化工数学：2.3 水平数不同的正交试验设计

《化工数学：2.3 水平数不同的正交试验设计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《化工数学：2.3 水平数不同的正交试验设计（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、2.3 水平数不同的正交试验设计v我们在前面两节介绍的多因素试验中，各因素的我们在前面两节介绍的多因素试验中，各因素的水平数都是相同的。但在实际的问题中，特别是水平数都是相同的。但在实际的问题中，特别是实际的化学与化工试验中，各因子的水平数不一实际的化学与化工试验中，各因子的水平数不一定相同，即有的因子的水平多一些，有的水平少定相同，即有的因子的水平多一些，有的水平少一些，但又要在同一试验中考察，这就是水平数一些，但又要在同一试验中考察，这就是水平数不同的正交试验设计问题，又称混合水平的正交不同的正交试验设计问题，又称混合水平的正交试验设计问题。试验设计问题。v从表从表2-11可以看出，例可以

2、看出，例2-6中因子中因子A是是4水平的，另水平的，另外外3个因子都是个因子都是2水平的。试验指标是产量，数值水平的。试验指标是产量，数值越大越好。对这样一个水平数不同的正交试验，越大越好。对这样一个水平数不同的正交试验，该怎样进行试验设计呢？该怎样进行试验设计呢？2.3 水平数不同的正交试验设计介绍两种主要的方法：介绍两种主要的方法：v（1）直接利用混合水平的正交表安排试验；）直接利用混合水平的正交表安排试验；v（2）拟水平法，即把水平不同的问题化成）拟水平法，即把水平不同的问题化成水平数相同的问题来处理。水平数相同的问题来处理。（1）混合水平正交表及其用法v混合水平正交表就是各因素的水平数

3、不完全相等正交表。这种正交表有好多种，比如混合水平正交表就是各因素的水平数不完全相等正交表。这种正交表有好多种，比如L8（4124）就是一个混合水平的正交表，如表）就是一个混合水平的正交表，如表2-12所示。所示。表表2-12正交表正交表L8（4124）列号列号试验号试验号12345111111212222321122422211531212632121741221842112 混合水平正交表的特点v这张这张L8（4124）表有）表有8行，行，5列，表示用这张表要做列，表示用这张表要做8次试验，最多可次试验，最多可安排安排5个因子，其中一个是个因子，其中一个是4水平的（第水平的（第1列），列）

4、，4个是个是2水平的（第水平的（第2列列到第到第5列）。列）。vL8（4124）正交表有两个重要特点（）正交表有两个重要特点（1）每一列中不同数字出现的次）每一列中不同数字出现的次数是相同的，例如，第数是相同的，例如，第1列中有列中有4个数字个数字1，2，3，4，它们各出现，它们各出现2次；次；第第2列到第列到第5列中，都只有两个数字列中，都只有两个数字1，2，它们各出现，它们各出现4次。（次。（2）每两每两列各种不同的水平搭配出现的次数是相同的。但要注意一点：每两列列各种不同的水平搭配出现的次数是相同的。但要注意一点：每两列不同水平的搭配的个数是不完全相同的。不同水平的搭配的个数是不完全相同

5、的。v由这两点可以看出，用这张表安排混合水平的由这两点可以看出，用这张表安排混合水平的试验时，每个因子的各试验时，每个因子的各水平之间的搭配也是均衡的。水平之间的搭配也是均衡的。 用混合水平正交表求解例2-6v由表由表2-11可以看出，例可以看出，例2-6中有中有4个因子，个因子，1个因子个因子A是是4水水平的，另外平的，另外3个因子都是个因子都是2水平的。正好可以选用混合正交水平的。正好可以选用混合正交表表L8（4124）。表头设计如表）。表头设计如表2-13。表表2-13表头设计表头设计因子因子ABCD列号列号12345 混合水平正交试验设计及结果分析 表表2-14正交试验及结果分析正交试

6、验及结果分析列号列号试验号试验号12345试验指标试验指标（产量）（产量）/kg减去减去200111111195-5212222205532112222020422211225255312122101063212121515741221185-15842112190-10K10102020K245353525K325K4-25 混合水平正交试验设计及结果分析 表表2-14正交试验及结果分析正交试验及结果分析列号列号试验号试验号ABCD5试验指标试验指标（产量）（产量）/kg减去减去2001234kk1102.55.05.0kk2 222.58.86.36.3kk3 312.5kk44-12.5

7、极极差差35.06.31.31.3优方案优方案A2B2C2D2 混合水平正交试验设计及结果分析 混合水平正交试验结果分析计算的方法和水混合水平正交试验结果分析计算的方法和水平相同的正交表基本相同，但是要特别注意，由平相同的正交表基本相同，但是要特别注意，由于各因素的水平数不完全相等，各水平出现的次于各因素的水平数不完全相等，各水平出现的次数也不完全相等，因此计算各因子各水平的平均数也不完全相等，因此计算各因子各水平的平均值值kk11、kk2 2 、kk3 3 、kk44时和水平相同的正时和水平相同的正交表有所不同。交表有所不同。（2）拟水平法v对水平数不同的正交试验问题，如无合适的混合对水平数

8、不同的正交试验问题，如无合适的混合水平正交表可选择，可以将水平数较少的因子虚水平正交表可选择，可以将水平数较少的因子虚拟一些水平，使之排在正交表的多水平列上，这拟一些水平，使之排在正交表的多水平列上，这种方法称为拟水平法。应该指出，采用拟水平法种方法称为拟水平法。应该指出，采用拟水平法的试验，正交表的均衡搭配性质会遭到部分破坏。的试验，正交表的均衡搭配性质会遭到部分破坏。它的好处是可以不采用大的正交表，从而减少试它的好处是可以不采用大的正交表，从而减少试验次数。验次数。（2）拟水平法v例例2-7今有一化工试验，试验指标只有一个，它的数值越今有一化工试验，试验指标只有一个，它的数值越小越好。这个

9、试验有四个因子小越好。这个试验有四个因子A、B、C和和D，其中因子，其中因子C是是2水平的，其余水平的，其余3个因子都是个因子都是3水平的。具体的因子和水水平的。具体的因子和水平表如表平表如表2-15所示。所示。表表2-15因子和水平列表因子和水平列表 因子因子水平水平ABCD135015606522505807533001085（2）拟水平法v例例2-7这种情况没有合适的混合水平正交表，因此不能用这种情况没有合适的混合水平正交表，因此不能用例例2-6的方法解决。的方法解决。v假若因素假若因素C也有也有3个水平，那么这个问题就变成个水平，那么这个问题就变成4因子因子3水水平的问题，就可以选正交

10、表平的问题，就可以选正交表L9（34）来安排试验。）来安排试验。v如何将如何将C变成变成3水平的因子呢？我们是从第水平的因子呢？我们是从第1、第、第2两个水两个水平中选一个水平让它重复一次作为第平中选一个水平让它重复一次作为第3水平，这就叫虚拟水平，这就叫虚拟水平。取哪个水平作为第水平。取哪个水平作为第3水平呢？一般都是要根据实际水平呢？一般都是要根据实际经验，选取一个较好的水平。经验，选取一个较好的水平。 拟水平法正交试验设计及结果分析 表表2-16L9（34）正交表及结果分析）正交表及结果分析列号列号试验号试验号ABCD试验指标试验指标111111452122223631332312421

11、22315522321406231121573132210832113593322147K1937065132K2708116061K3627432 拟水平法正交试验设计及结果分析 表表2-16拟水平法正交试验及结果分析拟水平法正交试验及结果分析列号列号试验号试验号ABCD5试验指标试验指标1234kk1131.023.321.744.0越小越好越小越好kk2 223.327.026.720.3kk3 320.724.710.7极极差差10.33.75.033.3优方案优方案A3B1C1D3 拟水平法正交试验设计及结果分析v 注意：因子注意：因子C的的“第第3水平水平”实际上就是第实际上就是第

12、2水平，我们把水平，我们把2-15正交表中第正交表中第3列的列的C因子的水平安排又重写一次，两边因子的水平安排又重写一次，两边用虚线标出，对应地列在右边，这一列是真正的水平安排。用虚线标出，对应地列在右边，这一列是真正的水平安排。v由于这一列没有第由于这一列没有第3水平，因此在求和时实质上是没有水平，因此在求和时实质上是没有K3，只出现，只出现和和。又因为这里。又因为这里C的第的第2水平共出现水平共出现6次，次，因此平均值因此平均值kk2 2是是2除以除以6 6；C的第的第1水平出现水平出现3次，因此平次，因此平均值均值kk11是是除以除以3 3， 拟水平法的特点v 可以看出，拟水平法是将水平

13、少的因素归入水平多的正交可以看出，拟水平法是将水平少的因素归入水平多的正交表中的一种处理方法，在没有合适的混合水平的正交表可表中的一种处理方法，在没有合适的混合水平的正交表可用时，拟水平法是一种比较好的处理多因素混合水平试验用时，拟水平法是一种比较好的处理多因素混合水平试验的方法。的方法。v这种方法不仅可以对一个因素虚拟水平，也可以对多个因这种方法不仅可以对一个因素虚拟水平，也可以对多个因素虚拟水平。素虚拟水平。v虚拟水平后的正交表对所有因素来说不具有均衡搭配的性虚拟水平后的正交表对所有因素来说不具有均衡搭配的性质，但具有部分均衡搭配的性质，所以拟水平法仍然保留质，但具有部分均衡搭配的性质，所

14、以拟水平法仍然保留着正交表的优点。着正交表的优点。例例2-8提高某产品质量的试验提高某产品质量的试验 为提高某产品的质量，要对生产该产品的原料进行配方试验，要为提高某产品的质量，要对生产该产品的原料进行配方试验，要检验检验3项指标：抗压强度、落锤强度和裂纹度，前两个指标越大越好，项指标：抗压强度、落锤强度和裂纹度，前两个指标越大越好，第第3个指标越小越好。根据以往的经验，配方中有个指标越小越好。根据以往的经验，配方中有3个重要因子，它们个重要因子，它们各有各有3个水平，具体数据如表个水平，具体数据如表2-17所示。所示。表表2-17试验的因子和水平试验的因子和水平 因子因子水平水平ABC水份水

15、份（%）粒度（粒度（%）碱度碱度1841.12961.33781.52.4 多指标的分析方法 我们在前面介绍的正交试验中，考察我们在前面介绍的正交试验中，考察指标均为单一的，但在实际的问题中，特指标均为单一的，但在实际的问题中，特别是实际的化学与化工试验中，多指标的别是实际的化学与化工试验中，多指标的问题是大量存在的，多指标的试验分析比问题是大量存在的，多指标的试验分析比单指标要复杂一些。单指标要复杂一些。 选L9（34）水平表进行试验设计 表表2-18L9（34）正交表及结果分析）正交表及结果分析列号列号试验号试验号ABC抗压强度抗压强度（kg/个）个）落锤强度落锤强度（0.5m/次）次）裂

16、纹度裂纹度111111.51.1321224.53.64313311.04.6442127.01.1352238.01.62623118.515.1073139.01.1383218.04.62933213.420.21 结果分析 表表2-18L9（34）正交表及结果分析）正交表及结果分析列号列号试验号试验号ABC抗压强度（抗压强度（kg/个）个）落锤强度落锤强度（0.5m/次）次）裂纹度裂纹度抗抗压压强强度度K127.027.538.011.51.13K233.520.524.94.53.64K330.442.928.011.04.64kk119.09.212.77.01.13kk2 211

17、.26.88.38.01.62kk3 310.114.39.318.515.10极差极差2.27.54.49.01.13优方优方案案A2B3C18.04.62裂裂纹纹度度K11195落落锤锤强强度度K19.33.320.8K2588K217.89.824.9K3659K325.939.97.3kk113.73.01.7kk113.11.16.9kk2 21.72.72.7kk2 25.93.38.3kk3 32.01.73.0kk3 38.613.32.4极差极差2.01.31.3极差极差5.512.25.9优方优方案案A2B3C1优方案优方案A3B3C2（1)1)综合平衡法综合平衡法v用图示

18、的方法和结果分析表相结合，先分用图示的方法和结果分析表相结合，先分别考察每个因子对各指标的影响，然后进别考察每个因子对各指标的影响，然后进行分析比较。先从对指标影响较大的主要行分析比较。先从对指标影响较大的主要因子开始进行分析。因子开始进行分析。v各因子之间需要进行综合平衡，确定对主各因子之间需要进行综合平衡，确定对主要因子来说是最好的水平，兼顾考虑次要要因子来说是最好的水平，兼顾考虑次要因子，从而得出最好的试验方案，这种方因子，从而得出最好的试验方案，这种方法就叫法就叫综合平衡法综合平衡法。(2)(2)综合评分法综合评分法v对多指标的问题，要做到真正好的综合平对多指标的问题，要做到真正好的综

19、合平衡，有时是很困难的，这正是综合平衡法衡，有时是很困难的，这正是综合平衡法的缺点。而的缺点。而综合评分法综合评分法在一定意义上来讲，在一定意义上来讲，可以克服综合平衡法的缺点。可以克服综合平衡法的缺点。例2-9 关于综合评分法 某厂生产一种化工产品，需要检验两个指标：核酸纯度和回收率，这两个指标都某厂生产一种化工产品，需要检验两个指标：核酸纯度和回收率，这两个指标都是越大越好。根据以往的经验，有影响的因子有是越大越好。根据以往的经验，有影响的因子有4个，各有个，各有3个水平，具体数据如表个水平，具体数据如表2-18所示。所示。 表表2-19试验的因子和水平试验的因子和水平 因子因子水平水平A

20、BCD时间时间/h加料中核酸含量加料中核酸含量PH值值加水量加水量1257.55.01：62599.06.01：4316.09.01：2 选L9（34）水平表进行试验设计 表表2-20L9（34）正交表及结果分析）正交表及结果分析列号试验号ABCD纯度回收率综合评分1111117.530.0110.02122212.041.289.2313336.060.084.0421238.024.256.2522314.551.069.0623124.058.474.4731328.531.065.0832137.020.548.5933234.573.591.5K1273.2221.2222.9260

21、.5K2196.6206.7236.9228.6K3205.0249.9218.9188.7k191.173.774.386.8k265.568.979.076.2k368.383.972.762.9极 差25.614.46.323.9优方案A1B3C2D1综合评分法综合评分法v综合评分法就是根据各个指标的重要性的不同，综合评分法就是根据各个指标的重要性的不同，按照得出的试验结果综合分析，给每一个试验评按照得出的试验结果综合分析，给每一个试验评出一个分数，作为这个试验的总指标，根据这个出一个分数，作为这个试验的总指标，根据这个总指标（分数），利用直观分析法作进一步的分总指标（分数），利用直观分

22、析法作进一步的分析，从而选出较好的试验方案。析，从而选出较好的试验方案。v综合评分法的关键是如何评分。综合评分法的关键是如何评分。综合评分法综合评分法v以这个试验为例。在这个试验中，两个指标的重要性是不以这个试验为例。在这个试验中，两个指标的重要性是不同的，根据实践经验知道，纯度的重要性比回收率的重要同的，根据实践经验知道，纯度的重要性比回收率的重要性大。这时需要化成数量来看，从实际分析，可认为纯度性大。这时需要化成数量来看，从实际分析，可认为纯度是回收率的是回收率的4倍，也就是说，论重要性若将回收率看成倍，也就是说，论重要性若将回收率看成1，纯度就是纯度就是4，这个，这个4和和1分别叫两个指

23、标的分别叫两个指标的权权。按这个权给出。按这个权给出每个试验的总分为：总分每个试验的总分为：总分=4纯度纯度+1回收率。按照这个算回收率。按照这个算式，算出每个试验的综合评分，列在正交表最右边，就可式，算出每个试验的综合评分，列在正交表最右边，就可以用直观分析法作进一步的分析。以用直观分析法作进一步的分析。v综合评分法是将多指标的问题，通过加权计算总分的方法综合评分法是将多指标的问题，通过加权计算总分的方法化成一个指标的问题，这样对结果的分析计算都比较方便、化成一个指标的问题，这样对结果的分析计算都比较方便、简单。但是如何合理地评分，也就是如何合理地确定各个简单。但是如何合理地评分，也就是如何

24、合理地确定各个指标的权，是最关键的问题，也是最困难的问题，这一点指标的权，是最关键的问题，也是最困难的问题，这一点只能依据专业知识和实际经验来解决，单纯从数学上是无只能依据专业知识和实际经验来解决，单纯从数学上是无法解决的。法解决的。总结：总结：v正交试验设计，关键在于根据试验的目的，确定正交试验设计，关键在于根据试验的目的，确定试验要考察的因素，进一步确定每个因素变化的试验要考察的因素，进一步确定每个因素变化的水平。水平。v根据试验要求来最终确定正交表。试验费用昂贵根据试验要求来最终确定正交表。试验费用昂贵的，可取试验次数少的正交表，要求试验精度高的，可取试验次数少的正交表，要求试验精度高的

25、，可取试验次数多的正交表。的，可取试验次数多的正交表。v已知因子间交互作用小的，可不用考虑交互作用，已知因子间交互作用小的，可不用考虑交互作用，减少试验次数。减少试验次数。v分析试验结果，得到合理的结论和更多的信息。分析试验结果，得到合理的结论和更多的信息。原则：具体情况具体分析，灵活运用。原则：具体情况具体分析，灵活运用。试验为什么要设计？ 试验设计一般分三个阶段：（1）试验：首先要明确试验的目的和要求；其次）试验：首先要明确试验的目的和要求；其次是合理选择试验考察的是合理选择试验考察的指标指标和影响因素（即和影响因素（即因因子子）；最后确定试验中影响因素的具体条件）；最后确定试验中影响因素

26、的具体条件（即（即因子的水平因子的水平）。）。（2）设计：根据因子及因子的水平，确定试验方）设计：根据因子及因子的水平，确定试验方案；决定试验的顺序，试验的方法，测量的点案；决定试验的顺序，试验的方法，测量的点数以及重复的次数等。数以及重复的次数等。（3）分析：对试验所得到的数据进行整理，制）分析：对试验所得到的数据进行整理，制成易于计算的表格，成易于计算的表格，建立假设，计算分析用建立假设，计算分析用的各种统计量；确定显著性水平进行检验，的各种统计量；确定显著性水平进行检验，得出结论。得出结论。线性代数线性代数概率论与数理统计概率论与数理统计研研究究在在CO2和和H2O存存在在下下，由由CO

27、与与H2合合成成甲甲醇的反应。醇的反应。（1）写出反应的原子矩阵形式；写出反应的原子矩阵形式；（2）求原子矩阵的秩求原子矩阵的秩（3）确定反应确定反应a1CH3OH+a2CO+a3H2+a4CO2+a5H2O=0的一套计量系数，即确定一组完整的独立反应组。的一套计量系数，即确定一组完整的独立反应组。引例 ？ ？化学与化工研究过程 找到隐藏在化工现象背后的规找到隐藏在化工现象背后的规律，从而建立一个能够正确地反映律，从而建立一个能够正确地反映所研究对象或过程的数学模型。所研究对象或过程的数学模型。数学模型化过程分析法经验法在在高高等等数数学学的的研研究究中中对对单单个个的的数数或或单单个个的的数

28、数学学模模型型研研究究的的较较多多，而而在在化化学学与与化化工工问问题题中中，经经常常遇遇到到将将许许多多个个数数或或许许多多个个数数学学模模型型作作为为一一组组来来研研究究的的情情况况。若若将将众众多多的的数数或或关关系系式式用用展展开开式式来来描描述述，则则很很繁繁琐琐，所以需要用简便的形式来进行表达或运算。所以需要用简便的形式来进行表达或运算。线线性性代代数数就就是是适适合合这这种种要要求求的的一一种种方方便的数学方法。便的数学方法。第三部分 线 性 代 数第一章第一章 n阶行列式阶行列式第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算第三章第三章 n维向量维向量第四章第四章 特征值和特征向量特征

29、值和特征向量第五章第五章 线性空间线性空间线性代数的学习内容线性代数的学习内容向量组与向量组与线性方程组线性方程组 行列式行列式矩阵矩阵方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量线性空间线性空间 第二章第二章克莱姆法则克莱姆法则 线性方程组线性方程组 矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的秩矩阵的秩向量组的线性相关性向量组的线性相关性 向量组的秩向量组的秩线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 维数、基与坐标维数、基与坐标 线性变换线性变换 第一章第一章第三章第三章第四章第四章第五章第五章线性代数的特点：线性代数的特点：线性代数的特点线性代数的特点四多四多概念多概念多定理多定理多符号多符号多运

30、算规律多运算规律多两交联两交联内容相互纵横交错内容相互纵横交错知识前后紧密联系知识前后紧密联系第一章 n阶行列式第一节第一节二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式第二节第二节n阶行列式定义及性质阶行列式定义及性质第三节第三节n阶行列式的计算阶行列式的计算第四节第四节克莱姆法则克莱姆法则求解含有求解含有n个未知数个未知数的的n个线性方程个线性方程的方程组：的方程组：线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式引例二元线性方程组二元线性方程组其中其中为常数，为常数，为未知量。为未知量。用中学学过的加减消元法可得结论：当用中学学过的加减消元法可得结论：当时，方程组有唯一组解：时，方程组有唯一组解

31、：线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第1 1节节 二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式第第1节节二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式定义定义四个数排成二行二列的方形数表，加上记号四个数排成二行二列的方形数表，加上记号“|”，表，表示一个二阶行列式示一个二阶行列式，其值为，其值为，即，即其中其中称为行列式的称为行列式的元素元素。元素。元素的脚标的脚标表示表示第第行，行，表示第表示第列，即列，即表示行列式中位于第表示行列式中位于第行第行第列列的元素。的元素。线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第1 1节节 二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式二阶行列式二阶行列式由

32、二阶行列式的定义，可将前述二元线性方程组的解写为：由二阶行列式的定义，可将前述二元线性方程组的解写为：线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第1 1节节 二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式称称D=为线性方程组（为线性方程组（1）的）的系数行列式系数行列式。上述结论还可简记为：当二元方程组（上述结论还可简记为：当二元方程组（1）的系数行列式）的系数行列式时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解。其中其中为系数行列式为系数行列式的第的第列换为常数列列换为常数列，其余列不，其余列不动而得到的行列式。动而得到的行列式。定义定义九个数排成三行三列的方形数表，加上记号九个数排成三行三列的方形

33、数表，加上记号“|”，表示一个三阶行列式：表示一个三阶行列式：线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第1 1节节 二二阶和三阶行列式阶和三阶行列式三阶行列式值的计算可按图示三阶行列式值的计算可按图示“对角线法则对角线法则”来记忆。来记忆。三阶行列式三阶行列式三元线性方程组：三元线性方程组：线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第1 1节节 二二阶和三阶行列式阶和三阶行列式当系数行列式当系数行列式时，方程组（时，方程组（2）有唯一解）有唯一解上述结论仍可简记为上述结论仍可简记为，其中，其中为系数行为系数行列式，列式，为为的第的第列换为常数列列换为常数列，其

34、余列不动而得，其余列不动而得到的行列式。到的行列式。性质性质1 将行列式的行列互换，行列式值不变。即将行列式的行列互换，行列式值不变。即线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第1 1节节 二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式称这两个行列式互为称这两个行列式互为转置行列式转置行列式。行列式行列互换（将行列式行依次改为列）称为行列式转置。行列式行列互换（将行列式行依次改为列）称为行列式转置。性质性质2 行列式任意两行（列）互换，行列式值反号。行列式任意两行（列）互换，行列式值反号。推论推论若行列式两行（列）相同，则行列式值为零。若行列式两行（列）相同，则行列式值为零。三阶行列式性质

35、：三阶行列式性质：性质性质3 行列式某一行有公因子行列式某一行有公因子，则，则可提到行列式号外。即可提到行列式号外。即线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第1 1节节 二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式推论推论1 行列式有一行（列）元素均为行列式有一行（列）元素均为0，则行列式值为，则行列式值为0。推论推论2 行列式有二行（列）元素成比例，则行列式值为行列式有二行（列）元素成比例，则行列式值为0。三阶行列式性质：三阶行列式性质：性质性质4 行列式某一行（列）的元素可以表示成两项之和，则行列式某一行（列）的元素可以表示成两项之和，则该行列式可写成两个行列式之和。该行列式可写成

36、两个行列式之和。线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第1 1节节 二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式性质性质5 将行列式一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行将行列式一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式值不变。列式值不变。定义定义三阶行列式中划去元素三阶行列式中划去元素所在的第所在的第行与第行与第列的元列的元素，其余的元素按原来的次序构成一个二阶行列式，称为元素，其余的元素按原来的次序构成一个二阶行列式，称为元素素的的余子式余子式，记作，记作，令，令，称，称为元素为元素的的代数余子式。代数余子式。定理定理1 三阶行列式值等于其任一行（或列）的元素与其代数三阶行列式值等

37、于其任一行（或列）的元素与其代数余子式乘积之和。即：余子式乘积之和。即：线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第1 1节节 二阶二阶和三阶行列式和三阶行列式余子式和代数余子式余子式和代数余子式例例1求上三角行列式求上三角行列式线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第1 1节节 二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式例例2求求例例3求求=a11a22a33=16-50+36=2=a3+3a2线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第2 2节节 n n阶行阶行列式定义与性质列式定义与性质第第2节节n阶行列式定义与性质阶行列式定义与性质引例引例：用

38、用1、2、3三个数字，可以组成多少三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？个没有重复数字的三位数？P3=321=3！把把n个不同的元素排成一列，共有几种不同个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？的排法？Pn=n（n-1）（n-2）321=n！定义定义1 由自然数由自然数组成的一个组成的一个有序数组有序数组称为一个称为一个n阶排阶排列，也叫做这列，也叫做这n个元素的个元素的全排列全排列。一般地说一个一般地说一个n 阶排列可用阶排列可用表示。所有的表示。所有的n阶排阶排列的总数为列的总数为n！个。！个。定义定义2 在在n阶排列阶排列中，如果中，如果就就称称为该排列的一个为该排列的一个逆序

39、逆序，排列中逆序的总个数称为该，排列中逆序的总个数称为该排列的逆序数排列的逆序数，记作，记作排列排列具有自然顺序，即逆序数为具有自然顺序，即逆序数为0，称之为自然排列。，称之为自然排列。定义定义3 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。列称为偶排列。线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第2 2节节 n n阶行阶行列式定义与性质列式定义与性质全排列及其逆序数全排列及其逆序数例例1计算排列计算排列32514的逆序数并指出排列的奇偶的逆序数并指出排列的奇偶性。性。线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶

40、行列式 第第2 2节节 n n阶行列式定义与性质阶行列式定义与性质解：在排列解：在排列32514中，中，3排在首位，逆序数总为排在首位，逆序数总为0；2的前面比的前面比2大的数有一个（大的数有一个（3），故逆序数为），故逆序数为1；5是最大的数，逆序数总为是最大的数，逆序数总为0；1的前面比的前面比1大的数有三个（大的数有三个（3、2、5），故逆序数为），故逆序数为3；4的前面比的前面比4大的数有一个（大的数有一个（5），故逆序数为），故逆序数为1；于是排列的逆序数为：于是排列的逆序数为：=0+1+0+3+1=5所以该排列为奇排列。所以该排列为奇排列。在一个排列中，把其中两个数的位置互换，其余

41、数位置在一个排列中，把其中两个数的位置互换，其余数位置不动，这样的变换称为对换。不动，这样的变换称为对换。如如定理定理1 任一排列经一次对换，必改变其奇偶性。任一排列经一次对换，必改变其奇偶性。推论推论1 在所有在所有n阶排列中阶排列中，奇排列、偶排列各占一半，奇排列、偶排列各占一半，均为均为。推论推论2 任一任一n阶排列均可以通过若干次对换变为自然排列，阶排列均可以通过若干次对换变为自然排列，并且所做的对换次数的奇偶数与这个排列的奇偶性一致。并且所做的对换次数的奇偶数与这个排列的奇偶性一致。线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第2 2节节 n n阶行列式定义与性质阶行列

42、式定义与性质对换对换线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第2 2节节 n n阶行列式定义与性质阶行列式定义与性质三阶行列式三阶行列式（1）式的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于）式的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列。因此，（不同的行、不同的列。因此，（1）式中的任意项除正负号）式中的任意项除正负号外可以写成外可以写成a1j1a2j2a3j3，第一个下标称为行标，而第二个下标，第一个下标称为行标，而第二个下标称为列标。称为列标。（2）各项的正负号与列标的排列对照：）各项的正负号与列标的排列对照：带正号的三项列标排列是：带正号的三项列标排列

43、是：123，231，312；偶排列；偶排列带负号的三项列标排列是：带负号的三项列标排列是：132，213，321；奇排列。；奇排列。所以各项所带的正负号可以表示为所以各项所带的正负号可以表示为(-1)(j1j2j3)（1）定义定义 三阶行列式中划去元素三阶行列式中划去元素 所在的第所在的第 行与第行与第 列的元素，其余的元列的元素，其余的元素按原来的次序构成一个二阶行列式，称为元素素按原来的次序构成一个二阶行列式，称为元素 的的余子式余子式，记作，记作 ，令，令 ，称，称 为元素为元素 的的代数余子式。代数余子式。 定理定理1三阶行列式值等于其任一行（或列）的元素与其代数余子式乘积之和。三阶行

44、列式值等于其任一行（或列）的元素与其代数余子式乘积之和。即：即：线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第1 1节节 二阶二阶和三阶行列式和三阶行列式余子式和代数余子式余子式和代数余子式定义定义由由个数排成个数排成行，行，列的数表，加符号列的数表，加符号“|”，称为，称为阶行列式，它的值为所有取自不同行、不同列的阶行列式，它的值为所有取自不同行、不同列的个元素乘个元素乘积积的代数和，每项的符号由的代数和，每项的符号由决定，决定，即：即：规定一阶行列式规定一阶行列式。阶行列式的完全展开式中含有阶行列式的完全展开式中含有项。所带符号一半为正，项。所带符号一半为正，一半为负。一半为

45、负。例例2在五阶行列式中，决定在五阶行列式中，决定这项前面所带的符号。这项前面所带的符号。线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第2 2节节 n n阶行列式定义与性质阶行列式定义与性质n阶行列式阶行列式例例3计算上三角行列式计算上三角行列式之值。之值。进一步考虑进一步考虑线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第2 2节节 n n阶行列式定义与性质阶行列式定义与性质阶行列式展开也可表为：阶行列式展开也可表为：（-1）性质性质1 行列式行列互换，行列式值不变。行列式行列互换，行列式值不变。性质性质2 行列式任意两行互换，行列式值变号。行列式任意两行互换，行列

46、式值变号。推论推论行列式若两行相等，行列式值为行列式若两行相等，行列式值为0。性质性质3 行列式某一行有公因子行列式某一行有公因子k ，则，则 k可提到行列式号外。可提到行列式号外。推论推论1 行列式有一行元素均为行列式有一行元素均为0，则行列式值为，则行列式值为0。推论推论2 行列式有二行元素成比例，则行列式值为行列式有二行元素成比例，则行列式值为0。性质性质4 如果行列式第如果行列式第行行个元素可表为两项之和，那么行列个元素可表为两项之和，那么行列式可写为两个行列式之和。式可写为两个行列式之和。性质性质5 行列式一行的倍数加到另一行上，行列式值不变。行列式一行的倍数加到另一行上，行列式值不

47、变。*注意以上各条性质及推论的叙述与二、三阶行列式完全相注意以上各条性质及推论的叙述与二、三阶行列式完全相同，但证明方法不同，应用同，但证明方法不同，应用阶行列式定义及推理方法。阶行列式定义及推理方法。线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第2 2节节 n n阶行阶行列式定义与性质列式定义与性质n阶行列式的性质阶行列式的性质例例4计算行列式计算行列式 解； 线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第3 3节节 n n阶行列式的计算阶行列式的计算返回返回=40第第3节节 n阶行列式的计算阶行列式的计算例例5计算行列式计算行列式 解； 线性代数线性代数 第一章

48、第一章 n n阶行列式阶行列式 第第3 3节节 n n阶行列式的计算阶行列式的计算返回返回=48例例6计算行列式计算行列式 解； 线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第3 3节节 n n阶行列式的计算阶行列式的计算定义定义 在在 阶行列式中划去元素阶行列式中划去元素 所在的第所在的第 行行与第与第 列的元素，其余的元素按原来的次序构成一列的元素，其余的元素按原来的次序构成一个个 阶行列式，称为元素阶行列式，称为元素 的的余子式余子式，记，记作作 ，令，令 ，称，称 为元素为元素 的的代数余子式代数余子式。 线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第3 3

49、节节 n n阶行列式的计算阶行列式的计算余子式和代数余子式余子式和代数余子式 一般说来，低阶行列式的计算比高阶行列式的一般说来，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便。于是，我们自然地考虑用低阶行列式计算要简便。于是，我们自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题。为此，引进余子式和代来表示高阶行列式的问题。为此，引进余子式和代数余子式的概念。数余子式的概念。线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第3 3节节 n n阶行列式的计算阶行列式的计算定理定理1 阶行列式值等于其任一行的元素与阶行列式值等于其任一行的元素与其代数余子式乘积之和。即其代数余子式乘积之和。即 定理定

50、理1 阶行列式值等于其任一列的元素与其代数阶行列式值等于其任一列的元素与其代数余子式乘积之和。即余子式乘积之和。即 余子式和代数余子式余子式和代数余子式线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第3 3节节 n n阶行列式的计算阶行列式的计算余子式和代数余子式余子式和代数余子式 这个定理也叫做这个定理也叫做行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开法则。法则。利用这一法则，并结合行列式的性质，利用这一法则，并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算。可以简化行列式的计算。例如：对三阶行列式例如：对三阶行列式线性代数线性代数 第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 第第3 3节节 n n阶行列式的计算阶行列式的计算行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开对例4然后按第3行展开=40