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1、1微分中值定理与微分中值定理与微分中值定理与微分中值定理与导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用习题课习题课内容提要内容提要典型例题典型例题2一、内容提要一、内容提要1. 理解罗尔理解罗尔(Rolle) 定理和拉格朗日定理和拉格朗日(Lagrange)2. 泰勒泰勒(Tayloy)定理定理.定理以及定理以及柯西柯西(Cauchy)定理定理. 3. 会用洛必达会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限法则求不定式的极限.3洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理Taylo
2、rTaylor中值定理中值定理单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用一、内容提要一、内容提要41 1. .微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理罗尔定理 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 柯西中值定理柯西中值定理 泰勒中值定理泰勒中值定理 )()()(000xxxfxfxf- - + += =abafbff- - -= = )()()(x x0= =n52. 微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态研究函数或导数的性
3、态(3) 证明恒等式或不等式证明恒等式或不等式(4) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论(2) 证明方程根的存在性证明方程根的存在性6利用利用一般解题方法一般解题方法: :证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个中值的等式或根的存在, ,若结论中涉及到含中值的两个不同函数若结论中涉及到含中值的两个不同函数, ,可考虑用可考虑用若已知条件中含高阶导数若已知条件中含高阶导数, ,若结论中含两个或两个以上的中值若结论中含两个或两个以上的中值, ,3 3. .有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法(1)可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数. .(2)柯西中值定理柯西中值定理.
4、.中值定理中值定理. .(3)(4)有时也可考虑有时也可考虑多考虑用多考虑用泰勒公式泰勒公式, ,逆向思维逆向思维逆向思维逆向思维, , , ,设设辅助函数辅助函数. . 多用多用罗尔定理罗尔定理, ,必须必须多次应用多次应用对导数用中值定理对导数用中值定理. .(5) 若结论为不等式若结论为不等式 , 要注意适当要注意适当放大放大或或缩小缩小的技巧的技巧.7二、典型例题二、典型例题例例 证明方程证明方程在在(0,1)内至少有一实根内至少有一实根分析分析 如令如令则则的符号不易判别的符号不易判别不便使用介值定理不便使用介值定理用用 Rolle 定理来证定理来证证证 令令则则且且故由故由Roll
5、e 定理知定理知即即在在(0,1)内有一实根内有一实根8且满足罗尔定理其它条件且满足罗尔定理其它条件,练习练习证：证：9例例 提示：提示：满足满足Rolle 定理的条件定理的条件10在在内可导内可导, ,且且证明至少存在一点证明至少存在一点使使上连续上连续, ,在在问题转化为证问题转化为证设辅助函数设辅助函数用用RolleRolle定理定理, ,使使即有即有例例证证分析分析0)(2)(= =+ + x xx xx xff0)()(2)(2= = + += = x xx xx xx xx xffF11例例分析分析构造辅助函数构造辅助函数F(x),则问题转化为则问题转化为的零点存在问题的零点存在问
6、题.证证 设设设设 Rolle定理定理使得使得因此必定有因此必定有12例例.设函数设函数 f (x) 在在0, 3 上连续上连续, 在在(0, 3) 内可导内可导, 且且 分析分析: 所给条件可写为所给条件可写为试证必存在试证必存在 想到找一点想到找一点 c , 使使证证: 因因 f (x) 在在0, 3上连续上连续, 所以在所以在0, 2上连续上连续, 且在且在0, 2上有最大值上有最大值 M 与最小值与最小值 m, 故故由由介值定理介值定理, 至少存在一点至少存在一点 由由罗尔定理罗尔定理知知, 必存在必存在 13例例解解极限不等于零的因子14运用取对数法 .例例解解1516运用取对数法
7、.例例解解17这是数列的极限罗必达例例解解思考：此题如何用重要极限的方法求解？思考：此题如何用重要极限的方法求解？18例例19思考：此题如何用重要极限的方法来求解？思考：此题如何用重要极限的方法来求解？20例例解法解法1罗比达法则罗比达法则1)51 (2lim540- -+ += =- -xxx原式原式590)51 (42lim- -+ +- -= =xx.21- -= =21例例 解法解法2泰勒展开式泰勒展开式22例例证证 法一法一 用单调性用单调性设设即即由由证明不等式证明不等式23可知可知,即即法二法二 用用Lagrange定理定理设设Lagrange定理定理由由得得即即242425二、
8、设二、设 f(x) 在在 0,1上连续，在上连续，在(0,1)内导，且内导，且f(1)=0, 试证：至少在一点试证：至少在一点 ，使得使得26二、几个函数的麦克劳林公式二、几个函数的麦克劳林公式 一、泰勒公式一、泰勒公式三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 泰勒泰勒 ( Taylor )公式公式 定理定理:泰勒泰勒(Taylor )中值定理中值定理有有其中其中则对于任一则对于任一 如果如果f (x)在含有点在含有点x0的某个开区间的某个开区间( (a, ,b) )内具有直到内具有直到(n+1)阶的导数，阶的导数，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 特例特例:当当 n =
9、 0 时时, 泰勒公式泰勒公式变成变成拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理公式公式称为称为f (x)按按 (x- -x0) 的幂展开的带有拉格朗日型的幂展开的带有拉格朗日型公式公式 称为称为拉格朗日型余项拉格朗日型余项 .余项的余项的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注注: :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、几个函数的麦克劳林公式二、几个函数的麦克劳林公式上述公式称为上述公式称为f(x
10、)的的麦克劳林麦克劳林( Maclaurin)公式公式 .因此可令因此可令 在泰勒公式中取在泰勒公式中取从而泰勒公式变为较简单的形式从而泰勒公式变为较简单的形式,即即 其中其中机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 其中其中 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 其中其中机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 其中其中以上介绍的几个函数的麦克劳林展开式，在应用以上介绍的几个函数的麦克劳林展开式，在应用中经常遇到，应该熟记！中经常遇到，应该熟记！机动机动 目录目录 上页上页
11、下页下页 返回返回 结束结束 三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1. 求较为复杂的函数的麦克劳林展开式或泰勒展开式求较为复杂的函数的麦克劳林展开式或泰勒展开式 例例3:3:求求解解: :因为因为 又又 的麦克劳林展开式的麦克劳林展开式. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4:4:求函数求函数 解解: :因为因为 处的泰勒展开式处的泰勒展开式. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 即即 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解机动机动 目录目录 上页上页
12、 下页下页 返回返回 结束结束 2. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 例例5:5:利用利用的的8阶麦克劳林展开式计算阶麦克劳林展开式计算e的近似值的近似值, ,并估计误差并估计误差. .解解: :取取n=8，进行计算得进行计算得 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 其误差其误差 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 五、小结五、小结五、小结五、小结五、小结五、小结五、小结五、小结五、小结五、小结已知幸福是可导的已知幸福是可导的,时间是可微的时间是可微的,所以我对你的祝福是连续的所以我对你的祝福是连续的!是罗尔定理所不能证明的是罗尔定理所不能证明的,是拉格朗日无法求导的是拉格朗日无法求导的.又因为记忆的曲线是凸的又因为记忆的曲线是凸的,思念的曲线是凹的思念的曲线是凹的,所以忘记你的点是不所以忘记你的点是不存在的存在的.综上所述综上所述,快乐是收敛的快乐是收敛的,等待是唯一的等待是唯一的,并且我对你的祝福是单调递增的并且我对你的祝福是单调递增的.祝你烦恼高阶无穷小祝你烦恼高阶无穷小,好运连续且可导好运连续且可导,理理想一定洛必达想一定洛必达,拉格朗日天天照拉格朗日天天照,生活不单生活不单调调,道路不凸凹道路不凸凹,f(心情心情)0,lim(快乐快乐)=!
