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1、向量的数量积向量的数量积2443124431三、向量的投影三、向量的投影 设设是向量与间的夹角，是向量与间的夹角， 叫做向量叫做向量 方向上的投方向上的投影；而影；而 称为称为 方向上方向上的投影。的投影。 说明：说明：一个向量在另一个向量方向一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数，当上的投影是一个数，当009090时，它为正值；当时，它为正值；当=90=90时，它为时，它为0 0；当当9090180180时，它为负值特时，它为负值特别地，当别地，当=0=0，它就等于；而当，它就等于；而当=180=180时，它等于时，它等于 。2 2、判断下列说法的正误，并说明理由、判断下列说法的正误，并说
2、明理由四、向量数量积的运算律四、向量数量积的运算律 已知向量已知向量 与实数与实数，则向量，则向量的数量积满足下列运算律：的数量积满足下列运算律：（1）交换律：）交换律：证明：证明： 设设 夹角为夹角为 ， 则则所以所以（2）若若证明：证明：若若（3）12ABOA1B1C证明：在平面内取一点证明：在平面内取一点 ，作，作（即（即 ）在）在 方向上的投影等于方向上的投影等于在在 方向上的投影的和，方向上的投影的和，即即即即思考思考(1) ?(2) 说明：向量数量积不满足消去律，说明：向量数量积不满足消去律，也就是说：也就是说：平面向量数量积的常用公式平面向量数量积的常用公式1、已知、已知与与 的
3、夹角为的夹角为60，求：（求：（1） 在在 方向上的投影；方向上的投影； （2） =2解：（解：（2）五、五、 平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示 思考思考2 2：对于上述向量对于上述向量 ，则，则 分别等于分别等于什么？什么？ 思考思考1 1：设设 是分别与是分别与x x轴、轴、y y轴同向的轴同向的两个单位向量，若两个非零向量两个单位向量，若两个非零向量 (x(x1 1，y y1 1),), (x(x2 2，y y2 2) )，则向量，则向量 与与 用用 分别分别如何表示？如何表示？思考思考3 3：根据数量积的运算性质，根据数量积的运算性质，ab等等于什么？于什么？ 两两个个
4、向向量量的的数数量量积积等等于于它它们们对对应应坐坐标标的的乘积的和乘积的和. x x1 1x x2 2y y1 1y y2 2 思考思考4 4：若若 (x(x1 1，y y1 1),), (x(x2 2，y y2 2) )，则则 x x1 1x x2 2y y1 1y y2 2，这就是平面向量数，这就是平面向量数量积的坐标表示量积的坐标表示. .你能用文字描述这一结你能用文字描述这一结论吗？论吗？ 例例3 3 已知向量已知向量 (4(4，3),3), ( (1 1，2), 2), 求求: : (1) (1) (2) (2) (3) (3)理论迁移理论迁移(1) 2(1) 2；（；（2 2）1
5、717；（；（3 3）3.3. 例例4 4 已知点已知点A A（1 1，2 2）,B,B（2 2，3 3）, ,C(C(2 2，5)5)，试判断，试判断ABCABC的形状，并给的形状，并给出证明出证明. . ABCABC是直角三角形是直角三角形 例例5 5 已知向量已知向量 (5(5，7)7)， ( (6 6，4)4)，求向量，求向量 与与 的的夹夹（求其三角函数值）（求其三角函数值）. . 例例6 6 已知向量已知向量 (，2)2)， ( (3 3，-5)-5)，若向量，若向量 与与 的夹的夹角为钝角，求角为钝角，求的取值范围的取值范围. . 例例7 7 已知已知 (1(1，1)1)， = 3 3， ，求，求
