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1、第4讲电磁感应中的动力学和能量问题知识梳理知识梳理一、电磁感应中的动力学问题一、电磁感应中的动力学问题1.安培力的大小安培力的大小感应电动势:E=Blv;感应电流:I=;安培力:F=BIl=。2.安培力的方向安培力的方向(1)先用右手定则或楞次定律右手定则或楞次定律确定感应电流方向,再用左手定则左手定则确定安培力方向。(2)根据楞次定律,安培力方向一定和导体切割磁感线运动方向相反相反。3.电磁感应与动力学、运动学结合的动态分析方法:导体受力运动产生感应电动势感应电流通电导体受安培力合外力变化加速度变化速度变化感应电动势变化周而复始地循环,直至达到稳定状态。二、电磁感应中的能量问题二、电磁感应中
2、的能量问题1.电磁感应过程实质是不同形式的能量转化的过程。电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力安培力作用,因此要维持感应电流的存在,必须有“外力”克服克服安培力做功。此过程中,其他形式的能转化为电能电能。安培力做功的过程是电能转化为其电能转化为其他形式的能他形式的能的过程,安培力做多少功,就有多少电能转化为其他形式的能。2.求解电能的主要思路求解电能的主要思路(1)利用克服安培力做功求解:电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功;(2)利用能量守恒求解:其他形式的能的减少量等于产生的电能;(3)利用电路特征来求解:通过电路中所产生的电能来计算。3.解决电磁感应现象中的能量问题的
3、一般步骤解决电磁感应现象中的能量问题的一般步骤(1)确定等效电源。(2)分析清楚有哪些力做功,就可以知道有哪些形式的能量发生了相互转化。(3)根据能量守恒列方程求解。1.如图所示,MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨,已知导轨足够长,且电阻不计。有一垂直导轨平面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,宽度为L,ab是一根不但与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆。开始,将开关S断开,让ab由静止开始自由下落,过段时间后,再将S闭合,若从S闭合开始计时,答案答案B设闭合S时,ab的速度为v,则E=BLv,I=,F安=BIL=,若F安=mg,则选项A可能。若F安=mg,则选项D可能。则金属杆a
4、b的速度v随时间t变化的图像不可能是()B2.(多选)如图所示,水平固定放置的足够长的U形金属导轨处于竖直向上的匀强磁场中,在导轨上放着金属棒ab,开始时ab棒以水平初速度v0向右运动,最后静止在导轨上,就导轨光滑和导轨粗糙的两种情况相比较,这个过程()A.安培力对ab棒所做的功不相等B.电流所做的功相等C.产生的总热量相等D.通过ab棒的电荷量相等AC答案答案AC光滑导轨无摩擦力,导轨粗糙时有摩擦力,动能最终都全部转化为内能,所以产生的总热量相等,C正确;对光滑的导轨有m=Q安,对粗糙的导轨有m=Q安+Q摩,Q安Q安,则A正确,B错误;q=It=,分析知x光x粗,所以q光q粗,D错误。深化拓
5、展深化拓展考点一考点一电磁感应中动力学问题分析电磁感应中动力学问题分析考点二考点二电磁感应中的功能关系电磁感应中的功能关系考点三考点三电磁感应中的电磁感应中的“杆杆+导轨导轨”模型模型深化拓展深化拓展考点一电磁感应中动力学问题分析考点一电磁感应中动力学问题分析1.运动过程的分析运动过程的分析2.两大研究对象及其相互制约关系两大研究对象及其相互制约关系1-1如图所示,在倾角为30的斜面上,固定一宽度为L=0.25m的足够长平行金属光滑导轨,在导轨上端接入电源和滑动变阻器。电源电动势为E=3.0V,内阻为r=1.0。一质量m=20g的金属棒ab与两导轨垂直并接触良好。整个装置处于垂直于斜面向上的匀
6、强磁场中,磁感应强度为B=0.80T。导轨与金属棒的电阻不计,取g=10m/s2。(1)如要保持金属棒在导轨上静止,滑动变阻器接入到电路中的阻值是多少;(2)如果拿走电源,直接用导线接在两导轨上端,滑动变阻器阻值不变化,求金属棒所能达到的最大速度值;(3)在第(2)问中金属棒达到最大速度前,某时刻的速度为10m/s,求此时金属棒的加速度大小。答案答案(1)5(2)12.5m/s(3)1m/s2解析解析(1)由于金属棒静止在金属导轨上,则其受力平衡,对金属棒受力分析如图所示安培力F安=BIL=mgsin30=0.1N得I=0.5A设变阻器接入电路中的阻值为R,根据闭合电路欧姆定律E=I(R+r)
7、则R=-r=5(2)金属棒达到最大速度时,将匀速下滑,此时安培力大小、回路中电流大小应与上面情况相同,即金属棒产生的电动势E=IR=2.5V由E=BLv得v=12.5m/s(3)金属棒速度为10m/s时,产生的电动势E=BLv=2V电流为I=0.4A金属棒受到的安培力为F安=BIL=0.08N金属棒的加速度大小为a=1m/s21-2如图所示,水平地面上方有一高度为H,上、下水平界面分别为PQ、MN的匀强磁场,磁感应强度为B。矩形导线框ab边长为l1,bc边长为l2,导线框的质量为m,电阻为R。磁场方向垂直于线框平面向里,磁场高度Hl2。线框从某高处由静止落下,当线框的cd边刚进入磁场时,线框的
8、加速度方向向下、大小为;当线框的cd边刚离开磁场时,线框的加速度方向向上、大小为。在运动过程中,线框平面位于竖直平面内,上、下两边总平行于PQ。空气阻力不计,重力加速度为g。求:(1)线框的cd边刚进入磁场时,通过线框导线中的电流;(2)线框的ab边刚进入磁场时线框的速度大小;(3)线框abcd从全部在磁场中开始到全部穿出磁场的过程中,通过线框导线横截面的电荷量。答案答案(1)(2)(3)解析解析(1)设线框的cd边刚进入磁场时线框导线中的电流为I1,根据牛顿第二定律有mg-BI1l1=I1=(2)设线框ab边刚进入磁场时线框的速度大小为v1,线框的cd边刚离开磁场时速度大小为v2,线框的cd
9、边刚离开磁场时线框导线中的电流为I2。依据题意,由牛顿第二定律有BI2l1-mg=I2=I2=v2=-=2g(H-l2)v1=v1=(3)设线框abcd穿出磁场的过程中所用时间为t,平均感应电动势为E,通过导线的平均电流为I,通过导线某一横截面的电荷量为q,则E=I=q=It=考点二电磁感应中的功能关系考点二电磁感应中的功能关系1.安培力做的功是电能和其他形式的能之间相互转化的“桥梁”,用框图表示如下:其他形式能E他电能E电焦耳热Q2.安培力做的功是电能与其他形式的能转化的量度(1)安培力做多少正功,就有多少电能转化为其他形式的能;(2)安培力做多少负功,就有多少其他形式的能转化为电能。3.明
10、确功能关系,确定有哪些形式的能量发生了转化,如摩擦力做功,必有内能产生;有重力做功,重力势能必然发生变化;安培力做负功,必然有其他形式的能转化为电能等。4.根据不同物理情景选择动能定理、能量守恒定律、功能关系列方程求解。2-1如图所示,一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内,导轨间距l=0.5m,左端接有阻值R=0.3的电阻。一质量m=0.1kg,电阻r=0.1的金属棒MN放置在导轨上,整个装置置于竖直向上的匀强磁场中,磁场的磁感应强度B=0.4T。棒在水平向右的外力作用下,由静止开始以a=2m/s2的加速度做匀加速运动,当棒的位移x=9m时撤去外力,棒继续运动一段距离后停下来,已知撤去外力
11、前后回路中产生的焦耳热之比Q1Q2=21。导轨足够长且电阻不计,棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求:(1)棒在匀加速运动过程中,通过电阻R的电荷量q;(2)撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2;(3)外力做的功WF。答案答案(1)4.5C(2)1.8J(3)5.4J解析解析(1)设棒匀加速运动的时间为t,回路的磁通量变化量为,回路中的平均感应电动势为,由法拉第电磁感应定律得=其中=Blx设回路中的平均电流为,由闭合电路的欧姆定律得=则通过电阻R的电荷量为q=t联立式,代入数据得q=4.5C(2)设撤去外力时棒的速度为v,对棒的匀加速运动过程,由运动学公式得v2=2ax设棒在撤
12、去外力后的运动过程中安培力做功为W,由动能定理得W=0-mv2撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2=-W联立式,代入数据得Q2=1.8J(3)由题意知,撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1Q2=21,可得Q1=3.6J在棒运动的整个过程中,由功能关系可知WF=Q1+Q2由式得WF=5.4J2-22014北京理综,24(1)导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识。如图所示,固定于水平面的U形导线框处于竖直向下的匀强磁场中,金属直导线MN在与其垂直的水平恒力F作用下,在导线框上以速度v做匀速运动,速度v与恒力F方向相同;导线MN始终与导线框形成闭合电路。已知导线MN电阻为R,其长度L恰好
13、等于平行轨道间距,磁场的磁感应强度为B。忽略摩擦阻力和导线框的电阻。通过公式推导验证:在t时间内,F对导线MN所做的功W等于电路获得的电能W电,也等于导线MN中产生的焦耳热Q。答案答案见解析解析解析电动势E=BLv导线匀速运动,受力平衡F=F安=BIL在t时间内,外力F对导线做功W=Fvt=F安vt=BILvt电路获得的电能W电=qE=IEt=BILvt可见,F对导线MN所做的功等于电路获得的电能W电;导线MN中产生的焦耳热Q=I2Rt=ItIR=qE=W电可见,电路获得的电能W电等于导线MN中产生的焦耳热Q。考点三电磁感应中的考点三电磁感应中的“杆杆+导轨导轨”模型模型一、单杆水平式一、单杆
14、水平式匀强磁场与导轨垂直,磁感应强度为B,导轨间距为L,导体棒质量为m,初速度为零,拉力恒为F,水平导轨光滑,除电阻R外,其他电阻不计设运动过程中某时刻棒的速度为v,由牛顿第二定律知棒ab的加速度为a=-,a、v同向,随速度的增加棒的加速度a减小,当a=0时,v最大运动形式匀速直线运动力学特征a=0,v恒定不变电学特征I恒定3-1如图所示,两根相距为d的足够长的、光滑的平行金属导轨位于水平的xOy平面内,左端接有阻值为R的电阻,其他部分的电阻均可忽略不计。在x0的一侧存在方向竖直向下的磁场,磁感应强度大小按B=kx变化(式中k0,且为常数)。质量为m的金属杆与金属导轨垂直架在导轨上,两者接触良
15、好。在x0的某位置,金属杆受到一瞬时冲量,获得的速度大小为v0,方向沿x轴正方向。求:(1)在金属杆运动过程中,电阻R上产生的总热量;(2)若从金属杆进入磁场的时刻开始计时,始终有一个方向向左的变力F作用于金属杆上,使金属杆的加速度大小恒为a,方向一直沿x轴负方向。求:答案答案(1)m(2)a.b.F=ma-a.闭合回路中感应电流持续的时间;b.金属杆在磁场中运动过程中,外力F与时间t关系的表达式。解析解析(1)金属杆向右运动切割磁感线产生感应电流,同时金属杆受安培力,做减速运动,直到停下。在此过程中,金属杆的动能转化为电能再转化成电阻R的焦耳热。根据能量转化与守恒,电阻R上产生的热量Q=m(
16、2)a.金属杆在磁场中做切割磁感线运动,产生感应电流,金属杆受安培力和变力F的作用做匀变速直线运动,加速度为a,方向向左(沿-x方向)。它先向右运动,速度由v0减到0;然后向左运动,速度再由0增大到v0,金属杆回到x=0处,之后金属杆离开磁场。金属杆向右或向左运动时,都切割磁感线,回路中都有感应电流。感应电流持续的时间为T=b.设金属杆的速度和它的坐标分别为v和x,由运动学公式有v=v0-atx=v0t-at2金属杆切割磁感线产生感应电动势E=BLv=k(v0t-at2)(v0-at)d由于在x0区域不存在磁场,故只有在时间tT=范围内,上述关系式才成立。由欧姆定律可得回路中的电流为I=金属杆
17、所受的安培力为F安=IBd=(向左为正方向)金属杆受安培力和变力F做匀变速运动,以向左方向为正方向,由牛顿第二定律有F+F安=ma可得F=ma-二、单杆倾斜式二、单杆倾斜式2-2(2016北京海淀一模,22,18分)如图所示,在匀强磁场中倾斜放置的两根平行光滑的金属导轨,它们所构成的导轨平面与水平面成=30角,平行导轨间距L=1.0m。匀强磁场方向垂直于导轨平面向下,磁感应强度B=0.20T。两根金属杆ab和cd可以在导轨上无摩擦地滑动。两金属杆的质量均为m=0.20kg,电阻均为R=0.20。若用与导轨平行的拉力作用在金属杆ab上,使ab杆沿导轨匀速上滑并使cd杆在导轨上保持静止,整个过程中
18、两金属杆均与导轨垂直且接触良好。金属导轨的电阻可忽略不计,取重力加速度g=10m/s2。求:(1)cd杆受安培力F安的大小;(2)通过金属杆的感应电流I;(3)作用在金属杆ab上拉力的功率P。答案答案(1)1.0N(2)5.0A(3)20W解析解析(1)金属杆cd静止在金属导轨上,所受安培力方向与导轨平面平行向上则F安=mgsin30解得:F安=1.0N(2)F安=BIL解得:I=5.0A(3)金属杆ab所受安培力方向与导轨平面平行向下,金属杆ab在拉力F、安培力F安(F安=F安)和重力mg作用下匀速上滑则F=BIL+mgsin30根据电磁感应定律,金属杆ab上产生的感应电动势为E感=BLv根
19、据闭合电路欧姆定律得,通过金属杆ab的电流I=根据功率公式:P=Fv解得:P=20W3-3如图所示,两根金属平行导轨MN和PQ放在水平面上,左端向上弯曲且光滑,导轨间距为L,电阻不计。水平段导轨所处空间有两个有界匀强磁场,相距一段距离不重叠,磁场左边界在水平段导轨的最左端,磁感应强度大小为B,方向竖直向上;磁场的磁感应强度大小为2B,方向竖直向下。质量均为m、电阻均为R的金属棒a和b垂直导轨放置在其上,金属棒b置于磁场的右边界CD处。现将金属棒a从弯曲导轨上某一高处由静止释放,使其沿导轨运动。设两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。(1)若水平段导轨粗糙,两金属棒与水平段导轨间的最大静摩
20、擦力均为 mg,将金属棒a从距水平面高度h处由静止释放。求:金属棒a刚进入磁场时,通过金属棒b的电流大小;三、三、“双杆双杆+轨道轨道”式式若金属棒a在磁场内运动过程中,金属棒b能在导轨上保持静止,通过计算分析金属棒a释放时的高度h应满足的条件;(2)若水平段导轨是光滑的,将金属棒a仍从高度h处由静止释放,使其进入磁场。设两磁场区域足够大,求金属棒a在磁场内运动过程中,金属棒b中可能产生焦耳热的最大值。答案答案(1)h(2)mgh解析解析(1)金属棒在弯曲光滑导轨上运动的过程中,机械能守恒,设其刚进入磁场时速度为v0,产生的感应电动势为E,电路中的电流为I。由机械能守恒mgh=m,解得v0=感
21、应电动势E=BLv0,则I=解得:I=对金属棒b:所受安培力F=2BIL又因I=金属棒b保持静止的条件为Fmg解得h(2)金属棒a在磁场中向右做减速运动,感应电动势逐渐减小,金属棒b在磁场中向左做加速运动,感应电动势逐渐增加,当两者相等时,回路中感应电流为0,此后金属棒a、b都做匀速运动。设金属棒a、b最终的速度大小分别为v1、v2,整个过程中安培力对金属棒a、b的冲量大小分别为Ia、Ib。由BLv1=2BLv2,解得v1=2v2设向右为正方向:对金属棒a,由动量定理有-Ia=mv1-mv0对金属棒b,由动量定理有-Ib=-mv2-0由于金属棒a、b在运动过程中电流始终相等,则金属棒b受到的安
22、培力始终为金属棒a受到安培力的2倍,因此有两金属棒受到的冲量的大小关系为Ib=2Ia解得v1=v0,v2=v0根据能量守恒,回路中产生的焦耳热Q=m-m(v0)2+m(v0)2=m=mghQb=Q=mgh考点四电磁感应问题中考点四电磁感应问题中“动力学动力学”和和“动量、能量动量、能量”观点观点的综合应用的综合应用4-1(2017北京理综,24,20分)发电机和电动机具有装置上的类似性,源于它们机理上的类似性。直流发电机和直流电动机的工作原理可以简化为如图1、图2所示的情景。在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中,两根光滑平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内,相距为L,电阻不计。电阻为R的金属
23、导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上,与轨道接触良好,以速度v(v平行于MN)向右做匀速运动。图1轨道端点M、P间接有阻值为r的电阻,导体棒ab受到水平向右的外力作用。图2轨道端点M、P间接有直流电源,导体棒ab通过滑轮匀速提升重物,电路中的电流为I。(1)求在t时间内,图1“发电机”产生的电能和图2“电动机”输出的机械能。(2)从微观角度看,导体棒ab中的自由电荷所受洛伦兹力在上述能量转化中起着重要作用。为了方便,可认为导体棒中的自由电荷为正电荷。a.请在图3(图1的导体棒ab)、图4(图2的导体棒ab)中,分别画出自由电荷所受洛伦兹力的示意图。b.我们知道,洛伦兹力对运动电荷不做功。那么,
24、导体棒ab中的自由电荷所受洛伦兹力是如何在能量转化过程中起到作用的呢?请以图2“电动机”为例,通过计算分析说明。答案答案见解析解析解析本题考查发电机和电动机的机理分析、洛伦兹力的方向及其在能量转化中的作用。(1)图1中,电路中的电流I1=棒ab受到的安培力F1=BI1L在t时间内,“发电机”产生的电能等于棒ab克服安培力做的功E电=F1vt=图2中,棒ab受到的安培力F2=BIL在t时间内,“电动机”输出的机械能等于安培力对棒ab做的功E机=F2vt=BILvt(2)a.如图甲、图乙所示。b.设自由电荷的电荷量为q,沿导体棒定向移动的速率为u。如图乙所示,沿棒方向的洛伦兹力f1=qvB,做负功
25、W1=-f1ut=-qvBut垂直棒方向的洛伦兹力f2=quB,做正功W2=f2vt=quBvt所以W1=-W2,即导体棒中一个自由电荷所受的洛伦兹力做功为零。f1做负功,阻碍自由电荷的定向移动,宏观上表现为“反电动势”,消耗电源的电能;f2做正功,宏观上表现为安培力做正功,使机械能增加。大量自由电荷所受洛伦兹力做功的宏观表现是将电能转化为等量的机械能,在此过程中洛伦兹力通过两个分力做功起到“传递”能量的作用。4-2如图所示,在磁感应强度为B的水平匀强磁场中,有一竖直放置的光滑的平行金属导轨,导轨平面与磁场垂直,导轨间距为L,顶端接有阻值为R的电阻。将一根金属棒从导轨上的M处以速度v0竖直向上
26、抛出,棒到达N处后返回,回到出发点M时棒的速度为抛出时的一半。已知棒的长度为L,质量为m,电阻为r。金属棒始终在磁场中运动,处于水平且与导轨接触良好,忽略导轨的电阻。重力加速度为g。(1)金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中,求:a.电阻R消耗的电能;b.金属棒运动的时间。(2)经典物理学认为,金属的电阻源于定向运动的自由电子与金属离子的碰撞。已知元电荷为e。求当金属棒向下运动达到稳定状态时,棒中答案答案见解析解析解析(1)a.金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中,由能量守恒知回路中消耗的电能Q=m-m=m电阻R消耗的电能QR=Q=金属离子对一个自由电子沿棒方向的平均作用力大小。b.方
27、法一:金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中,由动量定理有mgt+I安=m-将整个运动过程划分成很多小段,可认为在每个小段中感应电动势几乎不变,设每小段的时间为t。则安培力的冲量I安=Bi1Lt+Bi2Lt+Bi3Lt+I安=BL(i1t+i2t+i3t+)I安=BLq又q=t,=,=因为=0,所以I安=0解得t=方法二:金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中,由动量定理mgt+I安=m-将整个运动过程划分成很多小段,可认为在每个小段中感应电动势几乎不变,设每小段的时间为t。则安培力的冲量I安=v1t+v2t+v3t+I安=(v1t+v2t+v3t+)因为棒的位移为0,则v1t+v2t+v3t+=0所以I安=0解得t=(2)方法一:当金属棒向下运动达到稳定状态时mg=Fm其中Fm=解得vm=沿棒方向,棒中自由电子受到洛伦兹力evmB、电场力eE和金属离子对它的平均作用力f作用。因为棒中电流恒定,所以自由电子沿棒的运动可视为匀速运动。则f+eE=evmB又E=U=R解得f=方法二:当金属棒向下运动达到稳定状态时单位时间内机械能减少P=mgvm金属棒生热功率Pr=P回路中的电流I=设棒的横截面积为S,棒中单位体积的自由电子数为n,棒中自由电子定向运动的速度为v,金属离子对自由电子的平均作用力为f则Pr=fvI=neSv所以f=
