《3.3.2利用导数研究函数的极值与最值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.3.2利用导数研究函数的极值与最值（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3.2；利用导数求；利用导数求函数的极值与最值函数的极值与最值高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0,那么函数那么函数y=f(x) 在在为这个区间内为这个区间内 的的增函数增函数;如果在这个区间如果在这个区间内内f/（x）0 得得f(x)的单调的单调递增递增区间区间; 解不等式解不等式 f/（x）0 (x+4)(x-2)0 x2f(x)在在(-4，2)内单调递减。内单调递减。f (x)0 (x+4)(x-2)0 -4x0单调递减单调递减f(x)0f (-4)0(1)当当x=-4时函数的函数
2、值最大，时函数的函数值最大，f(x)在此点的导数是多少呢？在此点的导数是多少呢？(2)当当x-4时时f(x)的单调性是怎样的呢？的单调性是怎样的呢？将最高点附近放大将最高点附近放大x=-4x-4axfo最高点最高点导数的符号有什么变化规律？导数的符号有什么变化规律？在x=-4附近，f(x)先增后减，先增后减，f (x)先正后负，先正后负，f(x)连续变化，于是有连续变化，于是有f (-4)=0f(-4)最大。最大。对于一般函数是否也有同样的性质吗？对于一般函数是否也有同样的性质吗？o oa aX X1 1X X2 2X X3 3X X4 4b bax xy y 如如图图，函函数数 y=f（x）
3、在在x1，x2，x3，x4等等点点的的 函函数数值值与与这这些些点点附附近近的的函函数数值值有有什什么么关关系系？ Y=f（x）在这些点的导数值是多少？在这些点附在这些点的导数值是多少？在这些点附近，近，y=f（x）的导数的符号有什么规律？的导数的符号有什么规律？2.探索思考：探索思考： 从而我们得出从而我们得出结论结论: 若若x0满足满足 f/(x)=0,且在且在x0的两侧的导数异号的两侧的导数异号,则则x0是是f(x)的极值点的极值点,f(x0)是极值是极值,并且如果并且如果 f/(x) 在在x0两侧满足两侧满足“左正右负左正右负”,则则x0是是f(x)的的极大值点极大值点,f(x0)是极
4、大值是极大值;如果如果 f/(x) 在在x0两侧满足两侧满足“左负右正左负右正”,则则x0是是f(x)的极小的极小值点值点,f(x0)是是极小值极小值.极大值与极小值统极大值与极小值统称为称为极值极值. 从从曲线的切线角度曲线的切线角度看看,曲线在极值点处曲线在极值点处切线的斜率为切线的斜率为0,并且并且,曲线在极大值点左侧曲线在极大值点左侧切线的斜率为正切线的斜率为正,右侧为负右侧为负;曲线在极小值点曲线在极小值点左侧切线的斜率为负左侧切线的斜率为负,右侧为正右侧为正.学案上题学案上题探究探究3.(1) 如图，如图，y=f(x)在在a、b等点的函等点的函数值与这些点附近的函数值有什么数值与这
5、些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？关系？导数值呢？导数符号呢？c a b f o g h I j xy一、复习导入一、复习导入-导入新课导入新课3.(2) 如图，如图，y=f(x)在在a、b点的函数值点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？导数值呢？导数符号呢？探究探究xyoaby-=f(x)xyoaby-=f(x)000极小值点极小值点极大点极大点f (a)=0f (b)=0abxyO 一般地一般地, 设函设函数数 f (x) 在点在点x0附附近有定义近有定义, 如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点, 都有都有我
6、们就说我们就说 f (x0)是是 f (x)的一个的一个极大值极大值, 点点x0叫做函数叫做函数 y = f (x)的的极大值点极大值点. 反之反之, 若若 , 则称则称 f (x0) 是是 f (x) 的一个的一个极小值极小值, 点点x0叫做函数叫做函数 y = f (x)的的极小值点极小值点. 极小值点、极大值点统称为极小值点、极大值点统称为极值点极值点, , 极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值. .一、极值一、极值 yxO探究：极值点处导数值探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？即切线斜率）有何特点？结论结论:极值点处，如果有切线，切线水平的极值点处，如果有切线，切线
7、水平的.即即: f (x)=0aby f(x)x1 x2x3f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0 思考思考;若若 f (x0)=0，则，则x0是否为极值点？是否为极值点？x yO分析yx3v若若寻寻找找可可导导函函数数极极值值点点,可可否否只只由由f (x)=0 0求求得得即即可可? ?思考思考探索探索: x =0是否为函数是否为函数f(x)=x3的极值点的极值点?x yOf (x) x3f (x)=3x2当f (x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.f (x0) =0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0
8、是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f (x0) =0=0注意：注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?极大值极大值极小值极小值即即: 极值点两侧极值点两侧单调性单调性互异互异练习练习1 下图是导函数下图是导函数 的图象的图象, 试找出函数试找出函数 的极值点的极值点, 并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6因为因为 所以所以例例1 求函数求函数 的极值的极值.解解:令令 解得解得 或或当当 , 即即 , 或或 ;当当 , 即即 .当
9、当 x 变化时变化时, f (x) 的变化情况如下表的变化情况如下表:x(, 2)2(2, 2)2( 2, +)00f (x) +单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 28 / 3 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 4 / 3 .例题4图像-2oxy2+-+28/3-4/3f(x)=1/3 x3-4x+4例例2xX1+0-0+所以，当所以，当x=-1是，函数的极大值是是，函数的极大值是-2，当，当x=1时，函数的时，函数的极小值是极小值是2导函数的正负是交替出现的吗？不是不是极大极大值极小极小值求
10、函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况 若若f (x)左正右左正右负，则f(x)为极大极大值； 若若 f (x)左左负右正，右正，则f(x)为极小极小值+-x0-+x0求导求导求极点求极点列表列表求极值求
11、极值 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？与函数极值关系如何？二、最值二、最值 极值是一个极值是一个局部局部概念，极值只是某个点的函概念，极值只是某个点的函数值与它数值与它附近点附近点的函数值比较是最大或最小的函数值比较是最大或最小,
12、 ,并并不意味不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。着它在函数的整个的定义域内最大或最小。知识回顾知识回顾 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数如果存在实数M满足：满足： 1最大值最大值: : （1）对于任意的）对于任意的xI，都有都有f(x)M; （2）存在存在x0I，使得使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 2最小值最小值: 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实，如果存在实数数M满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存
13、在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6在开区间内在开区间内的连续函数的连续函数不一定有最不一定有最大值与最小大值与最小值值. 在闭区间在闭区间上的连续函上的连续函数必有最大数必有最大值与最小值值与最小值因此：该函数没因此：该函数没有最值。有最值。f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函数在如何求出函数在a,b上的最值上的最值？一般的如
14、果在区间，一般的如果在区间，a,b上函数上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。必有最大值和最小值。 教材教材p98p98练习练习A1A1 观察右边一个定义在观察右边一个定义在区间区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象：的图象：发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极大是极大值，在区间上的函数的最大值是值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出样才能判断出f(x
15、3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y yy=f(x) (2) 将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)(端点处端点处) 比较比较,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值一个最小值. 求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1) 求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)； 新授课新授课注意注意:1.在定义域内在定义域内, 最值唯一最值唯一;极值不唯一极值不唯一2.最大值一定比最小值大最大值一定比最
16、小值大.求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论是在整体范围内讨论问题问题,是一个整体性的概念是一个整体性的概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,b)内内的可导函数不一定有最值的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值但若有唯一的极值,则此极值必则此极值必是函数的最值是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个函数在其定义
17、域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值也可能没有极值,并且极大并且极大值值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值).例例3:求函数求函数y=x4-2x2+5在区间在区间-2,2上的最大上的最大值与最小值值与最小值.解解:令令 ,解得解得x=-1,0,1.当当x变化时变化时, 的变化情况如下表的变化情况如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1 (1,2)2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13从上表可知从上表可知,最大值是最大值是13,最小值是最小值是4.题型：求函数的最大值和最
18、小值题型：求函数的最大值和最小值函函数数的的性性质质单单调调性性单调性的判别法单调性的判别法单调区间的求法单调区间的求法函函数数极极值值函数极值的定义函数极值的定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值极值点点.函数极值的求法函数极值的求法必要条件必要条件求极值的步骤求极值的步骤:1.求导，求导，2.求极点，求极点，3.列表，列表，4.求极值求极值f (x)0单调弟增单调弟增f (x)0单调递减单调递减1.求导，求导，2.求临界点求临界点3. 列表，列表，4.单调性单调性小小结练习练习1求下列函数的极值求下列函数的极值:解
19、解: 令令 解得解得 列表列表:x0f (x)+单调递增单调递增单调递减单调递减 所以所以, 当当 时时, f (x)有极小有极小值值练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:解解: 解得解得 列表列表:x(, 3)3(3, 3)3( 3, +)00f (x) +单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以, 当当 x = 3 时时, f (x)有极大值有极大值 54 ;当当 x = 3 时时, f (x)有极小值有极小值 54 .练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:解解: 解得解得 所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 10 ;当当 x =
20、2 时时, f (x)有极大值有极大值 22 .解得解得 所以所以, 当当 x = 1 时时, f (x)有极小值有极小值 2 ;当当 x = 1 时时, f (x)有极大值有极大值 2 .练习练习3：函数函数 y = x + 3 x9x在在 4 , 4 上的最上的最大值为大值为 ,最小值为最小值为 .分析分析: (1) 由由 f (x)=3x +6x9=0,(2) 区间区间4 , 4 端点处的函数值为端点处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76得得x1=3，x2=1 函数值为函数值为f (3)=27, f (1)=576-5当当x变化时，变化时，y 、 y的变化情况如下表：的
21、变化情况如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y+0-0+0y2027-576比比较以上各函数以上各函数值，可知函数在可知函数在4 , 4 上的最上的最大值为大值为 f (4) =76，最小值为，最小值为 f (1)=51理解极理解极值概念概念时需注意的几点需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点(3)若f(x)在a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值总结总结 (4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1)(5)若函数f(x)在a，b上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点2导数数为0的点不一定是极的点不一定是极值点点
