第第4 4章章 特征值问题和二次型特征值问题和二次型 矩阵特征值理论在许多实际问题矩阵特征值理论在许多实际问题的解决中起着重要作用的解决中起着重要作用. .本章着重介绍了本章着重介绍了矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，给出了矩阵与对角矩阵相似的条件，并给出了矩阵与对角矩阵相似的条件，并对实二次型的有关内容进行了讨论对实二次型的有关内容进行了讨论. . 第第4章章 目录目录•第 4.1 节 特征值与特征向量特征值与特征向量•第 4.2 节 相似矩阵相似矩阵•第 4.3 节 二次型简介二次型简介•第 4.4 节 数学实验数学实验 第第4.1节节 特征值与特征向量特征值与特征向量•特征值与特征向量概念特征值与特征向量概念•特征值与特征向量性质特征值与特征向量性质返回返回 1.1.特征值与特征向量概念特征值与特征向量概念 (1)特征值与特征向量定义特征值与特征向量定义 设设A为为n阶方阵，若存在数阶方阵，若存在数 λ 及非零向量及非零向量x使使 Ax = λx则称数则称数 λ为为A的的特征值特征值，，x为为A的对应于的对应于λ 的的特征特征向量向量. 例如例如注：注：①①属于同一特征值的特征向量不惟一；属于同一特征值的特征向量不惟一； ②②一个特征向量不能对应于不同特征值一个特征向量不能对应于不同特征值.所以所以1为为A的一个特征值，的一个特征值，特征值特征值1的特征向量的特征向量. (2)(2)相关概念相关概念 将特征值与特征向量定义式将特征值与特征向量定义式 Ax = λx 改写为改写为 λx –Ax =0 即即 ( λE– A )x = 0称称 (3)特征值与特征向量求特征值与特征向量求法法 依据依据 ( λE– A )x = 0 知：知： 特征向量特征向量 x 为该齐次线性方程组的非零解；为该齐次线性方程组的非零解； 而齐次线性方程组有非零解的充要条件是而齐次线性方程组有非零解的充要条件是 系数矩阵的行列式系数矩阵的行列式 λE–A =0,即即A的特征值的特征值λ 为特征方程的根为特征方程的根.步骤如下步骤如下(i)求出特征方程求出特征方程 λE–A =0的全部根的全部根 λ1,λ2,…, λn,即即A的全部特征值的全部特征值；；(ii)对每个对每个λi ,求方程组求方程组( λiE–A )x = 0 的所有非零的所有非零解即为解即为A的对应的对应于特征值于特征值λi 的特征向量的特征向量.分分析析 例例1 1 求矩阵求矩阵A的特征值和特征向量的特征值和特征向量解解 (i)(ii) 例例2 2解解(i) (ii) 例例3 3 求矩阵求矩阵A的特征值和特征向量的特征值和特征向量解解 (i)(ii) 例例2与例与例3中中,重特征值所重特征值所对应的线性对应的线性无关特征向无关特征向量的个数是量的个数是不相同的不相同的. 2.特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质(1)特征值的性质特征值的性质•定理定理1 若若λ1,λ2,…, λn为方阵为方阵A的的n个特征值，则个特征值，则 (i) λ1λ2…λn = A ; (ii) λ1+λ2+…+ λn= a11+a22+…+ann=tr(A). 证证 (i)根据多项式因式分解与方程根的关系，有根据多项式因式分解与方程根的关系，有 λE–A = (λ- -λ1)(λ- -λ2)…(λ- -λn)令令λ=0，得，得 –A = (- -λ1)(- -λ2)…(- -λn)=(- -1)n λ1λ2…λn ,即即 A =λ1λ2…λn . (ii)略略. •定理定理2 若若λ为方阵为方阵A的特征值，则的特征值，则 (i) λk为为Ak(k为正整数为正整数 )的一个特征值的一个特征值; (ii) 若若f(x)为为x的多项式的多项式,则则f(λ)为为f(A)的一个特征值；的一个特征值； (iii)若若A可逆可逆,则则λ-1为为A-1的一个特征值的一个特征值; λ-1A为为A*的的一个特征值一个特征值; •定理定理3 n 阶方阵阶方阵A与与AT 有相同的特征值有相同的特征值. 证证 由于由于 (λE–A)T= (λE)T–AT= λE–AT ,所以所以 λE–A = (λE–A)T = λE–AT 即即A与与AT 有相同的特征值有相同的特征值. 定理定理2 2的证明的证明 例例4 已知已知3阶方阵阶方阵A的特征值为的特征值为1，，2，，-3.求求 (1) 2A的特征值；的特征值；(2) A –1的特征值的特征值; (3 tr(A),|A|; (4) A*的特征值的特征值; (5) A2的特征值的特征值; (6) B=A2–2A+E的特征值及的特征值及|B|.解解 由特征值的性质由特征值的性质 ，得，得 (1) 2A的特征值为的特征值为2，，4，， – 6；； (2) A–1的特征值为的特征值为1，，1/2，， –1/3; (3) tr(A)=1+2+( – 3), |A|= 1 2 (- -3)= – 6; (4) A*的特征值为的特征值为– 6，， – 3，，2; (5) A2的特征值为的特征值为1，，4，，9; (6) B=A2–2A+E的特征值为的特征值为λ2 – 2λ+1即即0，，1，，16；； |B|=0. (2)特征向量的性特征向量的性质质•定理定理4 方阵方阵A的对应于不同特征值的特征向量线的对应于不同特征值的特征向量线性无关性无关. 证证 设设λ1,λ2,…, λm为方阵为方阵A的的m个不同特征值个不同特征值, x1,x2,…, xm为相应的特征向量为相应的特征向量. 当当m=1时时,x1≠0(单个的非零向量线性无关单个的非零向量线性无关),定理定理成立成立. 假设对假设对m－－1不同的特征值不同的特征值定理成立，现证定理成立，现证对对m个个不同特征值定理也成立不同特征值定理也成立. .设设 k1x1+k2x2+…+kmxm=0 (*)用方阵用方阵A左乘上式两端左乘上式两端,得得 k1Ax1+k2Ax2+……+ks Axm=0 再利用再利用 Axi= i xi ( i=1,2, …,m),得得 k1 1x1+k2 2x2+……+km mxm=0 (**)(**)- - λm(*),得得k1( 1－－ m)x1+k2( 2－－ m)x2+…+…+km-1( m-1－－ m)xm-1=0由归纳假设由归纳假设, x1,x2,…,…,xm-1线性无关线性无关.因而因而 ki ( i－－ m)=0 i=1, 2, …, …,m-1但但( i－－ m) 0(i=1, 2,…,…,m-1),于是于是ki=0(i=1, 2,…,…,m-1). 此时式此时式(*)变成变成 km xm=0, 而而 xm≠≠0 ，所以，所以 km=0.这就证明了这就证明了x1 1, ,x2 2,…,,…,xm线性无关线性无关. 关于对应于同一个特征值的特征向量间的关系，有关于对应于同一个特征值的特征向量间的关系，有•定理定理5 若若 0是方阵是方阵A的的k重特征值，则对应于重特征值，则对应于 0的的线性无关特征向量个数不超过线性无关特征向量个数不超过k个个. 当当A为实对称矩阵时，有为实对称矩阵时，有•定理定理6 实对称矩阵实对称矩阵A的的k重特征值恰好有重特征值恰好有k个对应个对应于此特征值的线性无关的实特征向量于此特征值的线性无关的实特征向量.练习练习 第第4.24.2节节 相似矩阵相似矩阵•相似矩阵相似矩阵•矩阵与对角矩阵相似的条件矩阵与对角矩阵相似的条件•实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化返回返回 1.1.相似矩阵相似矩阵 (1)相似矩阵定义相似矩阵定义: 设设A、、B为为n阶方阵，若存在可逆矩阵阶方阵，若存在可逆矩阵P,使使P–1AP =B称矩阵称矩阵A相似于矩阵相似于矩阵B,或称或称A与与B相似相似.记为记为A∼ ∼B.例如例如注注: ①① A∼ ∼A；； ②②若若A∼ ∼B，则，则B ∼ ∼ A；； ③③若若 A∼ ∼B ,B ∼ ∼C 则则A∼ ∼C . ④④A∼ ∼B⇒⇒ A与与B等价等价. (2)(2)相似矩阵的性质相似矩阵的性质(i) 若若A∼ ∼B,则则|A|= |B|；；(ii) 若若A∼ ∼B,则则λE –A ∼ ∼ λE –B,从而从而| λE –A|=| λE –B| , 进而有相同的特征值，有相同的迹；进而有相同的特征值，有相同的迹；(iii) 若若A∼ ∼B,则则A m∼ ∼ Bm, kA ∼ ∼ kB;(iv) 若若A∼ ∼B, f(x)为多项式为多项式,则则f(A)∼ ∼f( B);(v) 若若A∼ ∼B,且均可逆，则且均可逆，则A –1∼ ∼ B –1；；(vi) 若若A∼ ∼B,则则r(A)=r(B). 证证 设矩阵设矩阵A与与B相似相似,即有即有P –1 AP=B,则则(i) |B| = | P–1AP |= | P–1| |A| |P|= |A| ；；(ii) λE –B= λE – P–1AP= P–1( λE –A )P,即即 λE – A∼ ∼ λE –B；再由；再由(1)得得 | λE –A |= | λE –B|；； 进而有相同的特征值，有相同的迹；进而有相同的特征值，有相同的迹；(iii)Bm=( P–1AP ) m=( P–1AP)(P–1AP ) …(P–1AP ) =P–1AmP, 即即Am∼ ∼ Bm ；； P–1 (kA)P =k (P–1AP)=kB , 即即 kA ∼ ∼ kB;(iv) 由由(3)及矩阵的运算性质即得及矩阵的运算性质即得f(A)∼ ∼f( B);(v) B–1 =( P–1AP) –1 =P–1A–1(P–1)–1 =P–1A–1P ；；(vi) A∼ ∼B时，时，A与与B等价，从而等价，从而r(A)=r(B). 例例1 1解解 因相似矩阵有相同的特征值因相似矩阵有相同的特征值,故故A与与B有相同的有相同的 特征值特征值 2, y, –1. 由特征值的性质，有由特征值的性质，有 2+0+x=2+y +(–1) – 2= |A|= 2·y ·(–1) = – 2y 得得 y=1，，x=0. 2.矩阵与对角矩阵相似的条件矩阵与对角矩阵相似的条件(矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件)(1) A可对角化的定义可对角化的定义 若若A与对角矩阵与对角矩阵Λ相似，称相似，称A可对角化可对角化.(2) A可对角化的条件可对角化的条件 定理定理 证证 () () 推论推论 ①①若若A有有n个互不相同的特征值个互不相同的特征值, 则则A可对角化可对角化. ②②n阶方阵阶方阵A可对角化可对角化 A的每个的每个特征值的特征值的代数代数重数重数与与几何重数几何重数相等相等. 线性无关特征向量的个数线性无关特征向量的个数特征值的重数特征值的重数(3)矩阵对角化的实施矩阵对角化的实施步骤步骤(i) 求出求出A的全部特征值的全部特征值 λ1, λ2,…, λn ；；(ii)对每个对每个λi ,求方程组求方程组( λi E– A )x = 0 的基础解系的基础解系 即为即为A的属于特征值的属于特征值λi 的线性无关特征向量的线性无关特征向量;(iii) 若若A有有n个线性无关特征向量个线性无关特征向量 p1, p2, … , pn,则则A与对角矩阵相似与对角矩阵相似.令令 P=(p1, p2, … , pn)，，则则 例例1 矩阵矩阵A能否对角化？若能，求可逆矩阵能否对角化？若能，求可逆矩阵P使使 P–1 AP=Λ为对角阵为对角阵.解解 (i)(ii) 例例 2 2 矩阵矩阵A A能否对角化？若能，求能否对角化？若能，求可逆矩阵可逆矩阵 P P 使使P P–1–1AP=ΛAP=Λ为对角阵为对角阵. .解解 (i)(ii) 由于线性无关特征向量个数为由于线性无关特征向量个数为2≠3，，因此该矩因此该矩阵不能对角化阵不能对角化. . (4)可对角化矩阵的简单应用可对角化矩阵的简单应用(i)由特征值和特征向量反求矩阵由特征值和特征向量反求矩阵A: A=PΛ P–1 (ii) 求方阵的幂求方阵的幂: Ak=PΛk P–1 例例3 3阶方阵阶方阵A有三个不同的特征值有三个不同的特征值λ1=1,λ2=2, λ3 ,对应的特征向量分别为对应的特征向量分别为 解解 (2)令令 P=(p1, p2, p3) 则则 P–1AP=Λ 思考练习思考练习 3.3.实对称阵的对角化实对称阵的对角化(1)实对称矩阵特征值与特征向量的性质实对称矩阵特征值与特征向量的性质定理定理 (i)实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的特征值都是实数; (ii)实对称矩阵实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征的对应于不同特征值的特征向量相互正交向量相互正交;(iii)实对称矩阵的实对称矩阵的每个每个特征值的代数重数与几何重特征值的代数重数与几何重数相等数相等. 定理定理 (i)实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的特征值都是实数; (ii)实对称矩实对称矩阵阵A的对应于不同特征值的特征向量相互正交的对应于不同特征值的特征向量相互正交;(iii)实实对称矩阵的对称矩阵的每个每个特征值的代数重数与几何重数相等特征值的代数重数与几何重数相等.证证 (ii)设设λ1,λ2为为A的两个不同特征值的两个不同特征值, , 1, 2为对应为对应的的特征向量特征向量,即即 A i= λi i ( i=1,2)因因 2TA 1= 2Tλ1 1= λ1 2T 1 2TA 1= 2TAT 1= (A 2)T 1= (λ2 2)T 1 =λ2 2T 1故故 λ1 2T 1=λ2 2T 1即即 (λ1- λ2 ) 2T 1=(λ1- λ2 )[ 2, 1]=0，，但但λ1 λ2，因此，因此 [ 2, 1]=0，即，即 2与与 1正交正交. (2)实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化定理定理 若若A为为n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,则存在正交矩阵则存在正交矩阵Q，使，使 Q–1AQ= QTAQ =Λ为对角阵为对角阵,Λ的对角线上的元素为的对角线上的元素为A的的n个特征值个特征值.(证略证略)用正交矩阵化用正交矩阵化A为对角阵的步骤：为对角阵的步骤：(i) 由由 | λE –A |=0求出求出A的全部特征值的全部特征值 λ1, λ2,…, λn;(ii)对每个对每个λi ,求方程组求方程组( λi E– A )x = 0 的基础解系的基础解系 即为即为A的属于特征值的属于特征值λi 的线性无关特征向量的线性无关特征向量;(iii) 将线性无关特征向量正交化将线性无关特征向量正交化、、单位化单位化，，令令 Q=(q1, q2, … , qn)则则Q为正交矩阵，且使为正交矩阵，且使 Q–1 AQ= QT AQ =Λ为对角阵为对角阵. 例例1 1解解 (i)(ii) (iii) 正交化、单位正交化、单位化化 令令 Q=(q1, q2, q3)则则Q为正交矩阵，且使为正交矩阵，且使 Q–1 AQ= QT AQ =Λ为对角阵为对角阵.①①实实对对称称矩矩阵阵A的的重重特特征征值值对对应应的的正正交交特特征征向向量量组组的的取取法法不不唯一，故唯一，故Q不唯一；不唯一；②②由由于于实实对对称称矩矩阵阵A的的不不同同特特征征值值对对应应的的特特征征向向量量必必正正交交，，故只须对属于同一特征值的线性无关的向量正交化即可故只须对属于同一特征值的线性无关的向量正交化即可. 思考练习思考练习 第第4.3节节 二次型简介二次型简介 二次型理论起源于解析几何中化二次曲线或二次型理论起源于解析几何中化二次曲线或二次曲面方程为标准形问题二次曲面方程为标准形问题. . 这里这里首先介绍一些首先介绍一些基本概念，然后讨论如何利用可逆线性变换把一基本概念，然后讨论如何利用可逆线性变换把一个二次型化成标准形个二次型化成标准形. . 最后讨论一类特殊的二次最后讨论一类特殊的二次型型————正定二次型正定二次型. .•基本概念基本概念•化二次型为标准形的方法化二次型为标准形的方法•正定二次型正定二次型返回返回 称为称为n元二次型，简称元二次型，简称二次型二次型.称为称为二次型的系数二次型的系数.1.基本概念基本概念(1)二次型定二次型定义义 (2)二次型的标准形二次型的标准形只含有平方项的二次型，即只含有平方项的二次型，即称为称为标准形标准形. 例如：例如：一般二次型一般二次型标准型标准型 (3)二次型的矩阵表二次型的矩阵表示示二次型二次型f 与实对称矩阵是一一对应的与实对称矩阵是一一对应的. 称称A为二次型为二次型f 的矩阵；称的矩阵；称A的秩为二次型的秩为二次型f 的秩的秩.二次型二次型f 的标准形与对角矩阵是一一对应的的标准形与对角矩阵是一一对应的.二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示 例例1 1 写出二次型的矩阵表示写出二次型的矩阵表示解解 问题：问题： 如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线性变换化为如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线性变换化为 标准形？标准形？即通过怎样的线性变换将一个带有交叉的二次齐即通过怎样的线性变换将一个带有交叉的二次齐次多项式次多项式( (一般二次型一般二次型) )化简为只含有平方项的二次齐式化简为只含有平方项的二次齐式( (标标准形准形).).2.化二次型为标准形化二次型为标准形(1)正交变换法正交变换法 由于二次型的矩阵由于二次型的矩阵A都是实对称矩阵，根据上都是实对称矩阵，根据上一节的结果知一节的结果知,存在正交矩阵存在正交矩阵Q ，使，使 Q–1AQ= QT AQ =Λ为对角阵为对角阵. 将此结论应用于二次型，有如下结论将此结论应用于二次型，有如下结论 定理定理 任意任意n元实二次型元实二次型f=xTAx，都可经正交变换，都可经正交变换x＝＝Qy化为标准形化为标准形 用正交变换化二次型为标准形的步骤：用正交变换化二次型为标准形的步骤：①①写出二次型写出二次型f 的矩阵的矩阵A；；②②求正交矩阵求正交矩阵Q，使得，使得QT AQ =Λ为对角阵；为对角阵；③③正交变换正交变换x＝＝Qy化二次型为标准形化二次型为标准形 f=yT Λy . 解解 (i)二次型二次型 f 的矩阵为的矩阵为例例2 求一个正交变换求一个正交变换x＝＝Qy把二次型化为标准形把二次型化为标准形.(ii)求出求出A的全部特征值及线性无关特征向量的全部特征值及线性无关特征向量 得对应的一个线性无关的特征向量得对应的一个线性无关的特征向量当当λ1=0,时解方程组时解方程组 (0E-A)x=0.当当λ2 =λ3=2,时解方程组时解方程组 (2E-A)x=0.得对应的线性无关的特征向量为得对应的线性无关的特征向量为(iii)将所求特征向量正交化、单位将所求特征向量正交化、单位化化因因 1 分别分别 与与 2，， 3正交正交,故只需将故只需将 2，， 3 正交化正交化. 正交化正交化单位化单位化 则正交变换则正交变换x＝＝Qy将二次型化为标准形将二次型化为标准形(iv)写出正交变写出正交变换换令令 (2)配方配方法法定理定理 任何实二次型，都可经过可逆线性变换化为任何实二次型，都可经过可逆线性变换化为 标准形标准形.例例3 用配方化二次型为标准形用配方化二次型为标准形,并求所用的可逆线并求所用的可逆线性性 变换变换解解 (1)由于由于f 中含有中含有x1的平方项的平方项,首先把含首先把含x1的项归并的项归并起来进行配方，得起来进行配方，得 则可逆线性变换则可逆线性变换x＝＝Cy化二次型为标准形：化二次型为标准形： 解解 (2)由于由于f 中不含有平方项中不含有平方项,首先令首先令 所求可逆线性变换为所求可逆线性变换为x＝＝Cz，，这里这里配方法化二次型为标准形（小结）配方法化二次型为标准形（小结） 利用和的平方公式逐步消非平方项（交叉项）利用和的平方公式逐步消非平方项（交叉项）.(1)若二次型含有若二次型含有xi的平方项的平方项，则把含有，则把含有xi的项集中的项集中,再按再按xi配成平方项，其余类推，直至都配成平方项；配成平方项，其余类推，直至都配成平方项； (2)若在二次型中没有平方项若在二次型中没有平方项,但但aij≠0(i ≠ j),则首先则首先作可逆线性变换：作可逆线性变换：化二次型为化二次型为(1)的情形，再的情形，再配方配方. 对实二次型对实二次型 f=xTAx，用不同的可逆线性变换均可，用不同的可逆线性变换均可将其化为标准形，因此其将其化为标准形，因此其标准形不惟一标准形不惟一.但需要指出的但需要指出的是：尽管标准形不惟一，但标准形中非零平方项的个是：尽管标准形不惟一，但标准形中非零平方项的个数唯一确定，它等于二次型的秩数唯一确定，它等于二次型的秩r，且含正号的项的个，且含正号的项的个数（称为数（称为正惯性指数正惯性指数）和含负号的项的个数（称为）和含负号的项的个数（称为负负惯性指数惯性指数）都唯一确定）都唯一确定.这就是实二次型的惯性定理这就是实二次型的惯性定理.惯性定理惯性定理 设实二次型设实二次型f(x1,…,xn)=xTAx 的秩为的秩为r,可逆线性可逆线性变换变换x＝＝By和和x＝＝Cz分别把它化为标准形分别把它化为标准形则则p=q.(证明略证明略) 思考练习思考练习 3.3.正定二次型正定二次型(1)定义定义:设有实二次型设有实二次型f(x1,…,xn)=xTAx,如果对任意如果对任意的的x 0，都有，都有 f(x1,…,xn)=xTAx>0称称f 为为正定二次型正定二次型;相应的矩阵相应的矩阵A称为称为正定矩阵正定矩阵，记为，记为A>0; ；；若对任意若对任意x 0都有都有f<0, ,称称f为为负定二次型负定二次型, ,相应相应的矩阵的矩阵A称为称为负定矩阵负定矩阵；若对任何；若对任何 x 0 都有都有f ≥≥0，，称称f为为半正定二次型半正定二次型，若，若f≤≤0，称，称f 为为半负定二次型半负定二次型，相，相应的矩阵应的矩阵A分别称为半正定、半负定矩阵分别称为半正定、半负定矩阵. . 半负定二次型半负定二次型正定二次型正定二次型负定二次型负定二次型半正定二次型半正定二次型考察考察(2)(2)正定二次型（正定矩阵）的判别正定二次型（正定矩阵）的判别定理定理1：：二次型经过可逆线性变换，其正定性不变二次型经过可逆线性变换，其正定性不变. 证明证明定理定理2 f(x1,…,xn) =xTAx正定正定(或或A>００)的充分必要条的充分必要条件是标准形的件是标准形的n个系数均为正个系数均为正.推论推论1 f=xTAx正定（或正定（或A>０）的充分必要条件是正０）的充分必要条件是正惯性指数等于惯性指数等于n.推论推论2 f=xTAx正定（或正定（或A>０）的充分必要条件是０）的充分必要条件是A的特征值都大于零的特征值都大于零.推论推论3 f=xTAx正定（或正定（或A>０）则０）则A>0. 例例1 1解解 (法法1））A的全部特征值：的全部特征值： 1=3, 2=1,该二次型正定该二次型正定. (法法2））标准形中两个系数均为正，该二次型正定标准形中两个系数均为正，该二次型正定.问题：问题：对一般的二次型对一般的二次型,无论将其化为标准形还是求无论将其化为标准形还是求其矩阵其矩阵A的特征值均非易事的特征值均非易事! 能否直接利用二次型的能否直接利用二次型的矩阵矩阵A判别它是否正定？判别它是否正定？ A的顺序主子式定义的顺序主子式定义1阶顺序主子式阶顺序主子式2阶顺序主子式阶顺序主子式n阶顺序主子式阶顺序主子式 定理定理3 二次型二次型f(x1,…,xn) = xTAx正定正定(或或A>００)的充的充分分必要条件是必要条件是A的各阶顺序主子式都大于零的各阶顺序主子式都大于零,即即 解解各阶顺序主子式各阶顺序主子式所以，所以，f是正定二次型是正定二次型.例例2 2 判断二次型是否正定判断二次型是否正定. . 解解各阶顺序主子式各阶顺序主子式故故f不是正定二次型不是正定二次型.例例3 3 判断二次型是否正定判断二次型是否正定. . 解解f 正定，应有正定，应有例例4 4 3.3.负定、半正定、半负定二次型判定定理负定、半正定、半负定二次型判定定理(1)负定二次型负定二次型 若若f 负定，则负定，则 - -f 正定正定;因此有如下结论因此有如下结论定理定理 (i)n元二次型元二次型f=xTAx负定的充分必要条件是标准负定的充分必要条件是标准形的形的n个系数均为负；个系数均为负；(ii)n元二次型元二次型f=xTAx负定的充分必要条件是负惯性指负定的充分必要条件是负惯性指数等于数等于n；；(iii)n元二次型元二次型f=xTAx负定的充分必要条件是负定的充分必要条件是A的特征的特征值都小于零；值都小于零；(iv)n元二次型元二次型f=xTAx负定的充分必要条件是负定的充分必要条件是A的奇数的奇数阶顺序主子式都小于零阶顺序主子式都小于零, 而偶数阶顺序主子式都大于而偶数阶顺序主子式都大于零，即零，即 解解各阶顺序主子式各阶顺序主子式故故f是负定二次型是负定二次型.例例5 判断二次型的正定性判断二次型的正定性. . (2)半正定、半负定二次半正定、半负定二次型型定理定理 (i)n元二次型元二次型f=xTAx半正定充分必要条件是半正定充分必要条件是正正惯性指数惯性指数p=r(A)