罗尔中值定理及其应用

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1、定理定理3.2 (罗尔定理罗尔定理) (1) 在在闭区间闭区间a, b上连续上连续;(2) 在开区间在开区间(a, b)内可导内可导;(3)使得使得3.2 罗尔中值定理及其应用罗尔中值定理及其应用证证若函数若函数 f (x) 满足满足:必有最大值必有最大值M和最小值和最小值m.由由费尔马引理费尔马引理 推论推论: 可微函数可微函数 的任意两个零点之间至少有的任意两个零点之间至少有 的一个零点的一个零点(1) (1) 定理条件不全具备定理条件不全具备, , 结论不一定成立结论不一定成立. . 罗尔罗尔定理定理(1)(1)(2)(2)(3)(3)使得使得(1),(2)(1),(2)满足满足(3)不

2、满足不满足结论不成立结论不成立. . (1),(3)(1),(3)满足满足(2)不满足不满足结论不成立结论不成立. . (1),(2)(1),(2)满足满足(3)不满足不满足结论成立结论成立. . 注：注：例例1 1. .解解: :所以满足罗尔定理条件所以满足罗尔定理条件. .(1)(1)验证定理的假设条件满足验证定理的假设条件满足(2)(2) 结论正确结论正确有实根有实根例例2 设常数设常数 满足满足:试证方程试证方程分析：分析：注意到注意到在在(0, 1)内内至少至少存在一个实根存在一个实根.证证 设设且且 由由罗尔定理罗尔定理即即在在(0, 1)内可导内可导,例例3 3. .证证: :

3、由零点定理由零点定理即方程有小于即方程有小于1 1的正实根的正实根. .(1)(1)存在性存在性(2)(2)唯一性唯一性例例3 3. .证证: :(2)(2)唯一性唯一性矛盾矛盾, , 故假设不真！故假设不真！在在0, 1上二阶可导上二阶可导, 且且则在则在 内至少存在一点内至少存在一点例例4 若若证证使得使得使得使得上使用上使用罗尔定理罗尔定理,使得使得使用使用罗尔定理罗尔定理,两种常用的构造辅助函数的方法：两种常用的构造辅助函数的方法： 1. 常数常数k 法构造函数法构造函数 基本思路是令待证等式中的常数为基本思路是令待证等式中的常数为k， 通过通过恒等变形将含有的式子写成恒等变形将含有的

4、式子写成 的形式，的形式， 然后用罗尔定理然后用罗尔定理则则 就是需要的辅助函数就是需要的辅助函数,进行证明进行证明.例例5 设设分析分析证证令令罗尔定理罗尔定理,整理得整理得使得使得故故即即2. 通过对待证等式的恒等变形寻找辅助函数通过对待证等式的恒等变形寻找辅助函数 然后再观察所得函数是哪个函数的导数，这个函数然后再观察所得函数是哪个函数的导数，这个函数就是我们需要的辅助函数就是我们需要的辅助函数. 因为等式中出现的中值因为等式中出现的中值 一定是对某个函数一定是对某个函数使用中值定理得到的使用中值定理得到的, 因此因此, 可以首先把可以首先把 还原为还原为 x， 如果待证等式出现如果待证等式出现 的形式，的形式， 则可以考虑形如则可以考虑形如 的辅助函数的辅助函数.问题转化为证问题转化为证设辅助函数设辅助函数在在0, 1上用上用罗尔定理罗尔定理,使得使得即有即有例例6 设设证证分析分析: