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1、第三节曲线的曲率 第四四章 一、弧微分一、弧微分 三三 、曲率的计算公式、曲率的计算公式四四 、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径二二 、平面曲线曲率的概念平面曲线曲率的概念一、平面曲线曲率的概念一、平面曲线曲率的概念1. 问题的提出问题的提出引出描述曲线引出描述曲线弯曲程度的量弯曲程度的量 曲率曲率.观察右图，观察右图，点点 M 处的处的曲率曲率:2. 曲率定义曲率定义在光滑弧上自点在光滑弧上自点 其长为其长为开始取弧段开始取弧段对应切线对应切线定义定义弧段弧段 上的上的平均曲率平均曲率.转角为转角为显然显然, 直线上任意点处的曲率为直线上任意点处的曲率为 0.曲率是曲线切线倾角关于弧长曲率是
2、曲线切线倾角关于弧长s的变化率。的变化率。yxo)解解 如图所示如图所示 ,可见可见: 圆的弯曲程度处处相同圆的弯曲程度处处相同;圆的半径越小圆的半径越小, 圆弯曲得愈厉害圆弯曲得愈厉害 .例例1 求半径为求半径为R 的圆上任意点处的曲率的圆上任意点处的曲率.二、二、 弧微分弧微分设弧设弧或或则弧微分公式为则弧微分公式为若曲线由参数方程表示若曲线由参数方程表示:注注1 则通过计算可得则通过计算可得若曲线由极坐标方程表示若曲线由极坐标方程表示:2 二阶可导二阶可导,设曲线设曲线则有则有又又三、曲率的计算公式三、曲率的计算公式注注2 若曲线由参数方程若曲线由参数方程给出给出, 则通过则通过 计算可
3、得计算可得有曲率近似计算公式有曲率近似计算公式解解显然显然,例例2四、四、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径设设 M 为曲线为曲线 C 上任一点上任一点 ,把以把以 D 为中心为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点为半径的圆叫做曲线在点 M 处的处的曲率圆曲率圆(密切圆密切圆), R 叫做叫做曲率半径曲率半径, D 叫做叫做曲率中心曲率中心.在点在点M 处作曲线的切线和法线处作曲线的切线和法线,在曲线的凹向一侧法线上取点在曲线的凹向一侧法线上取点D 使使在点在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线有公切线;(2) 凹向一致凹向一致;(3) 曲率相同曲率相
4、同 .设曲线方程为设曲线方程为且且曲线上点曲线上点M 处的曲处的曲率半径为率半径为例例3解解xyo1. 弧长微分弧长微分或或2. 曲率公式曲率公式3. 曲率圆曲率圆曲率半径曲率半径内容小结内容小结求双曲线求双曲线的曲率半径的曲率半径R, 并分析何处并分析何处R最小最小?解解则则思考题思考题上点的上点的解解故曲率为故曲率为备用题备用题例例2-1 求椭圆求椭圆曲率最大值与最小值（设曲率最大值与最小值（设ab0).因此当因此当从而从而 K 取最大值取最大值这说明椭圆在点这说明椭圆在点处曲率处曲率最大最大.K 最大最大(小小)最小最小(大大)类似地类似地, 当当K 取最小值取最小值即椭圆在点即椭圆在点
5、处曲率处曲率最小最小.磨削其内表面以达到要求的光洁度磨削其内表面以达到要求的光洁度 , 问选择多大的问选择多大的解解 设椭圆方程为设椭圆方程为由例由例2可知可知, 椭圆在点椭圆在点处处即曲率半径最小即曲率半径最小, 例例4-1 设一工件内表面的截痕为一椭圆设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮现要用砂轮曲率最大曲率最大,为为砂轮比较合适砂轮比较合适?显然显然, 砂轮半径不超过砂轮半径不超过才不会产生过量磨损才不会产生过量磨损, 或有的地方磨不到的问题或有的地方磨不到的问题.时时, 设点设点M 处的曲率圆方程为处的曲率圆方程为满足方程组满足方程组的坐标公式的坐标公式 .下面求曲线上点下面求曲
6、线上点M 处的曲率中心处的曲率中心当点当点 M (x, y) 沿曲线沿曲线 移动时移动时,的曲率中心的轨迹的曲率中心的轨迹 G相应相应曲线曲线 C曲线曲线 C 的的渐屈线渐屈线, ,称为曲线称为曲线G 的的渐伸线渐伸线 .称为称为由此可得曲率中心公式由此可得曲率中心公式( 仍为摆线仍为摆线 )的渐屈线方程的渐屈线方程. 解解 代入曲率中心公式代入曲率中心公式 , 得得例例4 求摆线求摆线可得可得作缓和曲线作缓和曲线,且且 l R. 处的曲率处的曲率.其中其中R是圆弧弯道的半径是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点求此缓和曲线在其两个端点解解备用题备用题例例2-1 铁路常用立方抛物线铁路常用立方抛物线因此因此于是当列车从直道转入圆弧形弯道行驶时于是当列车从直道转入圆弧形弯道行驶时,铁轨的曲率连续地从零过渡到铁轨的曲率连续地从零过渡到保证了列车保证了列车的平稳与安全的平稳与安全.例例4点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停答：答：AB证证如图如图（在缓冲段上在缓冲段上,实际要求实际要求解解:
