土木工程制图：第二章第四节 平面的投影

高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部第四节第四节 平面的投影平面的投影一、一般位置直线一、一般位置直线二、特殊位置直线二、特殊位置直线三、平面上的点和直线三、平面上的点和直线四、特殊位置平面迹线四、特殊位置平面迹线高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部第四节第四节 平面的投影平面的投影•平面的表示法：平面的表示法：•(a) 不在同一直线上三点 (b) 一直线和直线外一点 (c) 两相交直线 •(d) 两平行直线 　　　　(e) 平面图形 　　　　 (f)迹线表示法高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部第四节第四节 平面的投影平面的投影一、一般位置平面一、一般位置平面abcbacababbaccbacCAB投影特性投影特性：1.三投影 均为 ABC的类似形 　 2.不反映、、 的真实角度 高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部第四节第四节 平面的投影平面的投影二、特殊位置平面二、特殊位置平面（一）投影面垂直面（一）投影面垂直面投影特性：投影特性： 1. 平面在其垂直的投影面上投影积聚成线段（积聚性积聚性）， 并且该投影与投影轴的夹角等于该平面与另外两投影面的夹角。

2. 平面的另外两个投影都小于实形高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部VWHPPHABCacbababbaccc1. 1. 铅垂面铅垂面－⊥H面的平面（一）投影面垂直面（一）投影面垂直面第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部VWHVαababbacccAcCabB2. 2. 正垂面正垂面－－⊥⊥V面的平面面的平面（一）投影面垂直面（一）投影面垂直面第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部VWHSWSCabABcabbbaaαβccc3. 3. 侧垂面侧垂面－－⊥⊥W面的平面面的平面（一）投影面垂直面（一）投影面垂直面第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部二、特殊位置平面二、特殊位置平面•（二）投影面平行面（二）投影面平行面投影特性：投影特性： 1．显实性显实性—平面在其平行的投影面上投影反映实形。

2．积聚性积聚性—平面的另外两个投影积聚成线段，该线段 平行于平面所平行投影面有关的轴第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部VWHCABabcbacabccabbbaacc（二）投影面平行面（二）投影面平行面1. 1. 水平面水平面－∥H面的平面第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部VWHcabbacbcabacabcbcaCBA（二）投影面平行面（二）投影面平行面2. 2. 正平面正平面－∥V面的平面第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部（二）投影面平行面（二）投影面平行面3. 3. 侧平面侧平面－∥W面的平面VWHabbbacccabcbacabcCABa第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部三、平面上的点和直线三、平面上的点和直线ABCEDabcabcddeeFff作图几何条件：作图几何条件：3.如果直线过平面上的一个已知点，且平行于平面上一条已知直线，则该直线必在平面内。

作图几何条件：作图几何条件：1.如果点在平面内的一条已知直线上，则该点必在此平面内作图几何条件：作图几何条件：2.如果直线过平面上的两个已知点，则该直线必在平面内第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部例题例题:已知平面ABC ，试判断 D点是否在ABC平面上ddabcabcee第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部de例题例题: :已知D点在ABC 平面上， 试求D 点的水平投影及过 D点属于ABC平面的水平线dabcabceff第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部dedabcabce例题例题:已知E点在ABC上， 试求E点的正面投影 第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部 例题：点K、L属于三角形ABC平面，已知K点的正面投影k′， L点的水平投影l，求两点的另一投影。

′′′′′′′′′′第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部′′′′′′例题：完成平面图形的水平投影例题：完成平面图形的水平投影′′′′′′′′′′′′′第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部例题例题: :已知平行四边形ABCD的正面 投影和两邻边AB，AD的水平 投影，试完成该四边形的水 平投影.第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部例题：例题：已知梯形平面上三角形 LMN的正面投影 求它的水平投影第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部四、四、特殊位置平面的迹线特殊位置平面的迹线投影面垂直面迹线特点投影面垂直面迹线特点：：1.平面在它垂直的投影面上的迹线有 积聚性，且迹线与投影轴夹角等于 平面与相应投影轴的倾角。

2.平面的另外两条迹线垂直于相应的 投影轴第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部VWH1. 铅垂面迹线表示法铅垂面迹线表示法PHPPH第四节第四节 平面的投影平面的投影四、四、特殊位置平面的迹线特殊位置平面的迹线高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部VWHVαγQV2. 正垂面迹线表示法正垂面迹线表示法第四节第四节 平面的投影平面的投影四、四、特殊位置平面的迹线特殊位置平面的迹线高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部VWHSwSZXOYSwYαβ3. 侧垂面迹线表示法侧垂面迹线表示法第四节第四节 平面的投影平面的投影四、四、特殊位置平面的迹线特殊位置平面的迹线高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部四、四、 特殊位置平面的迹线特殊位置平面的迹线•投影面平行面迹线特点投影面平行面迹线特点：：1.平面在它所平行的投影面没有迹线。

• 2.平面的另外两条迹线都有积聚性，且迹线平行于• 相应的投影轴第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部第四节第四节 平面的投影平面的投影四、四、特殊位置平面的迹线特殊位置平面的迹线高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部四、四、特殊位置平面的迹线特殊位置平面的迹线•在两面投影图中，用迹线表示特殊位置平面第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部PHbbaaeffeRV1.取属于垂直面的点和直线第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部VHabbaSVHbaabAB2.过一般位置直线可作投影面的垂直面过一般位置直线AB作H面的垂直面PH过一般位置直线AB作V面的垂直面SHPPHSVAB第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部(3) 过一般位置直线作投影面的垂直面 (几何元素表示法)meffeff’een(m)(n)第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部(4)过一般位置直线作投影面的垂直面(迹线表示法)babaabSVQWPH第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部(5)过正垂线作平面 (迹线表示法)m（n）mnm （n ）mnm （n）mnm（n）mnPVSVQVRV第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部effeeffeeffePHSHgg（a ）给题（c）作正垂面（ b）作正平面（d）作一般位置平面(6) (6) 过正平线作平面过正平线作平面第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部•第三节 平面的投影•五、平行关系•（一）直线与平面平行性质：性质：如果直线平行于平面内的一条直线，则该 直线与平面平行。

反之，如果某直线与平 面相互平行，则平面内必包含与该直线平 行的直线第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部•第三节 平面的投影•五、平行关系•（一） 直线与平面平行•例题：例题：试判别直线AB与平面CDE是否平行•分析：分析：•若AB∥△ CDE,则•必能在△CDE内作•出与AB平行的直•线，否则不平行不平行不平行第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部•第三节 平面的投影•五、平行关系•（一）直线与平面平行性质：性质：当判断直线与特殊 位置平面是否平行 时，只要检查平面 的积聚投影与直线 的同面投影是否平 行平行平行第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部•第三节 平面的投影•五、平行关系【【例题例题】过点过点A A作正平线作正平线ABAB平行于平行于△△CDECDE平面平面。

第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部•第三节 平面的投影•五、平行关系•（二）平面与平面平行•性质：性质：如果一平面内的两条相交直线与另一平面内的两条相交直线分别平行，则两平面平行第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部•第三节 平面的投影•五、平行关系•（二）平面与平面平行•【【例题例题】】 试判定两平面△ABC与DEFG是否平行两平面平行两平面平行第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部•第三节 平面的投影•五、平行关系•（二）平面与平面平行•性质：性质：•判定两特殊位置平面判定两特殊位置平面•是否平行时，只要检是否平行时，只要检•验它们的同名积聚投验它们的同名积聚投•影是否平行即可影是否平行即可因因acb∥dgefacb∥dgef故两平面平行故两平面平行第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部•第三节 平面的投影•六、相交关系 （一）特殊情况相交•1．投影面垂直线与一般位置平面相交 性质：性质： 若给出的直线或 平面具有积聚性 可利用积聚性确 定交点或交线的 一个投影，然后 利用线上定点、 面上定点、面上 定线等方法求出 另一投影。

第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部•第三节 平面的投影• 六、相交关系 （一） 特殊情况相交•2．一般位置直线与特殊位置平面相交例题：求一般位置直线例题：求一般位置直线MNMN和铅垂面和铅垂面△△ABCABC交点交点K K第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部•第三节 平面的投影•六、相交关系•（一）特殊情况相交•3．特殊位置平面与一般位置平面相交１１′(2′)21例题：例题： 求一般位置平面求一般位置平面△△ABCABC和铅垂面和铅垂面P P交线交线MNMN第四节第四节 平面的投影平面的投影高高 等等 学学 校校 新新 编编 系系 列列 电电 子子 教教 案案哈尔滨工业大学工程图学部第四节第四节 平面的投影平面的投影。