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1、中学学习微积分的意义中学学习微积分的意义天地通用微积分：是研究各种科学的工天地通用微积分：是研究各种科学的工具，是学生终生学习最重要的数学基础具，是学生终生学习最重要的数学基础在中学数学中，微积分是研究初等函数在中学数学中，微积分是研究初等函数和几何问题最有效的工具：和几何问题最有效的工具：平均值、单调性、极值、最值、求长度、平均值、单调性、极值、最值、求长度、面积、体积等面积、体积等树立科学的世界观，用变化的观点观察树立科学的世界观，用变化的观点观察世界世界中学学习微积分的方法中学学习微积分的方法直观微积分直观微积分通过直观说理学习微积分，而不是不说理。通过直观说理学习微积分，而不是不说理。
2、平均速度和瞬时速度，平均变化率和瞬时变平均速度和瞬时速度，平均变化率和瞬时变化率。化率。割线与切线斜率的计算割线与切线斜率的计算通过数值的近似计算理解微积分思想通过数值的近似计算理解微积分思想计算器和计算软件的使用计算器和计算软件的使用微积分编写的指导思想微积分编写的指导思想1.打破传统的教学顺序，越过极限理论和连续函打破传统的教学顺序，越过极限理论和连续函数，直取导数，然后快速攻进微积分的核心数，直取导数，然后快速攻进微积分的核心微积分基本定理微积分基本定理. 2.本教材从学生所喜爱的登山运动出发，创设学本教材从学生所喜爱的登山运动出发，创设学习导数的情景，以测量山顶高度为实际背景，习导数的
3、情景，以测量山顶高度为实际背景，导出微积分学基本定理导出微积分学基本定理.这种做法的理论依据仅这种做法的理论依据仅仅是中学生所熟知的直角三角形的解法仅是中学生所熟知的直角三角形的解法勾股定理 y x 直角三形中的边角关系直角三形中的边角关系教学要求教学要求理解微积分学大意理解微积分学大意1. 以运动的平均速度、曲线割线的斜率为背景，以运动的平均速度、曲线割线的斜率为背景，认识函数的平均变化率；以运动的瞬时速度和认识函数的平均变化率；以运动的瞬时速度和曲线切线的斜率为背景，认识函数的瞬时变化曲线切线的斜率为背景，认识函数的瞬时变化率，从而引出导数的概念率，从而引出导数的概念.由此过程，让学生体会
4、导数与现实生活多么密由此过程，让学生体会导数与现实生活多么密切，理解导数的真正含意切，理解导数的真正含意.2. 学会用导数定义，求出部分幂函数的导学会用导数定义，求出部分幂函数的导数，并记住基本初等函数的求导公式；数，并记住基本初等函数的求导公式；并会用四则运算公式和复合函数的求导并会用四则运算公式和复合函数的求导法则，求一些比较复杂的初等函数的导法则，求一些比较复杂的初等函数的导数，在求导过程中，进一步领会导数概数，在求导过程中，进一步领会导数概念的实质念的实质.3. 体会导数的重要价值：体会导数的重要价值：（1）导数对人们原先难以认识的函数性质）导数对人们原先难以认识的函数性质和曲线的切线
5、给出了通用的方法，使这和曲线的切线给出了通用的方法，使这些困难问题迎刃而解；同时导数可以帮些困难问题迎刃而解；同时导数可以帮助我们解决更多的数学问题；助我们解决更多的数学问题；（2）导数可以解决某些现实生活中的优化）导数可以解决某些现实生活中的优化问题，增强我们解决实际问题的能力问题，增强我们解决实际问题的能力.4. 从寻求曲边梯形面积和变力作功出发，引出定从寻求曲边梯形面积和变力作功出发，引出定积分概念，由此体会定积分的真正内涵；学会积分概念，由此体会定积分的真正内涵；学会对最简单的函数求定积分（例如，对最简单的函数求定积分（例如，y=c,x,x2, 1/x）；）；并理解如下运算：并理解如下
6、运算： 5通过计算山顶的高度和变力所做通过计算山顶的高度和变力所做的功，理解微积分基本定理，并通的功，理解微积分基本定理，并通过该定理，认识到求导数和求积分过该定理，认识到求导数和求积分互为逆运算，并会用导数公式来求互为逆运算，并会用导数公式来求定积分定积分.6 6在本章教学中，要注意让学生体会微在本章教学中，要注意让学生体会微积分学在认识论上的价值，体会任何高积分学在认识论上的价值，体会任何高深的理论都源于简单的、基本的事实；深的理论都源于简单的、基本的事实；任何复杂的事物可以化解为一个一个的任何复杂的事物可以化解为一个一个的简单问题；体会用微观认识宏观的辩证简单问题；体会用微观认识宏观的辩
7、证方法方法. .要让学生了解微积分学在数学发展要让学生了解微积分学在数学发展中重要作用和在现实生活中的意义中重要作用和在现实生活中的意义. .二、教学要点二、教学要点学习微积分的一学习微积分的一些关键步骤些关键步骤1. 对直角三角形对直角三角形ABC， tan=b/a, 斜边斜边c的斜率的斜率 是是 k=tan=b/a. 某人从沿某人从沿C从从A走到走到B，高度在不高度在不断变化，变化的快慢可用数字断变化，变化的快慢可用数字k=b/a来描述来描述.abABC设有线性函数设有线性函数 y=ax+b，其图像是直线其图像是直线l，从从A沿沿l到到B，函数函数y=ax+b的值在不断变化，其变化快的值在
8、不断变化，其变化快慢（仿直角三角形）可用数慢（仿直角三角形）可用数 某人沿弯曲山路从某人沿弯曲山路从A走到走到B，高度在不断变化，高度在不断变化，其变化快慢如何用数量描述呢？当曲线其变化快慢如何用数量描述呢？当曲线AB非常非常短时，可用割线短时，可用割线AB近似地代表，即可用近似地代表，即可用(f(x1)-f(x0)/(x-x0) 近似描述此段山路高度的变化快慢近似描述此段山路高度的变化快慢.af(x1)-f(x0)x-x0函数的平均和瞬时变化率函数的平均和瞬时变化率函数函数f(x) 区间区间x0, x1的平均变化率是的平均变化率是教材中以运动员跳水为例进行了计算瞬教材中以运动员跳水为例进行了
9、计算瞬时变化率时变化率f(x1)-f(x0)x-x0f(x1)-f(x0)x-x0l曲线切线的斜率曲线切线的斜率y /x当当x0时，时，B Ay /x k就是切线就是切线l的斜率的斜率ABlxy简单初等函数的导数简单初等函数的导数c=0, x=1, (x2)=2x, (3/2 x) =3/2 x1/2, (sin x)=cos x, (cos x)=-sinx, （ex) = ex (ln x)=1/x.两函数之和、差、积、商求导两函数之和、差、积、商求导掌握基本初等函数的求导公式是非常必掌握基本初等函数的求导公式是非常必要的，同时要记住两函数之和、之积、之要的，同时要记住两函数之和、之积、之
10、商的求导公式商的求导公式.运用这两方面的结果，可以运用这两方面的结果，可以求出许多较为复杂函数的导数求出许多较为复杂函数的导数.两两点补充点补充（1）要理解复合函数的求导公式）要理解复合函数的求导公式 y=f(u), u=g(x) fx (g(x)= fu gx (x). y=k1u, u=k2x y=k1k2x 2.直观理解sin x和cos x的 导数xOABCOBC OAB扇形扇形OAB1/2sin xcos x1/2sin x1/2xsin xcos xsin xxxxxOABCDE对数函数对数函数lnx的的导数导数导数应用导数应用费马定理作奠基费马定理作奠基如果函数如果函数f(x)
11、在在x=x0 附近是可导的，而附近是可导的，而且均有且均有f(x)f(x0) （或或f(x)f(x0)），），则必有则必有f(x0)=0.f(x0)=0是是x0为极值点的必要条件，于是为极值点的必要条件，于是极值点必在极值点必在f(x)=0的解之中的解之中.人们一般称使人们一般称使f(x)=0的点为驻点，极值点必在驻点之列的点为驻点，极值点必在驻点之列.直观说明用导数判定函数的增减性和极直观说明用导数判定函数的增减性和极值的判定值的判定如果在如果在x= x0附近，有附近，有（f(x0)0） (或或f(x0) 0)，函数函数f(x) 在在x0 附近是增加的（或附近是增加的（或减少的）；减少的）；
12、若若y=f(x)的图像在的图像在a, b上是一条连续上是一条连续不断的曲线，不断的曲线，f(x) 在在a, b必有最大值与必有最大值与最小值最小值.解极值解极值问题问题例例1 求求f(x)=(x-1)2x2-(3a+4)x+9a-4在区间在区间 0， 3的最大值与最小值，其中常数的最大值与最小值，其中常数a满足满足0a2.例例2 在直径为在直径为1 m的圆桌正上方安装一吊灯，的圆桌正上方安装一吊灯，桌面照度桌面照度y=ksin(/r),其中其中r是灯与被照点的距是灯与被照点的距离，离，是光线与桌面的夹角是光线与桌面的夹角.为使桌边最亮，为使桌边最亮，吊灯应离桌面多高吊灯应离桌面多高.例例3 设
13、设 a、b、c为正数，则为正数，则f(x)无最大值无最大值,有最小值有最小值,最小值为最小值为f(x0)4定积分源于面积问题定积分源于面积问题如果学生问，矩形面积为什么等于长乘宽？其如果学生问，矩形面积为什么等于长乘宽？其实这问题连大学生也未必能回答实这问题连大学生也未必能回答.至于曲线形面积至于曲线形面积是什么，更是一个艰难的问题是什么，更是一个艰难的问题.现在，我们姑且承现在，我们姑且承认矩形面积公式，在直观的基础上，认识曲边形认矩形面积公式，在直观的基础上，认识曲边形面积，最简单的曲边形是互相垂直的直线段，另面积，最简单的曲边形是互相垂直的直线段，另一边是曲线段一边是曲线段.例如由例如由y=x2，y=0, y=1所围的曲边三角形所围的曲边三角形.它的面积是一个客观存在，它的面积是一个客观存在，记为记为S，S是常数是常数.将底边将底边n等分，曲线之下各大小等分，曲线之下各大小矩形面积之和矩形面积之和,当当n趋向于无穷时趋向于无穷时,极限应存在极限应存在.通过求曲边梯形的面积理解定积分和通过求曲边梯形的面积理解定积分和微积分基本定理微积分基本定理例例 求求y=x2，y=0, y=1围成的的曲边围成的的曲边梯形的面积梯形的面积 A=y x+(1/2) x y5微积分基本定理山有多高hh2hih1hi-1abhny=F(x)=f(x)xyhi=F (xi) x
