圆锥曲线教材分析 北京市第九十四中学 王秀彩 2012-10-29 1、平面解析几何的教学内容安排、平面解析几何的教学内容安排必修必修2 2 直线和圆直线和圆选修选修1-1 1-1 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程选修选修2-1 2-1 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程选修选修4-4 4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程一、教材分析 2、平面解析几何的教材编写意图、平面解析几何的教材编写意图（（1 1）强调数形转换、数形结合这一重要的思想方法强调数形转换、数形结合这一重要的思想方法 学习和体会用解析几何解决问题的学习和体会用解析几何解决问题的““三部曲三部曲””几 何 问题(点、线)建立坐标系代数问题(数对、方程)返回几何代数解决建立坐标系代数方法返回 （（2 2）强调几何背景强调几何背景 例如，与原课程相例如，与原课程相比，新课程比，新课程更强调圆锥更强调圆锥曲线的来龙去脉，更强曲线的来龙去脉，更强调其几何背景调其几何背景 （（3 3）强调学生发展的需要。
强调学生发展的需要 例如，新课程改变了原来的缺乏层次、要求例如，新课程改变了原来的缺乏层次、要求单一的设计，对于不同的学生设计了不同的层次单一的设计，对于不同的学生设计了不同的层次如对希望在人文、社会科学等方面发展的学生，如对希望在人文、社会科学等方面发展的学生，更强调对椭圆这一特殊的圆锥曲线有一个比较全更强调对椭圆这一特殊的圆锥曲线有一个比较全面的了解，而其他的圆锥曲线只作一般性了解面的了解，而其他的圆锥曲线只作一般性了解这样做，在很大的程度上，是关注学生自身的发这样做，在很大的程度上，是关注学生自身的发展与需要展与需要 课标要求（文）课标要求（文）（（1 1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用世界和解决实际问题中的作用2 2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程（）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程（参见例参见例1 1），掌握），掌握椭圆椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；的定义、标准方程及简单几何性质；（（3 3）了解）了解抛物线抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道知道它们它们的简单几何性质。
的简单几何性质4 4）通过圆锥曲线）通过圆锥曲线与方程与方程的学习，进一步体会数形结合的的学习，进一步体会数形结合的思想5 5））了解圆锥曲线的简单应用了解圆锥曲线的简单应用，能用坐标法解决一些与圆，能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题锥曲线有关的简单几何问题3、、《《圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程》》课程标准课程标准 课标要求（理）课标要求（理） （（1 1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用界和解决实际问题中的作用 （（2 2）经历从具体情境中抽象出椭圆、）经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线抛物线模型的过程，掌模型的过程，掌握握它们它们的定义、标准方程、的定义、标准方程、几何图形几何图形及简单性质；及简单性质； （（3 3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线双曲线的有关性质的有关性质 （（4 4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题实际问题 （（5 5）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。
通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想 （（6 6）结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的）结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想对应关系，进一步感受数形结合的基本思想 理科理科1616课时课时课时课时 2.1 2.1 曲线与方程曲线与方程2 2课时课时 2.2 2.2 椭圆椭圆5 5课时课时 2.3 2.3 双曲线双曲线3 3课时课时 2.4 2.4 抛物线抛物线4 4课时课时 小结小结2 2课时课时文科文科1212课时课时课时课时 2.1 2.1 椭圆椭圆4 4课时课时 2.2 2.2 双曲线双曲线3 3课时课时 2.3 2.3 抛物线抛物线3 3课时课时 小结小结2 2课时课时4、、《《圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程》》内容与课时安排内容与课时安排 二、教学建议1、注重概念的获得、注重概念的获得辨别辨别 分化分化类化类化 检验检验 概括概括 形式化形式化 抽象抽象 操作操作 表象表象定义定义 体系体系 运用运用 （（1 1）重经验也重体验）重经验也重体验【【案例一案例一】】椭圆的生活引入椭圆的生活引入油罐车油罐车 天体运行天体运行 拱桥的桥拱采用基于椭圆的优化设计，拱桥的桥拱采用基于椭圆的优化设计，拱桥的桥拱采用基于椭圆的优化设计，拱桥的桥拱采用基于椭圆的优化设计， 无论从力学原理，还是从施工角度考虑无论从力学原理，还是从施工角度考虑无论从力学原理，还是从施工角度考虑无论从力学原理，还是从施工角度考虑 都是优越于传统的圆弧型的。
都是优越于传统的圆弧型的都是优越于传统的圆弧型的都是优越于传统的圆弧型的中国水利水电科学研究院研究表明：中国水利水电科学研究院研究表明：中国水利水电科学研究院研究表明：中国水利水电科学研究院研究表明：设计意图：设计意图：体验体验““生活中生活中有椭圆，生活有椭圆，生活中用椭圆中用椭圆”” （（2 2）重结果也重过程）重结果也重过程【【案例二案例二】】椭圆的概念建构椭圆的概念建构【【问题一问题一】】你会画椭圆吗？画一个试试你会画椭圆吗？画一个试试设计意图：设计意图：1 1）让学生参与课堂；）让学生参与课堂；2 2）为后续的教学提供素材为后续的教学提供素材 【【问题二问题二】】你确定你画的是椭圆吗？你是如何确定的？你确定你画的是椭圆吗？你是如何确定的？设计意图：设计意图：引起认知冲突，提高问题意识，优化理性思维引起认知冲突，提高问题意识，优化理性思维 【【问题三问题三】】拿出准备的工具，按下面指令操作：拿出准备的工具，按下面指令操作：设计意图：设计意图：1 1）感受椭圆的一种）感受椭圆的一种““新新””画法；画法；2 2）抽象出椭圆的本质属性，并将其符号化，初步形成表象抽象出椭圆的本质属性，并将其符号化，初步形成表象。
1 1 1 1）取一条细线，一张纸板；）取一条细线，一张纸板；）取一条细线，一张纸板；）取一条细线，一张纸板；2 2 2 2）在纸板上取两点分别标上）在纸板上取两点分别标上）在纸板上取两点分别标上）在纸板上取两点分别标上F F F F1 1 1 1、、、、F F F F2 2 2 2 ；；；；3 3 3 3）把细线的两端分别固定在）把细线的两端分别固定在）把细线的两端分别固定在）把细线的两端分别固定在F F F F1 1 1 1、、、、F F F F2 2 2 2 两点；两点；两点；两点；4 4 4 4）用笔尖把细线拉紧，在纸板上慢慢移动画出图形用笔尖把细线拉紧，在纸板上慢慢移动画出图形用笔尖把细线拉紧，在纸板上慢慢移动画出图形用笔尖把细线拉紧，在纸板上慢慢移动画出图形你画出的图形你画出的图形象象什么？如果把笔尖记作动点什么？如果把笔尖记作动点M M，你能写出，你能写出动点动点M M满足的条件吗？满足的条件吗？ 【【问题四问题四】】满足满足 的动点的动点M M的轨迹一定是的轨迹一定是椭圆吗？变换线的长度画画看得出结论后前后左右交流。
椭圆吗？变换线的长度画画看得出结论后前后左右交流设计意图：设计意图：1 1）在操作中感受椭圆形状的变化，体验）在操作中感受椭圆形状的变化，体验““极端化极端化””思想思想 ；；2 2）在互动中使表象逐步趋于清晰，为正确概念的形成铺垫在互动中使表象逐步趋于清晰，为正确概念的形成铺垫结论：需要满足三个条件：结论：需要满足三个条件：（（1 1）） ；；（（2 2）） ；；（（3 3）平面内 【【问题五问题五】】你能据此用自己的语言给椭圆下个定义吗？你能据此用自己的语言给椭圆下个定义吗？设计意图：设计意图：1 1）培养学生语言互译能力以及语言组织能力；）培养学生语言互译能力以及语言组织能力；2 2）初步形成椭圆的概念初步形成椭圆的概念 平面内平面内与两个定点与两个定点 、、 的距离的和等于常数（大于的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆）的点的轨迹叫做椭圆. . 这两个定点叫做椭圆的焦这两个定点叫做椭圆的焦点点, ,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. .注：若注：若 , ,则则P P点的轨迹为椭圆点的轨迹为椭圆. . 若若 , ,则则P P点的轨迹为线段点的轨迹为线段. . 若若 , ,则则P P点的轨迹不存在点的轨迹不存在. . （（3 3）重预设也重生成）重预设也重生成没有预设的教学是盲目的，没有预设的教学是盲目的，唯有不断生成的教学才可能是鲜活的！唯有不断生成的教学才可能是鲜活的！ 【【生成一生成一】】对于问题对于问题““你会画椭圆吗？画一个试试。
你会画椭圆吗？画一个试试1 1）随手画；）随手画；2 2）用绘图板画；）用绘图板画；3 3）将圆同比例拉伸或压缩；）将圆同比例拉伸或压缩；4 4）用斜二测画法画圆的直观图；）用斜二测画法画圆的直观图；5 5）用定义；）用定义；6 6）用圆锥曲面截；）用圆锥曲面截；7 7）用圆柱曲面截；）用圆柱曲面截；8 8）用手电筒照射球描投影用手电筒照射球描投影 设两定点为设两定点为A,B,AB=2c,A,B,AB=2c,动点动点M M满足满足MAMA··MB=aMB=a2 2(a>0)(a>0)当当a ca> c时，曲线中部凸起时，曲线中部凸起 ————卡西尼卵形线卡西尼卵形线【【生成二生成二】】平面内到两定点距离之积是常数的动点轨迹是什么？平面内到两定点距离之积是常数的动点轨迹是什么？ 如图所示，如图所示，A A、、B B为定点，为定点，M M到到A A和和B B的距离之比为的距离之比为k k，，如果如果k=1k=1，那么，那么M M的轨迹为线段的轨迹为线段ABAB的中垂线；的中垂线；如果如果k≠1k≠1，那么，那么M M的轨迹为一个圆的轨迹为一个圆————阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆。
【【生成三生成三】】平面内到两定点距离之比是常数的动点轨迹是什么？平面内到两定点距离之比是常数的动点轨迹是什么？ 【【生成四生成四】】为什么把椭圆、双曲线和抛物线都称为圆锥曲线呢？为什么把椭圆、双曲线和抛物线都称为圆锥曲线呢？如何在圆锥曲面上如何在圆锥曲面上截出椭圆、双曲线截出椭圆、双曲线以及抛物线？如何以及抛物线？如何证明呢？证明呢？证明椭圆证明椭圆 【【生成四生成四】】为什么把椭圆、双曲线和抛物线都称为圆锥曲线呢？为什么把椭圆、双曲线和抛物线都称为圆锥曲线呢？如何在圆锥曲面上如何在圆锥曲面上截出椭圆、双曲线截出椭圆、双曲线以及抛物线？如何以及抛物线？如何证明呢？证明呢？证明抛物线证明抛物线P P 【【生成五生成五】】如果一个圆内切于一个椭圆，有时候只有一个如果一个圆内切于一个椭圆，有时候只有一个切点，有时候有两个切点如果椭圆固定，圆的半径满足切点，有时候有两个切点如果椭圆固定，圆的半径满足什么条件时会分别出现上述情况？什么条件时会分别出现上述情况？ 【【生成六生成六】】解析几何中的抛物线和物理中的抛物线以及代解析几何中的抛物线和物理中的抛物线以及代数中二次函数的图象本质上是一回事吗？如何解释呢？数中二次函数的图象本质上是一回事吗？如何解释呢？【【生成七生成七】】任意两个圆都是相似的。
任意两个圆都是相似的任意两个椭圆则未必相似任意两个椭圆则未必相似任意两个抛物线相似吗？为什么？任意两个抛物线相似吗？为什么？任意两个双曲线呢？任意两个双曲线呢？允许生成允许生成善待生成善待生成鼓励生成鼓励生成可以从方程的角度解释可以从方程的角度解释任意两个抛物线一定相似；任意两个双曲线则未必任意两个抛物线一定相似；任意两个双曲线则未必 2、注重例题的选讲、注重例题的选讲（（1 1）对教材选定的例题）对教材选定的例题““慎删减，多求变慎删减，多求变””（（2 2）对解题思路的分析）对解题思路的分析““少告诉，多引导少告诉，多引导””（（3 3）对解题过程的书写）对解题过程的书写““先自求，再对照先自求，再对照””（（4 4）对解题之后的反思）对解题之后的反思““勤迁移，多总结勤迁移，多总结”” 【【案例三案例三】】课本课本P40P40例例1 1的处理的处理已知椭圆的两个焦点坐标分别是（已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2-2，，0 0），（），（2 2，，0 0），并且），并且经过点经过点 ，求它的标准方程求它的标准方程1 1）所求椭圆的标准方程应该是什么样子？为什么？）所求椭圆的标准方程应该是什么样子？为什么？分析：分析：设计意图：设计意图：1 1）养成）养成““从结论入手从结论入手””的分析习惯；的分析习惯；2 2）依据）依据““求谁设谁求谁设谁””的解题策略；的解题策略；3 3）形成）形成““先定位，再定量先定位，再定量””的解题意识。
的解题意识 （（3 3）你还能用其他方法求它的方程吗？哪种方法简单？你有）你还能用其他方法求它的方程吗？哪种方法简单？你有什么体会？什么体会？设计意图：设计意图：再次巩固再次巩固““待定系数法待定系数法””此处至少要让学生明白两点：此处至少要让学生明白两点：第一，不仅定义可以解决问题，椭圆的标准方程也能；第一，不仅定义可以解决问题，椭圆的标准方程也能；第二，用第二，用““标准方程标准方程””解题过程更简明，程序更简单解题过程更简明，程序更简单2 2）已知有哪些？如何根据已知求）已知有哪些？如何根据已知求a,ba,b的值呢？求解对照的值呢？求解对照设计意图：设计意图：1 1）渗透方程思想，拟定解题方案；）渗透方程思想，拟定解题方案；2 2）求解对照，寻求异同，并思考其必要性求解对照，寻求异同，并思考其必要性 【【变式变式1 1】】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（（1 1））a=4,b=1,a=4,b=1,焦点在焦点在x x轴上；轴上；（（2 2））a=4,c= ,a=4,c= ,焦点在焦点在y y轴上；轴上；（（3 3））a+ba+b=10, c==10, c= 。
设计意图：设计意图：1 1））进一步巩固进一步巩固““先定位，再定量先定位，再定量””的解题意识的解题意识；；2 2）当）当““焦点所在轴不定焦点所在轴不定””时，要有时，要有““分类讨论分类讨论””意识思考：当椭圆焦点所在轴不定时，是否总可以思考：当椭圆焦点所在轴不定时，是否总可以““只求出一种只求出一种情况，再交换情况，再交换a,ba,b的值的值””即可呢？即可呢？ 【【变式变式2 2】】求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（（1 1））a=3b,a=3b,且经过点且经过点P P（（3 3，，0 0）；）；（（2 2）经过两点）经过两点 和和 设计意图：设计意图：通过上面两个小题，让学生明白：通过上面两个小题，让学生明白：1 1））即使椭圆的焦点位置不定，也不一定总有两组解即使椭圆的焦点位置不定，也不一定总有两组解；；2 2）当）当““焦点所在轴不定焦点所在轴不定””时，要有时，要有““分类讨论分类讨论””意识，但意识，但也要能根据场合适当地也要能根据场合适当地““避免讨论避免讨论”” 3、注重思想方法的渗透、注重思想方法的渗透（（1 1）坐标法与数形结合思想）坐标法与数形结合思想（（2 2）类比思想）类比思想（（3 3）待定系数法与方程思想）待定系数法与方程思想（（4 4）模式识别与程序化思想）模式识别与程序化思想 待定系数法待定系数法（（4 4）模式识别与程序化思想）模式识别与程序化思想 【【总结总结1 1】】求曲线的方程求曲线的方程【【方法一方法一】】待定系数法（已知曲线类型）待定系数法（已知曲线类型）第一步，引入待定的系数，设方程；第一步，引入待定的系数，设方程；第二步，第二步，列出方程（组）并解之列出方程（组）并解之；；第三步，第三步，得曲线的方程。
得曲线的方程 【【例例2 2】】已知线段已知线段ABAB的端点的端点B B的坐标是（的坐标是（4 4，，3 3））, ,端点端点A A在圆在圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上运动，求线段上运动，求线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程. . yABMxo分析：分析： 设设M M（（x,yx,y），），A A（（x x0 0,y,y0 0），则有：），则有：由由得得代入（代入（**）即可）即可代入法代入法 【【方法二方法二】】代入法（相关动点问题）代入法（相关动点问题）第一步，设终动点为（第一步，设终动点为（x,yx,y），始动点为（），始动点为（x x0 0,y,y0 0）；）；第二步，列出始动点与终动点之间的变化关系式第二步，列出始动点与终动点之间的变化关系式以及始动点满足的关系式；以及始动点满足的关系式；第三步，用第三步，用x,yx,y表示表示x x0 0,y,y0 0，代入，代入x x0 0,y,y0 0满足的关系满足的关系式即得曲线的方程式即得曲线的方程总结总结1 1】】求曲线的方程求曲线的方程 【【例例3 3】】(2010(2010年北京高考理年北京高考理19)19)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，中，点点B B与点与点A A（（-1,1-1,1）关于原点）关于原点O O对称，对称，P P是动点，且直线是动点，且直线APAP与与BPBP的斜率之积等于的斜率之积等于 ，求动点，求动点P P的轨迹方程。
的轨迹方程解析解析】】因为点因为点B B与点与点A A（（-1,1-1,1）关于原点）关于原点O O对称，对称， 所以点所以点B B的坐标为（的坐标为（1,-1 1,-1 ）） 设设点点的坐的坐标为标为，由，由题题意得意得 化化简简得得 故故动动点点P P 的的轨轨迹方程迹方程为为五步法五步法 【【方法三方法三】】五步法（上述两种问题以外的问题）五步法（上述两种问题以外的问题）第一步，第一步，建建系，系，设设点；点；第二步，由第二步，由限限制条件制条件列出几何表达式列出几何表达式；；第三步，坐标第三步，坐标代代入，化为代数表达式入，化为代数表达式；；第四步，第四步，化化简简；；第五步，增、失根的说明第五步，增、失根的说明总结总结1 1】】求曲线的方程求曲线的方程 【【例例4 4】】若双曲线若双曲线 的焦距是的焦距是6 6，则，则 【【解析解析】】若若 ，则双曲线的标准方程为，则双曲线的标准方程为 所以所以 ，又，又 所以所以 若若 ，则双曲线的标准方程为，则双曲线的标准方程为 所以所以 ，又，又 所以所以 综上综上 K<0K<0时，标准方时，标准方程还是它吗？程还是它吗？ 【【例例5 5】】（（20112011门头沟一模理门头沟一模理12.12.）设双曲线）设双曲线 的一条渐近线与抛物线的一条渐近线与抛物线 双曲线的离心率等于双曲线的离心率等于 。
只有一个公共点，则只有一个公共点，则的一条渐近线为的一条渐近线为【【解析解析】】不妨取双曲线不妨取双曲线 代入代入 并整理得并整理得 由题设知，由题设知， 所以双曲线的离心率为所以双曲线的离心率为 【【总结总结2 2】】（（1 1））根据方程研究圆锥曲线性质的基本程序：根据方程研究圆锥曲线性质的基本程序：第一步，将方程化为标准方程；第一步，将方程化为标准方程；第二步，第二步，判断焦点所在轴判断焦点所在轴；；第三步，第三步，结合相关基本量的关系研究曲线性质结合相关基本量的关系研究曲线性质2 2）求圆锥曲线离心率时，常常）求圆锥曲线离心率时，常常““先利用已知条件先利用已知条件建立一个关于建立一个关于 的方程的方程””，然后，然后““再利用再利用 间的关系，消去间的关系，消去 ，求出离心率，求出离心率”” 【【例例6 6】】（（20112011年朝阳高二期末文年朝阳高二期末文1818）已知椭圆）已知椭圆C C：： 的离心率为的离心率为 ，半焦距为，半焦距为 且且 . .经过椭圆经过椭圆的左焦点的左焦点F F ，斜率，斜率为为1 1的直的直线线与与椭圆椭圆交于交于 A,BA,B两点，两点，O O为为坐坐标标原点原点. . （（I I）求椭圆）求椭圆C C的标准方程；（的标准方程；（IIII）求）求 的值。
的值 【【解析解析】】（（I I）易知，椭圆）易知，椭圆C C的方程为的方程为 如何求三角形如何求三角形AOB的面积呢？的面积呢？ ABOxy由（由（I I）知，椭圆）知，椭圆C C的方程为的方程为 （（IIII）） 又直线又直线ABAB的方程为的方程为 联联立方程立方程组组，整理得，整理得 【【例例7 7】】 (2011 (2011丰台一模文丰台一模文18)18)．． 已知已知椭圆椭圆E E 的焦点在的焦点在x x轴轴上，离心率上，离心率为为，，对对称称轴为轴为坐坐标轴标轴，且，且经过经过点点(Ⅰ)(Ⅰ)求求椭圆椭圆E E 的方程；的方程； (Ⅱ)(Ⅱ)直直线线与与椭圆椭圆E E 相交于相交于A A，，B B 两点，在两点，在OAOA上存在一点上存在一点 M M，， OBOB上存在一点上存在一点N N ，使得，使得，若原点，若原点O O在以在以MNMN 为为直径的直径的圆圆上，求直上，求直线线斜率斜率的的值值．． 【【解析解析】】(Ⅰ) (Ⅰ) 易知易知椭圆椭圆的方程的方程为为 椭圆椭圆的方程的方程为为分析分析(Ⅱ) (Ⅱ) 直直线线的方程的方程为为ABOxyMN要求直要求直线线斜率斜率原点原点O O 在以在以 MNMN 为为直径的直径的圆圆上上 ①①②②①①MNMN是是△△OABOAB的中位线的中位线②②OM⊥ONOM⊥ON OA⊥OBOA⊥OB③③接下来利用接下来利用““判别式定理判别式定理””和和““韦达定理韦达定理””即可。
即可 略解略解(Ⅱ)(Ⅱ)由由 由韦达定理由韦达定理 【【总结总结3 3】】（（1 1）直线与圆锥曲线综合问题（常表现为）直线与圆锥曲线综合问题（常表现为相交）的基本解题程序：相交）的基本解题程序：①①设直线方程（含参），与圆锥曲线的方程联立方程组；设直线方程（含参），与圆锥曲线的方程联立方程组；②②消去一个未知数（常消去消去一个未知数（常消去y y），整理为一元二次方程；），整理为一元二次方程；③③设弦两个端点的坐标，写出判别式定理与韦达定理；设弦两个端点的坐标，写出判别式定理与韦达定理；④④将已知条件转化为上述参数以及坐标之间的关系式；将已知条件转化为上述参数以及坐标之间的关系式；⑤⑤围绕结论，整合上述信息并计算围绕结论，整合上述信息并计算 【【总结总结3 3】】（（2 2）对于条件）对于条件““ ””常转化为常转化为““ ””并进而转化为并进而转化为““ ””（（3 3）对于上式中的）对于上式中的““ ””一般都通过一般都通过““ ””转化为转化为““ ””后再利用韦达定理处理。
后再利用韦达定理处理 （（1 1）运算能力）运算能力4、注重能力的培养、注重能力的培养 x xy yo oA AB B由由题题意知，意知，当当时时，切，切线线l的方程的方程点点A、、B的坐的坐标标分分别为别为此此时时当当m= =－－1时时，同理可得，，同理可得， x xy yo oA AB B从而 如何得出？如何得出？ 当且当且仅仅当当时时，，|AB|=2；；又当又当 时时，，所以所以|AB|的最大的最大值为值为2.运算过程运算过程 建议：建议：（（1 1）能力的提升不可能一蹴而就，平时要加强运算的训练；）能力的提升不可能一蹴而就，平时要加强运算的训练；（（2 2）运算前要拟定方案，谋定而后动；）运算前要拟定方案，谋定而后动；（（3 3）运算时要心态平和，精力集中，不骄不躁，弄清算理，）运算时要心态平和，精力集中，不骄不躁，弄清算理，稳步推进稳步推进运算技能运算技能运算调控运算调控运算心理运算心理规律总结：规律总结： •【【例例9 9】】 （（20112011东城一模文东城一模文1919）已知椭圆）已知椭圆C C的中心在坐标原的中心在坐标原点，焦点在点，焦点在x x轴上，离心率为轴上，离心率为 ，椭圆，椭圆C C上的点到焦点距离上的点到焦点距离的最大值为的最大值为3 3．．•（（ⅠⅠ）求椭圆）求椭圆C C的标准方程；的标准方程；•（（ⅡⅡ）若过点）若过点P(0,m)P(0,m)的直线的直线l l与椭圆与椭圆C C交于不同的两点交于不同的两点A,BA,B，，且且 ，求实数，求实数m m的取值范围．的取值范围．（（2 2）分析整合能力）分析整合能力 （（ⅡⅡ）若过点）若过点P(0,m)P(0,m)的直线的直线l l与椭圆与椭圆C C交于不同的两点交于不同的两点A,BA,B，，且且 ，求实数，求实数m m的取值范围．的取值范围．ABOxyP若若过过点点的直的直线线斜率不存在，斜率不存在，．．．． 若若过过点点的直的直线线斜率存在，斜率存在，则则③③② ② ABOxyP① ① 则则我们要求的是我们要求的是 的范围，如何整合上述三个信息呢？的范围，如何整合上述三个信息呢？ ③③② ② ① ① 将将③③代入代入①① 得：得：代入代入②②式得式得整理得：整理得：所以所以． 规律总结：规律总结：（（1 1））““向量向量””与与““解析几何解析几何””的结合点主要是的结合点主要是““坐标坐标””；； （（2 2）本题的难点在于）本题的难点在于““信息的有效整合信息的有效整合””，借助，借助““方程思方程思想想””往往是实现解题突破的关键。
往往是实现解题突破的关键 1.1.漏掉了对漏掉了对““直线的斜率不存在直线的斜率不存在””这种特殊情况的判断这种特殊情况的判断如，例如，例8 8中漏掉了中漏掉了““当当 时，时，切线切线l l的方程为的方程为 ……”……”；；x xy yo oA AB B5、注重纠错教学、注重纠错教学 建议：反复练在设直线的建议：反复练在设直线的方程之前就要先考虑方程之前就要先考虑““直线直线的斜率不存在的斜率不存在””的情况！的情况！ 又如，例又如，例9 9中漏掉了中漏掉了 ““若过点若过点 的直线斜率不存在，则的直线斜率不存在，则 ””等 ABOxyP．．．．错因分析：错因分析：（（1）思维不缜密；）思维不缜密；（（2）练习不到位练习不到位 2.2.忽略了忽略了““ ””的作用的作用 如，例如，例9 9中由于忽略了中由于忽略了““””而导致解题无法继续而导致解题无法继续③③① ① 也许有人会问：也许有人会问：““例例9 9的解题过程中为什么没有强调的解题过程中为什么没有强调△△>0>0呢？呢？””x xy yo oA AB B建议：当题中的直线和圆锥曲线相交时，首先要有建议：当题中的直线和圆锥曲线相交时，首先要有““ ””的的意识，然后再根据其他条件考虑是否需要写出并计算。
意识，然后再根据其他条件考虑是否需要写出并计算错因分析：错因分析：不理解不理解“△△>0”的的存在意义存在意义 例10（2011朝阳一模T7）如图，双曲线的中心在坐标原点O,A,C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是( ) （A） （B） （C） （D）xyOCBAFD很多同学都是很多同学都是““把把∠∠BDFBDF放到放到△△BDFBDF中利用余弦定理中利用余弦定理””求解的，求解的，然而很少有同学能够坚持处理到最后然而很少有同学能够坚持处理到最后. .因为这种解法固然很容因为这种解法固然很容易想到，但是运算量较大：根据直线易想到，但是运算量较大：根据直线ABAB和和CFCF的方程求出的方程求出D D点坐点坐标已属不易（但还是有好多人求对了），再求标已属不易（但还是有好多人求对了），再求△△BDFBDF三边的长三边的长更是难上加难！更是难上加难！那么，有没有更好的方法呢？那么，有没有更好的方法呢？ 3.3.解题思路僵化解题思路僵化 【【分析分析1 1】】既然上述思路的最大难点是既然上述思路的最大难点是““求求△△BDFBDF三边的长三边的长””，，那么我们能不能绕开这个难点呢？也就是说，在那么我们能不能绕开这个难点呢？也就是说，在““已知已知D D点坐点坐标标””的前提下，还有没有更好的方法的前提下，还有没有更好的方法““求求∠∠BDFBDF的余弦值的余弦值””呢呢？回答是肯定的，？回答是肯定的，∠∠BDFBDF就是向量就是向量 与与 的夹角！于是的夹角！于是问题获解问题获解. . 例10（2011朝阳一模T7）如图，双曲线的中心在坐标原点O,A,C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是( ) （A） （B） （C） （D）xyOCBAFD 【【分析分析2 2】】既然选择了既然选择了““向量法向量法””求解，我们能不能进一步绕求解，我们能不能进一步绕开开““求求D D点坐标点坐标””这一这一““次难点次难点””呢？当然可以，事实上，呢？当然可以，事实上，∠∠BDFBDF还可以视为向量还可以视为向量 与与 的夹角！的夹角！ 例10（2011朝阳一模T7）如图，双曲线的中心在坐标原点O,A,C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是( ) （A） （B） （C） （D）xyOCBAFD 【【分析分析3 3】】本题如果考虑到本题如果考虑到““点点A,C,FA,C,F的特殊性的特殊性””以及以及““双曲双曲线的对称性线的对称性””，还可以换一个角度转化：，还可以换一个角度转化：如图，设双曲线的右焦点为如图，设双曲线的右焦点为Q,Q,连接连接AQAQ，则易知，则易知∠∠BDFBDF就等于就等于∠∠BAQBAQ，于是本题可在，于是本题可在△△BAQBAQ中轻易获解中轻易获解. .Q Q例10（2011朝阳一模T7）如图，双曲线的中心在坐标原点O,A,C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是( ) （A） （B） （C） （D）xyOCBAFD 建议：建议：（（1 1）在平时的解题教学中教师要多从解题理论的高度）在平时的解题教学中教师要多从解题理论的高度展示解题的思维过程，要让学生既展示解题的思维过程，要让学生既““知其然知其然””，又，又““知知其所以然其所以然””，还懂得，还懂得““何以知其所以然何以知其所以然”” ；；（（2 2）在平时的解题教学中要尝试多给学生机会，让他）在平时的解题教学中要尝试多给学生机会，让他们自己去动脑、动口、动手；们自己去动脑、动口、动手；（（3 3）鼓励多题一解、一题多解、一题多变，培养思维）鼓励多题一解、一题多解、一题多变，培养思维的灵活性。
的灵活性 例例11.设设P(x, y)是是椭圆椭圆 上一点上一点,则则x-y的最大的最大值值是是 . 1010本题可以有两种基本解法：本题可以有两种基本解法：““三角代换法三角代换法””和和““判别式法判别式法”” ““知其然知其然””水平水平因为因为如果令如果令x-yx-y=m=m，可以联立方程组，消去，可以联立方程组，消去x x（或（或y)y)，用判别式法用判别式法故可以三角代换；故可以三角代换；““知其所以然知其所以然””水平水平 例例11.设设P(x, y)是是椭圆椭圆 上一点上一点,则则x-y的最大的最大值值是是 . 1010从结论看，按照从结论看，按照““求谁设谁求谁设谁””的解题策略，可令的解题策略，可令x-yx-y=m=m；； （（1 1）三角代换；）三角代换；““何以知其所以何以知其所以然然””水平水平从条件看，依据从条件看，依据““减元减元””的解题的解题策略策略，可尝试下面两种操作：，可尝试下面两种操作： 告诉我，我会忘记告诉我，我会忘记让我参与，我才能真正地明白让我参与，我才能真正地明白分析给我听，我或许能知道分析给我听，我或许能知道——概念教学如此，解题教学也如此概念教学如此，解题教学也如此 谢谢 谢！谢！ 。