称为最小二乘法。这就是测量

26、平差遵循的原则这就是测量平差遵循的原则最小二乘法原理。最小二乘法原理。测量误差与数据处理2测量平差准则最小二乘原理所谓测理平差准则，就是要在满足所谓测理平差准则，就是要在满足最小二乘法的矩阵形式最小二乘法的矩阵形式 式中式中 称为观测向量的权阵；称为观测向量的权阵；V V称为改正数向量。称为改正数向量。测量误差与数据处理2【例2.16】 设对未知量同精度独立观测了n次，其观测值为L1，L2，L。试按最小二乘原理求该量的最或是值。解：设该量的最或是值为解：设该量的最或是值为x x，观测值的改正数为，观测值的改正数为v v，则，则根据最小二乘法原理根据最小二乘法原理为了求出上式的最小值，为了求出上式的最小值，对上述函数中的对上述函数中的x x进行求导，并令其等于零。进行求导，并令其等于零。整理得：整理得：