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1、第第6章章连续时间系统的连续时间系统的s域分析域分析齐开悦齐开悦 博士博士Analysis and Characterized of LTI Systems Using the Laplace Transform一一. . 系统函数的概念：系统函数的概念： 以卷积特性为基础，可以建立以卷积特性为基础，可以建立LTI系统的拉系统的拉氏变换分析方法，即氏变换分析方法，即 其中其中 是是 的拉氏变换，称为的拉氏变换，称为系统函数系统函数或或转移函数转移函数。6.1 引言引言-用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征LTI系统系统第第第第 3 3 页页页页第第第第 3 3 页页页页 如果如果 的的RO
2、C包括包括 轴，则轴，则 和和 的的ROC必定包括必定包括 轴，以轴，以 代入，即有代入，即有 这就是这就是LTI系统的傅里叶分析。系统的傅里叶分析。 即是系统即是系统的的频率响应频率响应。 这些方法之所以成立的本质原因在于这些方法之所以成立的本质原因在于复指数函复指数函数是一切数是一切LTI系统的特征函数系统的特征函数。当以。当以 为基底为基底分解信号时，分解信号时，LTI系统系统对输入信号的响应就是对输入信号的响应就是 ； 而以而以 为基底分解信号时，系为基底分解信号时，系统的输出响应就是统的输出响应就是 。用系统函数表征用系统函数表征LTI系统系统稳定性：稳定性： 如果系统稳定，则有如果
3、系统稳定，则有 。因此因此 必存在必存在, 意味着意味着 的的ROC必然必然包括包括 轴。轴。 综合以上两点，可以得到：综合以上两点，可以得到：因果稳定系统的因果稳定系统的 ，其全部极点必须位于，其全部极点必须位于S平面的左半边。平面的左半边。例例1.某某系统的系统的 显然该系统是因果的，确定系统的稳定性。显然该系统是因果的，确定系统的稳定性。显然，显然，ROC是最右边极点的右边。是最右边极点的右边。ROC包括包括 轴轴系统也是稳定的。系统也是稳定的。的全部极点都在的全部极点都在S平面的左半边。平面的左半边。第第第第 6 6 页页页页第第第第 6 6 页页页页极点：极点：确定其可能的收敛域及所
4、对应信号的属性。确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。例例3.右边信号右边信号左边信号左边信号双边信号双边信号判断因果性和稳定性！判断因果性和稳定性！第第第第 7 7 页页页页第第第第 7 7 页页页页结结 论：论：1.如果如果LTI系统的系统函数是有理函数，且全部系统的系统函数是有理函数，且全部极点位于极点位于S平面的左半边，收敛域是最右边极平面的左半边，收敛域是最右边极点的右侧。则系统是因果、稳定的。点的右侧。则系统是因果、稳定的。 2. 如果如果LTI系统的系统函数是有理函数，且系统系统的系统函数是有理函数，且系统因果，则系统函数的因果，则系统函数的ROC是最右边极点的右是最右边极点的右
5、边。若系统反因果，则系统函数的边。若系统反因果，则系统函数的ROC是最是最左边极点的左边。左边极点的左边。 3.如果如果LTI系统是稳定的，则系统函数的系统是稳定的，则系统函数的ROC必然必然包括包括 轴。轴。三三. 由由LCCDE描述的描述的LTI系统的系统函数：系统的系统函数：对对做双边拉氏变换，可得做双边拉氏变换，可得是是一个有理函数一个有理函数的的ROC需要由系统的相关特性来确定。需要由系统的相关特性来确定。1）如果已知）如果已知LCCDE描述的系统是因果的，则描述的系统是因果的，则 的的ROC必是最右边极点的右边。必是最右边极点的右边。2）如果已知）如果已知LCCDE描述的系统是稳定
6、的，则描述的系统是稳定的，则 的的ROC 必必包括包括 轴。轴。6.2由系统函数零、极点分布决定时域特性 冲激响应冲激响应h(t)与系统函数与系统函数H(s) 从时域和变换域两方从时域和变换域两方面表征了同一系统的面表征了同一系统的本性本性。 在在s域域分析中，借助系统函数在分析中，借助系统函数在s平面平面零点与极点零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的规律。系统的时域、频域特性时域、频域特性集中地以其系统函数的集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。零、极点分布表现出来。 主要优点：主要优点：1可以预言系统的时域特
7、性；可以预言系统的时域特性；2便于划分系统的各个分量便于划分系统的各个分量 （自由强迫，瞬态稳态）；（自由强迫，瞬态稳态）；3可以用来说明系统的正弦稳态特性。可以用来说明系统的正弦稳态特性。二H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应在在s平面上，画出平面上，画出H(s)的零极点图：的零极点图： 极点：用极点：用表示表示，零点：用零点：用表示表示6.2.1零极点与时域特性1系统函数的零、极点例4极点：极点：零点：零点：画出零极点图：画出零极点图：2H(s)极点分布与原函数的对应关系几种典型情况几种典型情况一阶极点当当 ，极点在左半平面，衰减振荡，极点在左半平面，衰减振荡当当 ，极点在右半平面，增
8、幅振荡，极点在右半平面，增幅振荡二阶极点 有实际物理意义的物理系统都是有实际物理意义的物理系统都是因果系统因果系统，即随，即随 ， 这表明的极点位于这表明的极点位于左左半平面，由此可知，半平面，由此可知，收敛域收敛域包括虚轴包括虚轴， 均存在，两者可通用，只均存在，两者可通用，只需需 将即可。将即可。 6.2.2自由响应与强迫响应,暂态响应与稳态相应激励：激励：系统函数：系统函数：响应：响应：自由响应分量自由响应分量 强制响应分量强制响应分量试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和态响应，自
9、由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。稳态响应分量。例给定系统微分方程给定系统微分方程解：解：方程两端取拉氏变换方程两端取拉氏变换零输入响应零状态响应则则 稳态响应暂态响应，自由响应强迫响应极点位于极点位于s s左半平面左半平面极点位于虚轴极点位于虚轴暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应H(s)的极点的极点E(s)的极点的极点自由响应自由响应强迫响应强迫响应几点认识自由响应自由响应的极点只由系统的极点只由系统本身的特性本身的特性所决定，与激励所决定，与激励函数的形式无关，然而系数函数的形式无关，然而系数 都有关。都有关。响应函数响应函数r(t)由两部分组成：由两部分组成：系统函数系统
10、函数的极点的极点自由自由响应分量；响应分量；激励函数激励函数的极点的极点强迫强迫响应分量。响应分量。定义定义系统行列式（特征方程）的根为系统的系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率固有频率（或称（或称“自然频率自然频率”、“自由频率自由频率”）。）。H(s)的极点都是系统的固有频率；的极点都是系统的固有频率；H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失零、极点相消时，某些固有频率将丢失。暂态响应和稳态响应瞬态响应瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着的有关成分，随着t增大，将消失。增大，将消失。稳态响应稳态响应完全响应瞬态响应
11、完全响应瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。例(1)在在零初始状态零初始状态下，对原方程两端取拉氏变换下，对原方程两端取拉氏变换所以所以(2) 因为因为所以所以所以所以令分子中每一项令分子中每一项分母中每一项分母中每一项6.3 由系统函数的零极点分布确定频率特性画零极点图 当当 沿虚轴移动时，各复数因子沿虚轴移动时，各复数因子( (矢量矢量) )的模和辐角都的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。 由矢量图确定频率响应特性第第第第 2 29 9 页页页页第第第第 2 29 9
12、页页页页例例1 电路的电路的s域分析域分析研究下图所示研究下图所示RCRC低通滤波网络低通滤波网络的频响特性的频响特性。写出网络转移函数表达式写出网络转移函数表达式解解: :第第第第 3 30 0 页页页页第第第第 3 30 0 页页页页频响特性频响特性第第第第 3 31 1 页页页页第第第第 3 31 1 页页页页其转移函数为其转移函数为相当于低通与高通级联构成的带通系统。相当于低通与高通级联构成的带通系统。 解：解：低通滤波器低通滤波器高通滤波器高通滤波器例例2 电路的电路的s域分析域分析第第第第 3 32 2 页页页页第第第第 3 32 2 页页页页频响特性频响特性第第第第 3 33 3
13、 页页页页第第第第 3 33 3 页页页页例例(1)(2)(3) 列方程列方程解：解：第第第第 3 34 4 页页页页第第第第 3 34 4 页页页页极点极点故 第第第第 3 35 5 页页页页第第第第 3 35 5 页页页页逆变换逆变换设设则则波形波形第第第第 3 36 6 页页页页第第第第 3 36 6 页页页页第一种情况：第一种情况：阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。 第二种情况：第二种情况：引入符号引入符号所以所以第第第第 3 37 7 页页页页第第第第 3 37 7 页页页页第三种情况：第三种情况：第四种情况：第四种情况：第第
14、第第 3 38 8 页页页页第第第第 3 38 8 页页页页波形波形补充：系统函数的代数属性与补充：系统函数的代数属性与系统的级联并联型结构系统的级联并联型结构System Function Algebra and Block Diagram Representations一一. .系统互联时的系统函数：系统互联时的系统函数：1. 级联：级联：包括包括3. 反馈联结：反馈联结：2. 并联：并联：包括包括包括包括第第第第 4 41 1 页页页页例当常数当常数k满足什么条件时，系统是稳定的？满足什么条件时，系统是稳定的？ 加法器输出端的信号加法器输出端的信号输出信号输出信号如图所示反馈系统，子系统
15、的系统函数如图所示反馈系统，子系统的系统函数第第第第 4 42 2 页页页页则反馈系统的系统函数为则反馈系统的系统函数为为使极点均在为使极点均在s左半平面，必须左半平面，必须第第第第 4 43 3 页页页页第第第第 4 43 3 页页页页连续系统的方框图表示连续系统的方框图表示 一个连续系统可以用一个矩形方框图简一个连续系统可以用一个矩形方框图简单地表示单地表示, ,方框图左边的有向线段表示系统的方框图左边的有向线段表示系统的输入输入f(tf(t) )，右边的有向线段表示系统的输出，右边的有向线段表示系统的输出y(ty(t) )，方框表示联系输入和输出的其他部分，方框表示联系输入和输出的其他部
16、分，是系统的主体。此外，几个系统的组合连接是系统的主体。此外，几个系统的组合连接又可构成一个复杂系统，称为又可构成一个复杂系统，称为复合系统复合系统。组。组成复合系统的每一个系统又称为成复合系统的每一个系统又称为子系统子系统。系。系统的组合连接方式有统的组合连接方式有串联串联、并联并联及这两种方及这两种方式的式的混合连接混合连接。 第第第第 4 44 4 页页页页第第第第 4 44 4 页页页页 连续系统也可以用一些输入输出关系简单连续系统也可以用一些输入输出关系简单的基本单元（子系统）连接起来表示。这的基本单元（子系统）连接起来表示。这些基本单元有些基本单元有加法器加法器、数乘器数乘器（放大器）、（放大器）、积分器等积分器等。第第第第 4 45 5 页页页页第第第第 4 45 5 页页页页第第第第 4 46 6 页页页页第第第第 4 46 6 页页页页例：某线性系统如图所示。求系统函数例：某线性系统如图所示。求系统函数H(s)，写出描述系统输入输出关系的微分方程。写出描述系统输入输出关系的微分方程。 第第第第 4 47 7 页页页页第第第第 4 47 7 页页页页又得：又得： 应用时域微分性质，得到系统微分方程为：应用时域微分性质，得到系统微分方程为：第第第第 4 48 8 页页页页第第第第 4 48 8 页页页页6.5 系统的稳定性1，罗斯判据2，霍尔维茨准则
