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1、第二第二 章章 随机变量及其分布随机变量及其分布 一、随机变量一、随机变量 二、离散型随机变量及其分布二、离散型随机变量及其分布 三、三、随机变量的分布函数随机变量的分布函数 四、连续型随机变量及其分布四、连续型随机变量及其分布 五、随机变量的函数的分布五、随机变量的函数的分布第七节第七节 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 一、离散型随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布本节的任务：本节的任务：已知随机变量已知随机变量X的分布的分布，并且已知，并且已知Y=g(X),要求随机变量要求随机变量Y的分布的分布(分布律或分
2、布密度分布律或分布密度)一、离散型随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布当当X为离散型随机变量时，为离散型随机变量时，Y=g(X)也是离散型随也是离散型随机变量，并且在机变量，并且在X分布律已知的情况下，求分布律已知的情况下，求Y的分布的分布律是很容易的。律是很容易的。例例1 已知已知X 的分布律为的分布律为求求Y=2X1，Z=X21的分布律。的分布律。解解 故故Y的分布律为的分布律为故故Z 的分布律为的分布律为注意注意 设设互不相等时，则互不相等时，则由由可得可得 当当，则把那些相等的值合并，则把那些相等的值合并，并根据概率的可加性把对应的概率相加得到并根据概率的可加性把对应的概
3、率相加得到Y的分布律。的分布律。例例2 设某工程队完成某项工程所需时间为设某工程队完成某项工程所需时间为X(天天)近似近似服从参数为服从参数为的正态分布，奖金方法规的正态分布，奖金方法规定，若在定，若在100天内完成，则得超产奖天内完成，则得超产奖10000元；若在元；若在若在若在100天至天至115天内完成，则得超产奖天内完成，则得超产奖1000元；若完元；若完成时间超过成时间超过115天，则罚款天，则罚款5000元。求该工程队在完成元。求该工程队在完成这项工程时，奖金额这项工程时，奖金额Y的分布律。的分布律。解解 依题意依题意可见可见Y是是X的函数，且是离散型随机变量。的函数，且是离散型随
4、机变量。则则Y的分布律为的分布律为. 分布函数法分布函数法（一般的函数都适用）（一般的函数都适用） 先求先求的分布函数的分布函数 再利用再利用的分布函数与概率密度之间的分布函数与概率密度之间的关系求的关系求的概率密度为的概率密度为三、连续型随机变量的函数的分布三、连续型随机变量的函数的分布例3 已知 X 的 密度函数为为常数，且 a 0, 求 fY ( y )解解当a 0 时，当a 0 时，故故解解 先求先求 Y =2X +8 的分布函数的分布函数设随机变量设随机变量X 具有具有概率密度：概率密度：例例4 4试求试求Y =2X +8 的概率密度的概率密度 得得 Y =2X +8 的概率密度为的
5、概率密度为例例5 5 已知已知 X N (0,1) , Y = X 2 , 求求 fY (y)解解 分布函数法分布函数法yy当当 y 0 时，时，故设设X U(-1,1)，求，求Y=X 2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率密度。练习练习1 1解解 由已知得由已知得当当y0时，时，; 当当y1时，时，当当0y0)解解 先求先求 Y =aX +b 的分布函数的分布函数分布函数方法分布函数方法由上式可知由上式可知特别地，取特别地，取得得公式法公式法注注(1)当当f ( x)在在(a , b)外取值为外取值为 0 时，只要求时，只要求y = g ( x )在在(a , b)上单调就可用公式。上单调
6、就可用公式。(2)若若g(x)不单调？不单调？y最值相同时，在每个单调区间上用公式，再相加。最值相同时，在每个单调区间上用公式，再相加。先将单调区间算出，当单调区间上先将单调区间算出，当单调区间上yx1x2x3y = g(x)x xn设随机变量设随机变量X 的概率密度为的概率密度为求求Y = sinX 的概率密度的概率密度. .例例8 8当当时时解：分布函数法：解：分布函数法：x xsinsinx x0 01 1时时, , 故故 当当当当时时, , 当当时时, , 求导得求导得x xsinsinx x0 01 1y单调增，单调增，单调减，单调减，反函数反函数 当当时时解解 公式法公式法当当时时
7、所以当所以当时时故故设设X U(1,2)，求，求Y=X2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率密度。例例1010解解 由已知得由已知得则则Y的分布函数的分布函数当当y0时，时，; 当当y4时，时，当当0y1时，时，当当1y4时，时，所以所以Y 的分布函数为的分布函数为上式对上式对Y 求导，即得求导，即得的概率密度为的概率密度为思考题思考题1.在在一一张张纸纸上上画画一一个个2020的的正正方方形形，然然后后用用抛抛硬硬币币的的方方法法选选择择颜颜色色，依依次次将将每每一一个个小小方方格格涂涂成成红红色色或或绿绿色色，在在400个个小小方方格格都都用用颜颜色色涂涂满满时时，形形成成的的组组合图案
8、中红色与绿色是否均匀？合图案中红色与绿色是否均匀？答案答案：不均匀：不均匀随机成簇现象随机成簇现象第第一一个个做做这这种种“成成簇簇”现现象象实实验验的的是是美美国国密密歇歇根根大大学学的的一一位位工工程程师师穆穆尔尔，他他用用一一种种体体积积微微小小的的球球型型彩彩色色水水果果糖糖做做实实验验，在在取取了了大大量量的的、相相同同数数量量的的红红色色球球糖糖和和绿绿色色球球糖糖后后，穆穆尔尔把把它它们们放放入入一一个个玻玻璃璃瓶瓶，然然后后用用力力摇摇这这个个瓶瓶子子，直直至至两两色色糖糖混混合合均均匀匀。仔仔细细观观察察这这个个瓶瓶子子，你你以以为为会会看看到到一一大大片片颜颜色色混混合合均均匀匀的的糖糖，可可实实际际上上，你你看看到到的的是是一一个个不不规规则则的的大大片片红红糖糖图图案中均匀夹杂着大片的绿糖，而且二者面积相等。案中均匀夹杂着大片的绿糖，而且二者面积相等。2.2.设设X的分布律为的分布律为X10123pk0.160.1aa20.2a0.3（1）求常数）求常数a的值；（的值；（2）求）求P|X|2Answer: 0.6, 0.583.3.设设X在在(-1,2)(-1,2)上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求Y=X2的概率密的概率密度。度。Answer:Answer:作作 业业P59：19, 22, 25，27
