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1、第四节第四节 复合函数求导复合函数求导 法则及其应用法则及其应用一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则二、初等函数的求导问题二、初等函数的求导问题三、一阶微分的形式不变性三、一阶微分的形式不变性四、隐函数的导数四、隐函数的导数五、对数求导法五、对数求导法六、参数形式的函数的求导公式六、参数形式的函数的求导公式1一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则而函数而函数 在在 处可导，则复合函数处可导，则复合函数 定理定理4.4.1 (复合函数求导法则复合函数求导法则 ) 设函数设函数 在在 可导，可导，在在可导，且有可导，且有:即即 证明：由证明：由 在在 可导也即可微可导也即可微2 又由又由 在
2、在 可导，因此可导，因此 而而 于是于是 令令 则则3复合函数的求导法则可以写成复合函数的求导法则可以写成:即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则. 复合函数的微分公式为复合函数的微分公式为: 4解解:例例4.4.1推广推广5解解:例例4.4.2例例4.4.3解解:6二、初等函数的求导问题二、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式72.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设u= = u(x
3、),v=v(x)可导，则可导，则83.复合函数的求导法则复合函数的求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.例例4.4.44.4.4解解:9设函数设函数 有导数有导数（1）若）若x 是自变量时，是自变量时，三、一阶微分的形式不变性三、一阶微分的形式不变性（2）若）若x是中间变量时，即是另一变量是中间变量时，即是另一变量 t 的可微函数的可微函数则则 .10结论：不论结论：不论 x 是自变量还是中间变量，函数是自变量还是中间变量，函数的微分形式总是的微分形式总是 .例例4.
4、4.5设设 ,求求 .解解:例例4.4.6设设 ，求，求 .11四、隐函数的导数四、隐函数的导数解解:定义定义4.4.1 由方程由方程 所确定的函数所确定的函数称为隐函数。称为隐函数。隐函数的显化隐函数的显化问题问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?12隐函数求导法则隐函数求导法则: : 用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导,或利用或利用一阶微分的形式不变性对方程两边求微分一阶微分的形式不变性对方程两边求微分.例例4.4.7的导数的导数.解解: 法一、方程两边对法一、方程两边对 x 求导求导 (注注: y 看成看成 x 的
5、函数的函数)求由方程求由方程 确定的隐函数确定的隐函数 13法二、方程两边同时求微分法二、方程两边同时求微分例例4.4.8设曲线设曲线 C 的方程为的方程为 ，14求过求过 C 上点上点 的切线方程，并证明曲线的切线方程，并证明曲线 C 在该点在该点显然通过原点显然通过原点.解解:所求切线方程为所求切线方程为的法线通过原点的法线通过原点.15五、对数求导法五、对数求导法 先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围: :例例4.4.94.4.9解解:等式两边取对数得等式两边取对数得16例例4.4.104.4.10解解
6、:等式两边取对数得等式两边取对数得17六、参数形式的函数的求导公式六、参数形式的函数的求导公式定义定义4.4.2若参数方程若参数方程 确定确定 x 与与 y 间的函数关系，间的函数关系，称此为称此为参数形式的函数参数形式的函数.例如例如消去参数消去参数18问题问题: 消参困难或无法消参的如何求导？消参困难或无法消参的如何求导？在方程在方程 中，中， 设设 和和 在在 即即 在在 上严格单调且上严格单调且 ，上可导上可导,上存在反函数上存在反函数 由反函数求导法则，由反函数求导法则， 在在 由复合函数求导法则由复合函数求导法则: 从而从而且成立且成立19也可以直接求微分也可以直接求微分两边相除，得两边相除，得 例例4.4.11 求摆线求摆线 在在 处的切线方程处的切线方程.解解:20 所求切线方程为所求切线方程为21七七. 小结小结复合函数求导法则复合函数求导法则初等函数的求导问题初等函数的求导问题一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性隐函数的导数隐函数的导数对数求导法对数求导法参数形式的函数的求导公式参数形式的函数的求导公式1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则22
