《高等代数（I）课件：第2章 方阵的行列式-引》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数（I）课件：第2章 方阵的行列式-引（313页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、方阵的行列式方阵的行列式 - 引引 1. 2 阶行列式的代数意义；阶行列式的代数意义； 2. 2 阶行列式的几何意义；阶行列式的几何意义； 3. 猜测猜测 3 阶行列式的构造阶行列式的构造 . 以下方程组何时有唯一解以下方程组何时有唯一解?a11-1 以下方程组何时有唯一解以下方程组何时有唯一解? - a21 主元的位置主元的位置 ? 2 阶行列式的定义阶行列式的定义方阵的行列式方阵的行列式 - 引引 1. 2 阶行列式的代数意义；阶行列式的代数意义； 2. 2 阶行列式的几何意义；阶行列式的几何意义； 3. 猜测猜测 3 阶行列式的构造阶行列式的构造 . 2 阶行列式的几何意义阶行列式的几何
2、意义方阵的行列式方阵的行列式 - 引引 1. 2 阶行列式的代数意义；阶行列式的代数意义； 2. 2 阶行列式的几何意义；阶行列式的几何意义； 3. 猜测猜测 3 阶行列式的构造阶行列式的构造 .平行六面体有向体积平行六面体有向体积三阶行列式的几何意义三阶行列式的几何意义 例：长方体体积例：长方体体积猜测：三阶行列式是它猜测：三阶行列式是它 9 个元素个元素 的三次齐次多项式的三次齐次多项式胡适胡适 大胆假设，小心求证 每次取不同行、不同列的每次取不同行、不同列的 三个元素，三个元素， 有几种取法？有几种取法？ 每次取不同行、不同列的每次取不同行、不同列的 三个元素，三个元素， 有几种取法？有
3、几种取法？猜测：三阶行列式应该是以下猜测：三阶行列式应该是以下 六项的代数和六项的代数和典型IQ 问题：例例: 求以下列向量在几何空间张成求以下列向量在几何空间张成 的平行六面体体积的平行六面体体积. 此平行六面体体积此平行六面体体积 = 3Warn！n以上三阶行列式的构造及展开公式以上三阶行列式的构造及展开公式均不能推广到更高阶的行列式。均不能推广到更高阶的行列式。作业：作业： 1.3 1 2.1 1(3)(6)(9) , 2, 4, 8 2.2 1(1)(3)(5) , 2(2)(4) , 5 怎样定义怎样定义 n 阶方阵的行列式阶方阵的行列式 ?n n 个个 n n 维列向量张成的维列向
4、量张成的 平行多面体的有向平行多面体的有向体积体积 ” 想象一下想象一下 n 维长方体维长方体 n 阶方阵的行列式阶方阵的行列式 退化的情况退化的情况第二章第二章 方阵的行列式方阵的行列式 1 排列的奇偶性排列的奇偶性 2 行列式的定义行列式的定义 3 行列式的性质行列式的性质 4 行列式按一行行列式按一行 (一列一列) 展开展开 5 克莱姆克莱姆 (Cramer) 法则法则 6 行列式按行列式按 k 行行 ( k 列列) 展开展开参考材料：课本参考材料：课本 第二章第二章n自然数自然数 1, 2, , n 的排列的排列 j1 j2 jn 称为称为 n 元排列元排列. n 元排列一共有元排列一
5、共有 n ! 种种.n目标目标: 找到某种新规则找到某种新规则, 将全体将全体 n 元排列元排列 分成两大类分成两大类. 一类称为偶排列一类称为偶排列, 另一类称为另一类称为 奇排列奇排列. 排列分奇偶排列分奇偶n设设 j1 j2 jn 是是 n 元排列元排列. 考察乘积考察乘积 若乘积若乘积 0 , 则称则称 j1 j2 jn 是偶排列是偶排列; 若乘积若乘积 0 231 (3-2) (1-2) (1-3) 0 312 (1-3) (2-3) (2-1) 0 132 (3-1) (2-1) (2-3) 0 321 (2-3) (1-3) (1-2) 0 213 (1-2) (3-2) (3-
6、1) 04321 (3-4) (2-4) (1-4) (2-3) (1-3) (1-2) 0 定理定理: 对换改变排列奇偶性对换改变排列奇偶性 . 4 2 3 1 5 1 2 3 4 5对换对换 (4,1) 第一步第一步, 证明对换证明对换相邻相邻的字符改变的字符改变 排列奇偶性排列奇偶性. 4 2 3 1 5 4 2 1 3 5相邻相邻对换对换(3,1) k i j l k j i l 原排列中的数对分三种类型原排列中的数对分三种类型:不含不含 i, j 的数对逆序性不变的数对逆序性不变, 如如 k l k l ;只含只含 i, j 之一的数对总是成对出现之一的数对总是成对出现, 如如: k
7、 i , k j ; 对换后变为对换后变为 k j , k i ; 其中的逆序对个数没有改变；其中的逆序对个数没有改变；最后，数对最后，数对 i j j i 改变逆序性改变逆序性.相邻相邻对换对换( i, j ) k i j l k j i l 原排列中的数对分三种类型原排列中的数对分三种类型:不含不含 i, j 的数对逆序性不变的数对逆序性不变, 如如 k l k l ;只含只含 i, j 之一的数对总是成对出现之一的数对总是成对出现, 如如: k i , k j ; 对换后变为对换后变为 k j , k i ; 其中的逆序对个数没有改变；其中的逆序对个数没有改变；最后，数对最后，数对 i
8、j j i 改变逆序性改变逆序性.相邻相邻对换对换( i, j ) k i j l k j i l 原排列中的数对分三种类型原排列中的数对分三种类型:不含不含 i, j 的数对逆序性不变的数对逆序性不变, 如如 k l k l ;恰含恰含 i, j 之一的数对总是成对出现之一的数对总是成对出现, 如如: k i , k j ; 对换后变为对换后变为 k j , k i ; 逆序对个数之和不变；逆序对个数之和不变；最后，数对最后，数对 i j j i 改变逆序性改变逆序性.相邻相邻对换对换( i, j ) k i j l k j i l 原排列中的数对分三种类型原排列中的数对分三种类型:不含不含
9、 i, j 的数对逆序性不变的数对逆序性不变, 如如 k l k l ;恰含恰含 i, j 之一的数对总是成对出现之一的数对总是成对出现, 如如: k i , k j ; 对换后变为对换后变为 k j , k i ; 逆序对个数之和不变；逆序对个数之和不变；最后，数对最后，数对 i j j i 改变逆序性改变逆序性.对换对换相邻相邻两数两数改变排列奇偶性改变排列奇偶性第二步第二步, 证明作一次证明作一次不相邻不相邻对换对换相当于连续作奇数次相当于连续作奇数次相邻相邻的对换的对换.故对换不相邻的字符也改变故对换不相邻的字符也改变排列奇偶性排列奇偶性 .( i, j ) 对换对换 i k1 k2
10、ks j k1 k2 ks i j j k1 k2 ks i k1 k2 ks j i ( i, j ) 对换对换 i k1 k2 ks j k1 k2 ks i j j k1 k2 ks i k1 k2 ks j i s= 2s1 次相邻的对换次相邻的对换( i, j ) 对换对换 i k1 k2 ks j k1 k2 ks i j j k1 k2 ks i k1 k2 ks j i ss对换改变排列奇偶性对换改变排列奇偶性利用利用对换计算排列奇偶性对换计算排列奇偶性 任何任何 n 元排列可以经不超过元排列可以经不超过 n - 1 次次 对换变为标准排列对换变为标准排列 1 2 3 n .例
11、：快速计算以下排列的奇偶性例：快速计算以下排列的奇偶性 6 3 7 5 8 1 2 4 1 3 7 5 8 6 2 4 1 2 7 5 8 6 3 4 1 2 3 5 8 6 7 4 1 2 3 4 8 6 7 5 1 2 3 4 5 6 7 8第二章第二章 方阵的行列式方阵的行列式 1 排列的奇偶性排列的奇偶性 2 行列式的定义行列式的定义 3 行列式的性质行列式的性质 4 行列式按一行行列式按一行 (一列一列) 展开展开 5 克莱姆克莱姆 (Cramer) 法则法则 6 行列式按行列式按 k 行行 ( k 列列) 展开展开参考材料：课本参考材料：课本 第二章第二章 排列分奇偶排列分奇偶n设
12、设 j1 j2 jn 是一个是一个 n 元排列元排列. n 阶矩阵的行列式公式阶矩阵的行列式公式 上三角型行列式上三角型行列式 上三角型行列式等于对角元的乘积上三角型行列式等于对角元的乘积下三角型行列式也等于对角元乘积下三角型行列式也等于对角元乘积 n 阶矩阵的行列式公式阶矩阵的行列式公式也可以这样定义？也可以这样定义？? n 个不同行、不同列的元素个不同行、不同列的元素, 在两种方式下添加的符号是否一致在两种方式下添加的符号是否一致?定理定理:经偶数次对换经偶数次对换 n 阶矩阵的行列式公式阶矩阵的行列式公式也可以这样定义也可以这样定义Putnam 问题甲乙二人在甲乙二人在 2010 阶的空
13、方阵上交替地填数阶的空方阵上交替地填数.甲先填甲先填. 每人每次只能在空的位置填写一个每人每次只能在空的位置填写一个实数实数. 方阵被填满后游戏结束方阵被填满后游戏结束. 如果最后方阵如果最后方阵的行列式不为零的行列式不为零, 判甲胜判甲胜. 否则判乙胜否则判乙胜.问甲乙二人谁有必胜的策略问甲乙二人谁有必胜的策略?第二章第二章 方阵的行列式方阵的行列式 1 排列的奇偶性排列的奇偶性 2 行列式的定义行列式的定义 3 行列式的性质行列式的性质 4 行列式按一行行列式按一行 (一列一列) 展开展开 5 克莱姆克莱姆 (Cramer) 法则法则 6 行列式按行列式按 k 行行 ( k 列列) 展开展
14、开参考材料：课本参考材料：课本 第二章第二章 n 阶行列式的完全展开式阶行列式的完全展开式 按按任任意意顺顺序序读读取取不不同同行行,不不同同列列的的 n 个元素个元素也可以这样定义也可以这样定义 行列式基本性质行列式基本性质: 1. 行列互换行列互换, 行列式的值不变行列式的值不变.n行列式的行与列的地位是对等的行列式的行与列的地位是对等的: 关于行的结果关于行的结果, 对列也成立对列也成立; 反之反之, 对列的结果对列的结果, 对行也成立对行也成立 行列式基本性质行列式基本性质: 1. 行列互换行列互换, 行列式的值不变行列式的值不变. 2. 两行互换两行互换, 行列式反号行列式反号. 交
15、换一、三行交换一、三行? 对换改变排列奇偶性对换改变排列奇偶性?两行互换两行互换, 行列式反号行列式反号n行列式的行与列地位是对等的：行列式的行与列地位是对等的： 对行成立的结果对行成立的结果, 对列也成立对列也成立; 对列成立的结果对列成立的结果, 对行也成立对行也成立.n两行互换两行互换, 行列式反号行列式反号 两列互换两列互换, 行列式反号行列式反号 ?= 行列式的基本性质行列式的基本性质1. 方阵做转置方阵做转置, 行列式值不变行列式值不变2. 两行两行 (两列两列) 互换互换, 行列式反号行列式反号3. 关于一行关于一行 (一列一列) 呈线性性质呈线性性质:n 一行一行 (列列) 的
16、公因子可以提到外面去的公因子可以提到外面去;n 沿一行沿一行 (列列) 可以拆成两个行列式的和可以拆成两个行列式的和n行列式一行的公因子可以提到外面行列式一行的公因子可以提到外面n行列式一行（列）的公因子可以提到行列式一行（列）的公因子可以提到 外面去外面去.例例:若若 A 是是 n 阶行列式阶行列式, 则则 | k A | = k n | A | , k Kn推论：如果一行（列）全是推论：如果一行（列）全是 0 ， 行列式值为行列式值为 0n 若某一行是两组数之和若某一行是两组数之和, 行列式可沿行列式可沿 该行拆成两个行列式的和该行拆成两个行列式的和第第 i 行行 行列式的基本性质行列式的
17、基本性质1. 方阵做转置方阵做转置, 行列式值不变行列式值不变2. 两行两行 (两列两列) 互换互换, 行列式反号行列式反号3. 关于一行关于一行 (一列一列) 呈线性性质呈线性性质:n 一行一行 (列列) 的公因子可以提到外面去的公因子可以提到外面去;n 沿一行沿一行 (列列) 可以拆成两个行列式的和可以拆成两个行列式的和 推论推论 1: 两行相同两行相同, 行列式值为行列式值为 0第第 i 行行第第 j 行行 推论推论 1: 两行相同两行相同, 行列式值为行列式值为 02 推论推论 2: 两行成比例两行成比例, 行列式值为行列式值为 0第第 i 行行第第 j 行行推论推论 3: 一行加上另
18、一行的倍数一行加上另一行的倍数, 行列式值不变行列式值不变 k推论推论 3: 一行加上另一行的倍数一行加上另一行的倍数, 行列式值不变行列式值不变 行列式与初等行变换行列式与初等行变换n两行两行 (两列两列) 互换互换, 行列式反号行列式反号 ;n一行一行 (列列) 加上另一行加上另一行 (列列) 倍数倍数 , 行列式值不变行列式值不变 ;n一行一行 (列列) 的公因子可以提到外面去的公因子可以提到外面去 . 利用以上性质可将行列式化为上三角型利用以上性质可将行列式化为上三角型 . 例例: 行列式的数值计算方法行列式的数值计算方法 例例: 行列式的数值计算方法行列式的数值计算方法 第一列找好非
19、零元第一列找好非零元, 交换两行要变号交换两行要变号 第一行不动第一行不动, 第二列找非零元第二列找非零元 一旦找不到非零元一旦找不到非零元, 行列式值为零行列式值为零 如果第二列有非零元如果第二列有非零元 第二行不动第二行不动, 第三列找非零元第三列找非零元 一旦找不到非零元一旦找不到非零元, 行列式值为零行列式值为零如果第三列有非零元如果第三列有非零元Case 1: 在某一步找不到非零元在某一步找不到非零元, 行列式值为零行列式值为零nCase 2: 反复交换两行反复交换两行, 一行加另一行倍数一行加另一行倍数, 行列式化为上三角型行列式化为上三角型, 且对角线上的且对角线上的 元素非零元
20、素非零 原行列式原行列式 = 对角线元素的乘积对角线元素的乘积 行列式的数值计算方法行列式的数值计算方法 用用 Gauss 消元法计算消元法计算 n 阶行列式，阶行列式，在最坏情况下要做在最坏情况下要做 次次乘、除运算乘、除运算 例例 1. 求行列式的值求行列式的值一行加另一行倍数一行加另一行倍数, 行列式值不变行列式值不变 例例 2. 计算计算 3 阶行列式阶行列式0同学的做法更简单同学的做法更简单, 可以推广到可以推广到 n 阶阶 := 0 - 1例例 3. 计算计算 n 阶行列式阶行列式加边法加边法第一列公因子可以不提出来第一列公因子可以不提出来 - 1例例 4. 计算计算 n 阶行列式
21、阶行列式爪形行列式爪形行列式 上三角行列式上三角行列式 行列式的基本性质行列式的基本性质1. 对方阵求转置对方阵求转置, 行列式的值不变行列式的值不变2. 两行两行 (两列两列) 互换互换, 行列式反号行列式反号3. 关于一行关于一行 (一列一列) 呈线性性质呈线性性质:n 一行一行 (列列) 的公因子可以提到外面去的公因子可以提到外面去 ;n 沿一行沿一行 (列列) 可以拆成两个行列式的和可以拆成两个行列式的和 .推论推论: 一行一行 (列列) 加上另一行加上另一行 (列列) 的倍数的倍数, 行列式值不变行列式值不变.作业：作业： 2.3 1 (2) (3), 2 (2), 3 (2), 4
22、 (2) 2.4 1 (2) (4), 2, 4, 6, 9补充题补充题: 求求 B = 2,4,1,5; 3,2,6,9; 3,7,1,8 B = 2 4 1 5 3 2 6 9 3 7 1 8%求简化阶梯型 row reduced echelon form rref( B )ans = 1.0000 0 0 -0.6000 0 1.0000 0 1.2000 0 0 1.0000 1.4000 Matlab 求简化阶梯矩阵求简化阶梯矩阵Ex1. 随机产生大矩阵随机产生大矩阵, 计算其简化计算其简化阶梯矩阵阶梯矩阵, 观察解的情况观察解的情况% 随机产生一个随机产生一个 2021 矩阵矩阵,
23、 元素在元素在 0 到到 100 之间分布之间分布 A = 100 * rand(20,21);% A 减去一个元素都是减去一个元素都是 50 的的 2021 矩阵矩阵 B = A 50 * ones(20,21); rref(B) Ex2. 将图像转换成矩阵形式将图像转换成矩阵形式, 作矩阵作矩阵运算后还原成图像运算后还原成图像% 将照片将照片image.jpg (jpeg, bmp格式格式) 拖入拖入 workspace, 点击点击% 改名为改名为 f1% unit8 格式改成格式改成 double 才能做算术才能做算术 X1 = im2double(f1); % 或直接输入或直接输入 X
24、1 = double(imread( images.jpg );%对对矩阵作转置矩阵作转置 Y1=X1;%显示转置后的矩阵显示转置后的矩阵 imshow(Y1)例例:F35.jpg将图像转换成矩阵形式将图像转换成矩阵形式% 将照片将照片 F35.jpg ( jpeg, bmp格式格式.) 拖入拖入 Matlab 的的% Workspace 区域区域, 直接点击直接点击 Workspace 区域的区域的 % F35.jpg 文件名文件名, 按弹出窗口提示输入按弹出窗口提示输入% 或在或在 Command Window 输入输入 F35 = imread( F35.jpg );% 将将unit8
25、格式改成格式改成 double 才好做算术运算才好做算术运算 X = im2double( F35 ); % 注意命令结尾加分号注意命令结尾加分号 将图像转换成矩阵形式将图像转换成矩阵形式 whos Name Size Bytes Class F35 444x640x3 852480 uint8 array X 444x640x3 6819840 double array% 选红色灰度矩阵做运算选红色灰度矩阵做运算 X1=X( : , : , 1 ); imshow(X1)裁取第裁取第111至至222行行, 第第320至至480列的子阵列的子阵 XX = X1(111:222, 320:480
26、) ; imshow(XX)对对矩阵作转置矩阵作转置, 观察图像的变化观察图像的变化 imshow(X1)对对矩阵加白噪音矩阵加白噪音 E = rand(444,640) - 0.5*ones(444,640); imshow( X1 + 0.3*E )第二章第二章 方阵的行列式方阵的行列式 1 排列的奇偶性排列的奇偶性 2 行列式的定义行列式的定义 3 行列式的性质行列式的性质 4 行列式按一行行列式按一行 (一列一列) 展开展开 5 克莱姆克莱姆 (Cramer) 法则法则 6 行列式按行列式按 k 行行 ( k 列列) 展开展开参考材料：课本参考材料：课本 第二章第二章 余子式余子式,
27、代数余子式的概念代数余子式的概念 ( i , j ) 元的余子式元的余子式 M i j (2, 3) 元的余子式元的余子式 M23 (2, 3) 元的代数余子式元的代数余子式 A23 在在 n 阶行列式中阶行列式中, 划去第划去第 i 行行, 第第 j 列列, 余下的元素按原次序排成的余下的元素按原次序排成的 n - 1 阶阶 行列式称为行列式称为 ( i , j ) 元的余子式元的余子式, 记为记为 M i j .( i , j ) 元的元的代数代数余子式定义为余子式定义为代数余子式添加的符号：代数余子式添加的符号：注注:n行列式、余子式、代数余子式是数或公式行列式、余子式、代数余子式是数或
28、公式, 不要与矩阵的子阵搞混了不要与矩阵的子阵搞混了;n在有多个行列式的情况下，使用在有多个行列式的情况下，使用 M i j , A i j 符号时要特别指明是针对哪一个行列式；符号时要特别指明是针对哪一个行列式；n( i , j ) 元余子式、代数余子式只与第元余子式、代数余子式只与第 i 行行, 第第 j 列以外的元素有关列以外的元素有关, 与第与第 i 行行, 第第 j 列列 元素的取值、变化无关元素的取值、变化无关. ( 1, 1 ) 元的代数余子式相同：元的代数余子式相同： 行列式按一行行列式按一行(列列)展开展开定理定理: 行列式等于其第行列式等于其第 i 行诸元素与各自行诸元素与
29、各自 代数余子式的乘积之和代数余子式的乘积之和 , 即即证明证明: 先考察一种特殊情况先考察一种特殊情况 证明证明: 证明证明: 证明证明: 第第 i i 行行其中其中 i 1次次 j 1次次其中其中利用利用 A= AT, 不难得到不难得到 按一行按一行(列列)展开计算行列式展开计算行列式例例: 计算行列式计算行列式最佳方法最佳方法例例: 计算行列式计算行列式 1 - 1例例: 计算计算 n 阶行列式阶行列式 ( n 1)例例: 计算计算 n 阶行列式阶行列式 ( n 1)Dn = a Dn-1+Dn = a Dn-1 b c Dn-2范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式nn =
30、 2 时时,nn = 3 时时, - a1 - a1nn = 2 时时,nn = 3 时时, 范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式定理定理: 对对 n 1, 有有n证明证明: 对对 n 应用数学归纳法应用数学归纳法. 当当 n = 2, 3 时时, 上述公式成立上述公式成立; 假设以上公式对假设以上公式对 n - 1 阶成立阶成立, 我们来证明我们来证明 n 阶的情况阶的情况 - a1 - a1 - a1由归纳假设由归纳假设, 公式对公式对 n 1 阶行列式成立阶行列式成立由归纳假设由归纳假设, 公式对公式对 n-1 阶行列式成立阶行列式成立由数学归纳法由数学归纳法, 对一切正整
31、数对一切正整数 n, 有有 作业：作业： 2.4 8, 12(2) 2.5 3, 7 2.6 3, 4(2)例：求例：求定理定理: 行列式等于它第行列式等于它第 i 行元素与各自行元素与各自 代数余子式的乘积之和代数余子式的乘积之和 , 即即 一行一行元素与元素与另一行另一行元素元素 代数余子式的乘积之和代数余子式的乘积之和定理定理: 行列式第行列式第 i 行元素与第行元素与第 k 行行 ( k i ) 代数余子式乘积之和等于零代数余子式乘积之和等于零, 即即例例: 求求例例: 求求第二章第二章 方阵的行列式方阵的行列式 1 排列的奇偶性排列的奇偶性 2 行列式的定义行列式的定义 3 行列式的
32、性质行列式的性质 4 行列式按一行行列式按一行 (一列一列) 展开展开 5 克莱姆克莱姆 (Cramer) 法则法则 6 行列式按行列式按 k 行行 ( k 列列) 展开展开参考材料：课本参考材料：课本 第二章第二章 克莱姆法则克莱姆法则 (Cramers Rule) n 方程方程 n 变元的线性方程组变元的线性方程组系数矩阵系数矩阵 A 是是 n 阶阶方阵方阵 定理定理 : 设线性方程组的设线性方程组的系数矩阵系数矩阵 A 是是 n 阶方阵阶方阵. 1) 若若 | A | = 0, 方程组无解或有无穷多解方程组无解或有无穷多解; 2) 若若 | A | 0, 方程组有唯一解：方程组有唯一解：
33、这里这里证证: 1) 首先设首先设 | A | 0 , 对增广矩阵作对增广矩阵作 初等行变换初等行变换增广矩阵增广矩阵 阶梯型矩阵阶梯型矩阵由于由于 | A | 0 , 第一列里必有非零元第一列里必有非零元 , 将其交换到第一行将其交换到第一行 行列式改号行列式改号消元消元, 行列式的值不变行列式的值不变选好非零元交换到第二行选好非零元交换到第二行由于由于 | A | 0 , 这里必有非零元这里必有非零元 再消元再消元当当 | A | 0 , 每一步都能找到非零元每一步都能找到非零元,系数矩阵化为上三角阵系数矩阵化为上三角阵原方程组有唯一解原方程组有唯一解若若 | A | = 0 , 必在某一
34、步找不到非零元必在某一步找不到非零元此时此时 , 方程组无解或无穷多解方程组无解或无穷多解自由变量自由变量克莱姆法则克莱姆法则 ( Cramers Rule )综合以上两种情况，可以推出综合以上两种情况，可以推出 1) 若若 | A | = 0, 则方程组无解或有无穷多解则方程组无解或有无穷多解; 若若 | A | 0, 则方程组有唯一解则方程组有唯一解 . 2) 最后验证当最后验证当 | A | 0 时时, 唯一解是唯一解是设设 | A | 0 时时, 方程组方程组的的(唯一唯一)解为解为 x1 , x2 , , xn . 先来算一下先来算一下先来算一下先来算一下于是于是 类似地类似地, 有
35、有定理定理 (克莱姆法则克莱姆法则 Cramers Rule ) :设设 A 是是 n 方程方程 n 变元线性方程组的变元线性方程组的系数矩阵系数矩阵. 1) 若若 | A | = 0, 方程组无解或有无穷多解方程组无解或有无穷多解; 2) 若若 | A | 0, 方程组有唯一解：方程组有唯一解： 例例: 以下方程组何时有唯一解以下方程组何时有唯一解, 唯一解是什么唯一解是什么?解：系数矩阵的行列式为解：系数矩阵的行列式为 例例: 试用克莱姆法判定以下方程组试用克莱姆法判定以下方程组 解集合解集合无穷多解无穷多解无解无解 或或第二章第二章 方阵的行列式方阵的行列式 1 排列的奇偶性排列的奇偶性
36、 2 行列式的定义行列式的定义 3 行列式的性质行列式的性质 4 行列式按一行行列式按一行 (一列一列) 展开展开 5 克莱姆法则克莱姆法则 6 行列式按行列式按 k 行行 ( k 列列) 展开展开参考材料：课本参考材料：课本 第二章第二章例例:例例:例例: k 阶子式与余子式阶子式与余子式 在行列式中取定在行列式中取定 k 行行, k 列列, 位于这些位于这些行和列交叉点上的行和列交叉点上的 kk 个个元素按原元素按原次序排成的次序排成的 k 阶行列式阶行列式 称为原行列式称为原行列式的的 k 阶子式阶子式.例如例如,取定第取定第 行行, 第第 列列该该 k 阶子式记为阶子式记为划去划去 k
37、 阶子式所在的阶子式所在的 k 行行, k 列列, 余下的元素按原次序排成的余下的元素按原次序排成的 n - k 阶阶 行列式行列式 称为该称为该 k 阶子式的阶子式的余子式余子式. 余子式前添加符号余子式前添加符号得到子式得到子式 的的代数余子式代数余子式. 1 阶子式的阶子式的 ( 代数代数 ) 余子式余子式 定义与以前一致定义与以前一致 行列式按行列式按 k 行行 ( k 列列) 展开展开定理定理 ( Laplace ): 行列式等于其行列式等于其 k 行行 (列列) 元素排成的元素排成的 全体全体 k 阶子式阶子式与各自的与各自的代数余子式代数余子式 的乘积之和的乘积之和.常用的结果常
38、用的结果:例例 1.例例 1.例例 2.例例 3. 例例: 求第求第 1, 2 行的全体子式与第行的全体子式与第 2, 3 行行 代数余子式对应乘积的和代数余子式对应乘积的和 例例: 求第求第 1, 2 行的全体子式与第行的全体子式与第 2, 3 行行 代数余子式对应乘积的和代数余子式对应乘积的和 行列式在几何空间的应用行列式在几何空间的应用 例例: 坐标平面上以坐标平面上以 ( x i , y i ) ( i=1, 2, 3 ) 为为 顶点的三角形面积为顶点的三角形面积为例例: 若坐标平面上三条直线若坐标平面上三条直线 L1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 L2 : a2 x
39、+ b2 y + c2 = 0 L3 : a3 x + b3 y + c3 = 0 共点共点, 则有则有例例: 设设 A, B 是三维几何空间中坐标为是三维几何空间中坐标为 ( a1 , a2 , a3 ) , ( b1 , b2 , b3 ) 的两个点的两个点. 求三角形求三角形 OAB 的面积的面积 ( O为原点为原点 ).提示提示: 构造与构造与 OA, OB 垂直的向量垂直的向量. 在三维几何空间中在三维几何空间中, 两个向量两个向量 = a1 a2 a3 T , = b1 b2 b3 T 的外积是一个新向量的外积是一个新向量 = 其长度等于其长度等于 , 张成的平行四边形的面积张成的
40、平行四边形的面积, 方向与方向与 , 垂直垂直, 且且 , , 呈右呈右(左左) 手系当且仅当坐标轴取右手系当且仅当坐标轴取右(左左)手系手系.例例:设设 ABCD-ABCD是单位立方体是单位立方体, M 是边是边DD 的中点的中点. 利用利用外积外积的几何意义求的几何意义求:1) 平面平面 ABM 与与 平面平面 ABCD 的二面角的二面角; 2) C 点到平面点到平面 ABM 的距离的距离;3) 求异面直线求异面直线 AD 与与 BM 的距离的距离.补充题补充题:1) 证明证明: 若三角形的三边依次被分割成若三角形的三边依次被分割成 : : : 其中其中 , , 均为正实数均为正实数, 则
41、此三角形的则此三角形的 顶点与对边分点的连线交于一点顶点与对边分点的连线交于一点.2) 证明证明: 直线直线 L1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 与与直线直线 L2 A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0 A4 x + B4 y + C4 z + D4 = 0 异面当且仅当异面当且仅当第一章第一章 线性方程组线性方程组 1 向量的加法、数乘及其几何直观向量的加法、数乘及其几何直观 2 矩阵简介矩阵简介 3 线性方程组的等解变换线性方程组的等解变换 4 Gauss 消元法消元法 5 线性方程组解的判
42、定与表示线性方程组解的判定与表示 线性方程组的等解变换线性方程组的等解变换 定理定理 1：对线性方程组实施以下三种变换，对线性方程组实施以下三种变换， 方程组的解集合不变：方程组的解集合不变： 1）交换两个方程的位置；）交换两个方程的位置； 2）一个方程加上另一个方程的任意倍数；）一个方程加上另一个方程的任意倍数； 3）用）用非零非零的数乘某一方程。的数乘某一方程。从左至右系统地运用从左至右系统地运用 1) , 2) 型等解变换型等解变换, 可以把方程组化为可以把方程组化为阶梯型阶梯型 x1 x2 3x3 3x4 1 x3 x4 2 x4 1 0 0阶梯型阶梯型方程组方程组主元出现在常数列中，
43、无解主元出现在常数列中，无解! x1 x2 x3 2x4 1 2x3 2x4 0 0 1 0 0 简化阶梯型简化阶梯型方程组方程组 x1 5x3 1 x2 2x3 1 x4 1 0 0自由变量项移到等号右边（等解变换）自由变量项移到等号右边（等解变换）,得到一般解的公式得到一般解的公式 x1 1 5x3 x2 1 2x3 x4 1 0 0注：注：x3 为自由变量为自由变量, 可以取任意值；一旦可以取任意值；一旦 x3的值取定的值取定, 主变量的值跟着被各等式确定；主变量的值跟着被各等式确定；有无穷多解有无穷多解.解的向量表示解的向量表示 x1 1 5x3 x2 1 2x3 x4 1注：注：x3
44、 为自由变量为自由变量 x1 1 5x3 x2 1 2x3 x4 1 线性方程组解的判定定理线性方程组解的判定定理定理定理 2：对于阶梯型方程组，我们有：对于阶梯型方程组，我们有 常数列有主元常数列有主元 方程组无解；方程组无解； （01型型） 无自由变量无自由变量 唯一解唯一解 常数列无主元常数列无主元 有自由变量有自由变量 无穷多解无穷多解 扁平形扁平形齐次方程组有无穷多解齐次方程组有无穷多解推论：当推论：当 变元个数变元个数 方程个数方程个数 时，齐次时，齐次 线性方程组一定有无穷多解。线性方程组一定有无穷多解。 第二章第二章 方阵的行列式方阵的行列式 1 排列的奇偶性排列的奇偶性 2
45、行列式的定义行列式的定义 3 行列式的性质行列式的性质 4 行列式按一行行列式按一行 (一列一列) 展开展开 5 克莱姆克莱姆 (Cramer) 法则法则 6 行列式按行列式按 k 行行 ( k 列列) 展开展开参考材料：课本参考材料：课本 第二章第二章 n 阶矩阵的行列式公式阶矩阵的行列式公式 行列式的基本性质行列式的基本性质1. 行列互换行列互换, 行列式的值不变行列式的值不变;2. 两行两行 (两列两列) 互换互换, 行列式反号行列式反号; 3. 关于一行关于一行 (一列一列) 呈线性性质呈线性性质:n 一行一行 (列列) 的公因子可以提到外面去的公因子可以提到外面去.n 沿一行沿一行
46、(列列) 可以拆成两个行列式的和可以拆成两个行列式的和.推论推论: 一行一行 (列列) 加上另一行加上另一行 (列列) 的倍数的倍数, 行列式值不变行列式值不变.定理定理 ( Laplace ): 行列式等于其行列式等于其 k 行行 (列列) 元素排成的元素排成的 全体全体 k 阶子式与各自的代数余子式阶子式与各自的代数余子式 乘积之和乘积之和. 范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式定理定理: 对对 n 1, 有有定理定理 (克莱姆法则克莱姆法则 Cramers Rule ) :设设 A 是是 n 方程方程 n 变元线性方程组的变元线性方程组的系数矩阵系数矩阵. 1) 若若 | A | = 0, 方程组无解或有无穷多解方程组无解或有无穷多解; 2) 若若 | A | 0, 方程组有唯一解：方程组有唯一解： 行列式的刻画行列式的刻画: 设设 Mn(K) 是数域是数域 K 上全体上全体 n 阶方阵构成阶方阵构成的集合的集合, f 是是 Mn(K) 到到 K 的映射的映射, 满足满足n 矩阵矩阵 M 的两列互换的两列互换, f 反号反号;n f 关于关于 M 的任一列呈线性性质的任一列呈线性性质;n f ( In ) = 1 .则对任意则对任意 M Mn(K) , 有有 f ( M ) = | M | . See you next time
