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1、第四讲 统计与概率统计与概率一一. .知识解读知识解读 统计与概率知识是中学数学的又一块重要内容，知识贴近生活，反映实际问题，其中概率是新课程标准新增的知识，在新课程体系中统计与概率的思想在整个中学数学占有重要位置，它是展示学生分析问题、处理问题、解决问题的能力并作出合理判断与决策的重要数学技能.统计与概率的知识是以基础知识的运用和基本技能的发挥为主题，是中考考查的内容之一，也所是我们中考数学复习的一个知识重点.二二. .知识结构知识结构 统计与概率主要包含两大部分内容，统计及相关的知识与应用、概率及相关知识与应用 . 二二. .知识结构知识结构 统 计 收集数据 媒体查询 亲自调查 普 查
2、抽样调查 抽样的基本要求 总体 个体 样本整理数据 频数分布表 频数 频率 频数分布直方图 频数折线图 扇形统计图 分析数据 统计图表 阅读图表提取信息 统 计 量 集中程度 离散程度 加权平均数 平均数 中位数 众数 极差 方差 标准差 作出决策 用样本估计总体 作出判断和决测 回顾反思 样本选取 数据处理及表示 所得结论二二. .知识结构知识结构概 率 事 件 确定事件 不确定事件 不可能事件 必然事件 机会的大小比较 游戏的公平与否 概 率 实验估计概率 分析预测概率模拟等效实验 列举法 画树状图 列表 借助统计活动研究概率 从概率角度分析统计数据特征 统 计 概 率 三三. .考点透视
3、考点透视 1考点要求：统计部分统计部分： 了解普查、抽样调查，总体、个体、样本、样本容量、众数、中位数、平均数、方差、标准差、极差的概念； 会求平均数、加权平均数、众数、中位数，会确定样本和样本容量，体会它们在实际问题中的意义； 理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，了解整理数据的步骤和方法； 掌握用样本估计总体的统计思想，会用样本平均数与方差估计总体平均数与方差；用样本频率估计总体频率； 掌握几种统计图表示数据的方法与其特征，会选择合适的统计图表示相关的数据； 会根据统计的结过作出判断和预测，观点清晰，并能解决一些简单的实际问题. 三三. .考点透视考点透视 1考点要求：概率部分概
4、率部分： 在具体情境中了解概率的意义，明确事件的三种类型，会运用列举法（树状图或列表树状图或列表）计算简单事件发生的的概率； 通过大次数重复实验，获得事件发生的概率，知道大次数重复实验时，频率可作为事件发生的概率的估计值； 会运用概率知识认识并解决简单的实际问题（比如对一些现象的解释、评判游戏的公平性、对某项活动的“合算”与否进行评判、会设计概率模型等）.三三. .考点透视考点透视2应用方法：统计部分：统计部分： 牢固掌握统计知识中概念及概念间的区别与联系，以及在实际问题中的应用； 掌握平均数、加权平均数，方差和标准差的计算公式及实际运用，会确定中位数，众数及极差； 理解掌握频数分布直方图和频
5、数折线图，会进分析判断； 关注统计知识与方程、不等式等知识的综合应用，会读频数分布直方图和数据图标，获取信息，作出决策与判断.三三. .考点透视考点透视2应用方法：概率部分：概率部分： 牢固掌握概率的求法，会运用列表法或树状图求简单事件的概率； 掌握等可能事件发生的结过的判断，会求这类事件发生的概率； 关注概率知识在实际问题中的应用.三三. .考点透视考点透视3命题方向：统计部分：统计部分： 近几年来，与统计相关的知识在中考题中所占比例逐渐增大，由于统计贴近生活，因此在中考中考查力度有所加大，形式多样.从题型上，填空题、选择题依然占主要位置，但应用类解答题、图标信息题、综合题逐渐在增多；从内容
6、上，有原来简单的运用统计知识的基本概念进行求解计算，也有运用所学的统计知识分析和处理和实际问题相关数据，作出决策判断，题型立意新颖，贴近生活，关注社会热点.三三. .考点透视考点透视3命题方向：统计部分：统计部分： 对于统计基本概念的考查一般以填空题、选择题的形式出现，要求能够指出研究对象的总体、个体、样本及样本容量，理解一组数据的平均数、众数、中位数的意义，掌握他们的求法，了解方差、标准差的意义，会计算样本方差和标准差，并会用他们比较两组数据的波动情况. 统计初步的应用题是统计知识与方程、不等式有机融合在一起的综合性试题，主要考查学生联系实际处理数据进行合理推理的能力，要求学生具备数据处理的
7、能力，数形结合的能力，读图识图的能力.三三. .考点透视考点透视3命题方向：概率部分概率部分： 概率知识的应用题则以通过设计概率模型或一些具体活动来解释一些事件发生的概率，进一步丰富对概率的认识，以及联系统计知识，借助日常生活中的例子，应用频率与概率的关系，计算一些事件发生的概率，解决简单的问题，考查学生联系实际进行合理推理的应用能力.四四. .例题精讲例题精讲例1 填空： 中国是一个人口总数为1 295 330 000人，国土面积为9596960千米2的大国.梵帝冈是世界上最小的国家，它的面积仅有0.44千米2，相当于天安门广场的面积.根据这段材料，回答：(1)9596960千米2是 （精确
8、数还是近似数），在报刊等媒体中常说：我国的国土是960万平方千米.近似数960万平方千米是由9596960千米2精确到 位得到的，它的有效数字是 ；(2)把我国的人口数写成1.3109人，它精确到 位，有 个有效数字，若把中国的人口数用3个有效数字表示，可写成 ；(3)梵帝冈真是太小了！假若我们把梵帝冈的土地看成是一个正方形，平时我们做操时每人需占用2平方米，那梵帝冈能同时容纳 人做操；(4)梵帝冈国土面积的百万分之一有多大？相当于 的面积； A一间教室 B一块黑板 C一本数学课本 D一张讲桌四四. .例题精讲例题精讲分析：本题重点考查了科学记数法、有效数字以及数据分析的有关统计知识.要想解决
9、本题中提出的问题，首先要弄明白以下几点：（1）通过测量得到的数据都是近似的. 960万平方千米是以万为单位，因此精确到万位；（2）1.3109=1 300 000 000数字3在亿位上，所以它精确到亿位；它有两个有效数字1，3； 若要用三个有效数字来表示，则要精确到千万位，即9所在的数位，因此要从百万位开始四舍五入，即1.30109；（3）单位不统一，0.44千米2=440 000米2 ，千米2与米2的单位换算是106进制；（4）440000米2的百万分之一=0.44米2，相当于一张讲桌的面积.解：（1）近似数，万，9、6、0；（2）亿，2，1.30109；（3）220000 ；（4）D.四四
10、. .例题精讲例题精讲例2根据某市去年7月份中某21天的各天最高气温（）记录，制作了如图的统计图，由图中信息可知，记录的这些最高气温的众数是 ，其中最高气温的中位数是 ，四四. .例题精讲例题精讲分析：本题重点考查了学生对众数与中位数的理解，以及从统计图中获取信息的能力.要想解决本题中提出的问题，首先要弄明白以下几点：（1）由于32出现的次数最多出现了4天，所以32是这组数据的众数；（2）因为共调查了21天的气温记录，因此中位数是将气温从小到大排列后位于第11位的气温，由于29的气温有3天，30的气温有2天，31的气温有2天，32的气温有4天，33的气温有3天，34的气温有2天，35的气温有2
11、天，36的气温有3天，而前四个数据的频数和为11，所以气温的中位数就为32.解： 32，32.四四. .例题精讲例题精讲例3下面两幅统计图（图1、图2），反映了某市甲、乙两所中学学生参加课外活动的情况.请你通过图中信息回答下面的问题.（1）通过对图1的分析，写出一条你认为正确的结论；（2）通过对图2的分析，写出一条你认为正确的结论；（3）2003年甲、乙两所中学参加科技活动的学生人数共有多少？四四. .例题精讲例题精讲分析：本题重点考查学生读图、识图、获取信息的基本能力.要想解决本题中提出的问题，首先要弄明白以下几点：（1）图1是折线统计图：重在反映了自19972003年某市甲、乙两所中学学生
12、参加课外活动人数的变化情况；图2是扇形统计图重在反映了2003年甲、乙两校学生参加课外活动不同项目人数占总人数的百分比；（2）由图1我们可以得出2003年甲、乙两校分别有2000人和1105人，由图2我们可以看出2003年甲、乙两校参加科技活动人数分别占总人数的38%和60%，所以2003年甲、乙两所中学参加科技活动的学生人数为 人.四四. .例题精讲例题精讲解：（1）1997年至2003年甲校学生参加课外活动的人数比乙校增长的快；（答案合理即可）（2）甲校学生参加文体活动的人数比参加科技活动的人数多；（答案合理即可）（3） 人；答：2003年两所中学的学生参加科技活动的总人数是1423人.四
13、四. .例题精讲例题精讲例4某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变.有关数据如下表所示：（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平.问风景区是怎样计算的？（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%。问游客是怎样计算的？（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反应整体实际？四四. .例题精讲例题精讲分析：本题重点考查了平均数与加权平均数的理解与应用，以及对数据的处理能力.要想解决本题中提出的问题，首先要弄明白以下几点：（1）因为我们学习了两种平均数，一种是算术平均数，一种是加
14、权平均数.因此当我们分别以这两种方式来计算平均数时，我们会发现调价前后的算术平均数是不变的，而加权平均数是有所变化的.因此，我们可以知道风景区是按照算术平均数来计算平均价格的，而游客是按照加权平均数来计算价格的.（2）由于加权平均数对不同的景点赋予了不同的权，而不同景点的游客数是不同的，所以加权平均数更能反映整体实际.四四. .例题精讲例题精讲解： （1）风景区是这样计算的：调整前的平均价格： ；调整后的平均价格： ；调整前后的平均价格不变，平均日人数不变 ，平均日总收入持平；（2）游客是这样计算的： 原平均日总收入：101+101+152+203+252=160（千元）现平均日总收入：51+
15、51+152+253+302=175（千元） 平均日总收入增加了； （3）游客的说法较能反映整体实际. 四四. .例题精讲例题精讲例5开学初，某店主调查了学校新生的零用钱数额（单位：元）.按总人数的12.5%抽样。数据分成五组统计，因意外原因丢失一些信息，剩余部分信息为：第一组的频数、频率分别为2、0.04；第二、三、五组的频率分别为0.24、0.20、0.36；如图频率分布直方图.请你协助店主解决下列问题： （1）求第四组的频率、频数；（2）估计全体新生的零用钱大约是多少元？四四. .例题精讲例题精讲分析：本题重点考查了统计基础知识频数分布直方图以及计算、解决实际问题和信息处理能力，本题还考
16、查了利用样本估算总体的思想.要想解决本题中提出的问题，首先要弄明白以下点：（1）由于第一、二、三、五组的频率分别为0.04、0.24、0.20、0.36，而样本总的频率为1，所以第四组频率为 0.16 .又因为频率=频数样本容量，所以我们需要先根据第一组的频数与频率求出样本容量为20.04=50，因此第四组的频数为0.1650=8；（2）因为01元，12元，23元，34元，45元的频数分别为2，12，10，8，18，所以估计学生零用钱的最小值为：（20+121+102+83+184）12.5%=1024（元）；最大值为：（21+122+103+84+185）12.5%=1424（元）.四四.
17、.例题精讲例题精讲解：（1） 1-（0.04+0.24+0.20+0.36）=0.16为第四组频率，样本容量n=频数频率=20.04=50，500.16=8为第四组频数；（2）估计学生零用钱的最小值为：（20+121+102+83+184）12.5%=1024（元）；最大值为：（21+122+103+84+185）12.5%=1424（元）估计数（M）只要符合1024M”、“P（摸到红球）. 四四. .例题精讲例题精讲例8某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得10
18、0元，50元、20元的购物券（转盘被等分成20个扇形）.甲顾客消费120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元，50元、20元购物券的概率分别是多少？四四. .例题精讲例题精讲分析：本题通过有趣的问题，重点考查一类概率的计算，即简单几何概率的计算.由于转盘被等分成20个扇形，其中1个是红色，2个是黄色，4个是绿色，所以对甲顾客来说： 红色区域占了总面积的 ，黄色区域占了总面积的 ，绿色区域占了总面积的 .解：四四. .例题精讲例题精讲例8集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码（120号），另外袋中还有1只红
19、球，而且这21只球除颜色外其余完全相同.规定：每次只摸一只球.摸前交1元钱且在120内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元. 你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由. 若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？四四. .例题精讲例题精讲分析：本题重点考查了如何用概率知识来解释一些生活中事件发生的概率，进一步丰富对概率的认识，并能结合具体实际问题，利用简单的概率计算来判断游戏的公平性.虽然如果我们赢的话，可以用1元钱换回5元钱（或10元钱）净赚4元钱（或9元钱），但是袋中共有21只球，而我们只有一个机会写中号码或摸到红球，而剩下的19个机会我们是要
20、输的，所以，每次的平均收益为 ，这个游戏对“摸彩”者是不公平的.四四. .例题精讲例题精讲解： （1） P（摸到红球）= P（摸到同号球）= ； 故没有利；（2） 每次的平均收益为 ， 故每次平均损失元 .四四. .例题精讲例题精讲例9袋中有除颜色外其余完全相同的红色、黄色、蓝色、白色球若干个，小明现又放入5个黑球后，小颖通过多次的摸球实验后，发现摸到红色、黄色、白色及黑色的频率分别为25%，30%，10%，5%，试估计出袋中红色、黄色、蓝色及白色球各有多少个？四四. .例题精讲例题精讲分析：为了估计出袋中红色、黄色、蓝色及白色球各有多少个，我们就需要先估计出袋中现有球数，因为袋中原来并无黑球，而放入黑球后，摸出黑球的概率为5%，我们可利用样本容量=频数频率，这一统计知识来估计出袋中现有的球数，从而估计出袋中红色、黄色、蓝色及白色球数.四四. .例题精讲例题精讲解：小刚放入5个黑球后的频率为5%，由此可估计出此时袋中共有球55%=100（个）.因为此时袋中可能有100个球（包括5个黑球），所以有红色球10025%=25（个），黄球10010%=10个，蓝球为100（1-25%-30%-10%-5%）=30（个）. 再见！
