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1、随机变量及其概率分布第二章随机变量的概念随机变量的概念随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性随机变量的概率分布随机变量的概率分布二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编 第二章 随机变量的概念第一节一、试验结果的数量化一、试验结果的数量化二、随机变量的概念二、随机变量的概念NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录
2、第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编有些随机试验的结果是一个数值有些随机试验的结果是一个数值. .有些试验的结果不是数值有些试验的结果不是数值, ,例如:可以用1表示正面,综上所述,可以引入一个变量来表示随机试验的结果.掷骰子试验、产品的次品率检验等.但可转化为数值表示但可转化为数值表示. .掷硬币试验,0表示反面.所有随机试验的结果均可用数值表示所有随机试验的结果均可用数值表示, ,因此,一、试验结果的数量化一、试验结果的数量化 例如:NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二
3、章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编就可以用微积分的理论对随机现象的规律性进行研究.它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;引入随机变量是为了将随机试验数量化,注注: :样本空间样本空间实数实数这样机变量机变量.设试验E的样本空间为 ,均有一个实数 与之对应,到一个定义在 上的单值函数,定义：定义：若对于每个样本点 ,这样就得称X为随随二、随机变量的概念二、随机变量的概念 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数,NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其
4、概率分布概率统计电子教案 薛震 编若用X表示掷一枚骰子的试验中出现的点数,表示掷出点数小于5这一事件,表示掷出的点数为3点这一事件.例如例如: :则NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编 第二章 随机变量的概率分布第二节一、随机变量的分布函数一、随机变量的分布函数二、二、随机变量的分类随机变量的分类三、三、离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列四、四、连续型随机变量的密度函数连续型随机变量的密度函数NORTH UNIVERSITY OF CHI
5、NA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编设X为一随机变量,一、随机变量的分布函数一、随机变量的分布函数 称函数F(x)=PXx为X的分布函数.注注: : F(x)是一普通函数,的值为事件的概率;可以完全地描述随机变量取值的规律性.例如:1. .定义定义: :x为任意实数,其定义域为 ;NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编2.性质性质:(2)规范性: (
6、3)右连续性:有随机变量的分布函数.(1)单调非降性: 若 ,则 ;注注: : 对任一满足上述三个性质的函数,都可以作为某NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编例例1. 判断下列函数是否为分布函数:( (不满足规范性不满足规范性) )不是不是是是( (不满足单调非降性不满足单调非降性) )不是不是NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分
7、布概率统计电子教案 薛震 编设随机变量X的分布函数为求A和B的值.解得.例例2. .解解: : 由规范性知NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编例例3. . 设某随机变量的分布函数为求A及解解: : 利用右连续性知即NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编3.计算计算:设则有NORTH UNIVERSITY
8、OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编例例4.求设解解:NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编二、随机变量的分类二、随机变量的分类离散型随机变量离散型随机变量: : 取值为有限个或可列个.例如:一批产品中的次品数.连续型随机变量连续型随机变量: :取值为某一区间上的值.例如:零件尺寸与规定尺寸的偏差.NORTH UNIVERSITY OF
9、CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编三、离散型随机变量及其分布列三、离散型随机变量及其分布列事件 的概率称为X的分布列(律),设 为离散型随机变量X的所有可常写成表格形式:1. .定义定义: :能取值,2. .分布列的性质分布列的性质: :(1)非负性:(2)规范性:随机变量的分布列.注注: :都可作为某离散型任一满足以上两条性质的数列,NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概
10、率分布概率统计电子教案 薛震 编例例5.球的最大号X的分布列和分布函数.解解: :345所以X的分布列为:从中任取3个球,求取出袋中有编号为1-5的5个球,X的可能取值为3,4,5,NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编则则X的分布函数为的分布函数为: :34514/101/10NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案
11、 薛震 编X 0 1 2P 0.4 0.1 0.5解解: :例例6.注注: 分布列分布函数求X的分布列.已知X的分布函数如下,NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编四、连续型随机变量及概率密度函数四、连续型随机变量及概率密度函数若存在一个非负可积的函数有使分布密度函数.连续型随机变量的分布函数是连续函数.1. .定义定义: :设则称X为连续型随机变量,称为X的概率密度函数或注注: :2. .几何意义几何意义: :NORTH UNIVERSITY OF
12、 CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编3. .概率密度函数的性质概率密度函数的性质: :（1）非负性:（2）规范性:任一满足以上两条性质的函数,随机变量的概率密度函数.注注: :都可以作为某连续型（3）若f (x)在x处连续,（4）则NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编证明:是连续的从而,注注: :a为任意常数,设X为一连续型随机变量,则有概
13、率为概率为0 0的事件未必的事件未必是不可能事件！是不可能事件！NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编例例7. 设某连续型随机变量X的概率密度函数为求k的值,及分布函数解解: : 利用规范性得即NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编注注:概率密度函数分布函数NORTH UNIVERSITY OF CHINA
14、上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编 第二章 随机变量函数的分布第三节一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、二、连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布-10120.20.30.10.4例例1. .设离散型随机变量X的分布律为:的分
15、布列为:则1250.30.40.3NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编解解:先求Y分布函数因此二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布引例引例. .设连续型随机变量X的概率密度函数为试求的概率密度函数当 时,NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编因此将两个结果合起来可得:当 时,NORTH
16、 UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编定理定理: :的最小值,设连续型随机变量 X 的概率密度函数为又设是处处可导的单调函数,且 Y的概率密度函数为:其中是的反函数,是是的最大值.(证明略)则是连续型随机变量,NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编解解:的反函数是反函数对的导数为又由例例2. 设求的概率密度函数NOR
17、TH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编例例3. .解解:X的取值范围为(-1,1),设 X求随机变量的分布函数与概率密度函数.则Y的取值范围为1 , 2) ,当时,当时,当时,分布函数法！分布函数法！NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编Y的分布函数所以Y 的密度函数为综上知,分段点处的导分段点处的导数按定义求！
18、数按定义求！NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编 第二章 二维随机变量及其分布第四节一、二维随机变量的概念一、二维随机变量的概念二、二、二维离散型随机变量二维离散型随机变量三、三、二维连续型随机变量二维连续型随机变量NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编一、二维随机变量的概念一、二维随机变量的概念1. .
19、定义定义: 设X,Y是两个随机变量,向量(X,Y)称为二维随机变量.2.联合分布函数联合分布函数:则由它们构成的二维1) )定义定义: :设(X,Y)是二维随机变量,称二元函数为(X,Y)的联合分布函数.注注: :几何意义:(X,Y)落在以点(x,y)为顶点的左下方无穷矩形域内的概率.NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编2) )性质性质: :关于x,y具有单调非降性;关于x,y具有右连续性;均有对任意3) )边缘分布函数边缘分布函数: :NORTH
20、 UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量若(X,Y)的全部可能取值只有有限多对或可列多对,为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列联合分布列.2. .性质性质: :1.定义定义:则称(X,Y)是二维离散型随机变量, 而称(2)(1)3. .边缘分布列边缘分布列: :NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率
21、分布概率统计电子教案 薛震 编例例1. 设X在1,2,3,4中等可能取一值,Y在1X中等可能取求(X,Y)的联合分布列及X,Y的边缘分布列.解解:一整数值,NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量的联合概率密度函数.1.1.定义定义:设使有若存在一个非负可积的函数则称(X,Y)为二维连续型随机变量，称为(X,Y)NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目
22、 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编2.的性质的性质:(1)非负性:(2)规范性:(3)若f(x,y)在点(x,y)连续, 则(4)3. .边缘密度函数边缘密度函数: :由求导得同理可得求和求和NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编解解: :常数C,例例2. . 设(X,Y)的联合概率密度函数为求:围成.D由由规范性所以NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回
23、回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编同理:NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编 第二章 随机变量的相互独立性第五节一、随机变量的相互独立性一、随机变量的相互独立性二、二、两个随机变量函数的分布两个随机变
24、量函数的分布三、三、条件分布条件分布NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编一、随机变量的相互独立性一、随机变量的相互独立性若特别地,对离散型随机变量:X与Y相互独立对连续型随机变量:X与Y相互独立1. .定义定义: : 设(X,Y)是二维随机变量,有则称X与Y相互独立.即NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震
25、编例例1. .所以X与Y相互独立.因为NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编a,b满足的条件;设例例2. .12311/8a1/242b1/41/8若X与Y独立,求a,b的值.求:解解: :由分布列的非负性和规范性知X与Y独立,从而有NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编注注: : 独立性的概念可推广到n个
26、随机变量的情形,则随机变量的函数也是相互独立的;随机变量的相互独立性是事件独立性的扩充,常可由试验的独立性来判定随机变量的独立性.是相互独立的随机变量,且若NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编二、两个随机变量的函数的分布二、两个随机变量的函数的分布求:1) 离散型离散型设X,Y的分布列均为(X,Y)的联合分布列;的分布列;1. Z=X+Y 的分布的分布例例3. .且X与Y相互独立,NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页
27、下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编则(X,Y)分布列为解解: X与Y独立,X Y-11-11的分布列为Z-202pNORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编解解: :2) 连续型连续型引例引例. .设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为求Z=X+Y的概率密度函数两边对z求导得由对称性得交换积分顺序NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下
28、一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编特别地,当X与Y相互独立时,有这两个积分即是函数与的卷积卷积.Z=X+Y NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编例例4. .已知X与Y相互独立,它们概率密度函数分别为求Z=2X+Y的概率密度函数.解法解法1:1:(卷积公式)NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章
29、 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编则NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编解法解法2:2:(分布函数法)要使被积函数非零,应满足从而可得NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编2.及及的分布的分布设且X与Y相互独立,则NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上
30、一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编例例5. . 设求解解: : 加法公式！加法公式！NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编三、条件分布三、条件分布1. 离散型随机变量的条件分布列离散型随机变量的条件分布列定义定义: :设(X,Y)是二维离散型随机变量,对固定的 j ,若则称为在给定条件下随机变量X的条件分布列.下Y的条件分布列.类似可定义在给定条件注注: :当
31、X与Y相互独立时, 按照定义有NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编2. 连续型随机变量的条件密度函数连续型随机变量的条件密度函数定义定义: :设(X,Y)f(x,y),若其边缘密度则称为在给定条件下X的条件分布函数,而称下X的条件概率为在条件注注: :记为( (推导过程略推导过程略) )密度函数.NORTH UNIVERSITY OF CHINA上一页上一页下一页下一页返返 回回结结 束束目目 录录第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布概率统计电子教案 薛震 编内容小结内容小结1.随机变量的概念；2.分布函数的概念与性质；3.离散型随机变量的分布列及函数的分布；4.连续型随机变量的密度函数及函数的分布；5.二维离散型随机变量的联合、边缘分布列；6.二维连续型随机变量的联合、边缘密度函数；7.随机变量的相互独立性；8.两个随机变量函数的分布及条件分布.
