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1、第十三章第十三章 轴对称轴对称城关中学城关中学-贾从军贾从军 1、本节课将进行系统的梳理和复 习，让学生构建知识体系。教学提示： 对称思想 2、本章中的主要数学思想是： 转化思想分类讨论思想生生活活中中的的轴轴对对称称 轴对称轴对称 等腰三角形等腰三角形用坐标表示轴对称用坐标表示轴对称归纳与整理性质性质轴对称图形轴对称图形两个图形关于两个图形关于某条直线对称某条直线对称性质性质判定判定等边三角形等边三角形特殊 把一个图形沿着一条直线折叠，如把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。
2、就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。称。 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称。这条直线叫做对称轴。这条直线（成轴）对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点折叠后重合的点是对应点, ,叫做叫做对称点对称点. .一.轴对称图形1 1、轴对称图形：、轴对称图形：2、轴对称：、轴对称：定义：定义： 如果一个图形沿一条直线折叠，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁
3、的部分能够完全重合，这个直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形。图形叫做轴对称图形。如：等腰三角形等如：等腰三角形等要求要求：1、会判一个几何图形是否为轴对称图形、会判一个几何图形是否为轴对称图形 2、 会作轴对称图形的对称轴会作轴对称图形的对称轴AB定义定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它与另一个图形完全重合，那么就说这它与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。两个图形关于这条直线对称。要求要求：会作一个简单图形关于一会作一个简单图形关于一条直线对称的图形。条直线对称的图形。BACABC3 3、轴对称图形和轴对称的区别与联
4、系轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形轴对称图形轴对称轴对称 区别区别联系联系图形图形 (1)(1)轴对称图形是指轴对称图形是指( )( ) 具具 有特殊形状的图形有特殊形状的图形, 只只对对( ( ) ) 图图形形而而言言; ;(2)(2)对称轴对称轴( )( ) 只有一条只有一条(1)(1)轴对称是指轴对称是指( )( )图形图形 的位置关系的位置关系, ,必须涉及必须涉及 ( )( )图形图形; ;(2)(2)只有只有( )( )对称轴对称轴. .如果把轴对称图形沿对称轴如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分分成两部分, ,那么这两个图形那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称就关于这
5、条直线成轴对称. .如果把两个成轴对称的图形如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体拼在一起看成一个整体, ,那那么它就是一个轴对称图形么它就是一个轴对称图形. .一个一个一个一个不一定不一定两个两个两个两个一条一条知识回顾：4、轴对称的性质： 关于某直线对称的两个图形是全等形。关于某直线对称的两个图形是全等形。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是称轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平任何一对对应点所连线段的垂直平分线。分线。 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。所连线段的垂直平分线。
6、如果两个图形的对应点连线被同条直线垂如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 3 3、ABCABC与与DEFDEF关于直线关于直线L L成轴成轴对称，则对称，则C C是多少度？是多少度？ L650750解:3.1 1、什么叫线段垂直平分线？、什么叫线段垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的叫做这条线段的垂直平分线垂直平分线，也叫也叫中垂线。中垂线。2 2、线段垂直平分线有什么性质？、线段垂直平分线有什么性质？ 线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点与这
7、条线段的与这条线段的两个端点的距离相等两个端点的距离相等 。你能画图说明吗？二二.线段的垂直平分线线段的垂直平分线轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的中垂线。线段的中垂线。两个图形关于某条直线对称，对称轴是任何一两个图形关于某条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的中垂线对对应点所连线段的中垂线。中垂线的定义：中垂线的定义：中垂线的性质中垂线的性质：ABMNOOA=OB，MN ABMN是是AB的中垂线的中垂线MN是是AB的中垂线，的中垂线，则则CA=CBC3.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。（完备性）4.线段垂
8、直平分线的集合定义： 线段垂直平分线可以看作是线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等与线段两个端点距离相等的所的所有点的集合。有点的集合。点（点（x,y)关于关于x轴对称的点的坐标为（轴对称的点的坐标为（x,-y）点（点（x,y)关于关于y轴对称的点的坐标为（轴对称的点的坐标为（-x,y）返回如点（如点（-3，2）关于）关于x轴对称的点为轴对称的点为_如点（如点（-3，2）关于）关于y轴对称的点为轴对称的点为_（-3，-2）（3，2）三.用坐标表示轴对称小结： 在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点（点（x,
9、yx, y）关于）关于x x轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为_._.点（点（x, yx, y）关于）关于y y轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为_._.(x, y)( x, y)1、完成下表、完成下表.已知点(2,-3)(-1,2)(-6,-5)(0,-1.6)(4,0)关于x轴的对称点关于y轴的对称点(-2, -3)(2, 3)(-1,-2)(1, 2)(6, -5)(-6, 5)(0, -1.6)(0,1.6)(-4,0)(4,0)2、已知点、已知点P(2a+b,-3a)与点与点P(8,b+2).若点若点p p与点与点p p关于关于x x轴对称，则轴对称，则a=_ b=_.a=_ b
10、=_.若点若点p p与点与点p p关于关于y y轴对称，则轴对称，则a=_ b=_a=_ b=_.练 习246-20(抢答抢答)例：已知例：已知ABCABC的三个顶点的坐标分别为的三个顶点的坐标分别为A A(-3(-3，5),B(- 45),B(- 4，1),C(-11),C(-1，3)3)，作出，作出ABCABC关于关于y y轴对称的图形。轴对称的图形。解：点解：点A(-3,5),B(-4,1),C(-1,3)，关于，关于y轴对称点的轴对称点的坐标分别坐标分别A(3,5),B(4,1),C(1,3).依依次次AB,BC,CA,就得到就得到ABC关于关于y轴对称的轴对称的ABC.A31425-
11、2-4-1-301 2 3 4 5-4 -3 -2 -1cBBAC 归纳归纳: :（P44P44）先求出已知图形中的先求出已知图形中的 特殊点特殊点( (如多边形的顶点或端点如多边形的顶点或端点) )的的对应点的坐标对应点的坐标, ,描出并连接这些点描出并连接这些点, ,就可就可 得到这个图形的得到这个图形的轴对称图形轴对称图形. .x y 思考：如图思考：如图, ,分别作出点分别作出点P,M,NP,M,N关于直线关于直线x=1x=1的对称点的对称点, , 你能你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗发现它们坐标之间分别有什么关系吗? ?1531425-2 -1 012345-4-3-2-1x=1
12、P(-2,4)M(-1,1)N(5,-2)N(-3,-2)M(3,1)P(4,4)x y 点（点（x, yx, y）关于直线）关于直线x=1x=1对称的点的坐标为（对称的点的坐标为（2-x, y2-x, y）如图，分别作出如图，分别作出ABCABC关于直线关于直线x=1x=1（记为记为m) m) 和和直线直线y=-1y=-1（记为记为n n）对称的图形，）对称的图形，它们的对应点的坐标之间分别有什么关系它们的对应点的坐标之间分别有什么关系？如图： 点（点（x, yx, y）关于直线）关于直线x=1x=1对称的点的坐标为对称的点的坐标为（2-x, y2-x, y）关于直线关于直线y=-1y=-1
13、对称的点的坐标为（对称的点的坐标为（x, -2-yx, -2-y）点（点（x, yx, y）关于直线）关于直线x=mx=m对称的点的坐标为对称的点的坐标为（2m-x, 2m-x, y y）, ,关于直线关于直线y=ny=n对称的点的坐标为（对称的点的坐标为（x, 2n-yx, 2n-y）M(-4,-3)N(-4,-7)YmXOA(-4,5)B(-1,3)C(-4,1)xnD(6,5)E(6,1)F(3,3)G(-1,-5)1.1.如图，如图，ABCABC中，边中，边ABAB、BCBC的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点P P。（1 1）求证：）求证：PA=PB=PCPA=PB=PC。（2 2）
14、点）点P P是否也在边是否也在边ACAC的垂的垂直平分线上呢？由此你能得直平分线上呢？由此你能得出什么结论？出什么结论？APCB结论：三角形三条边的垂直平分结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。三个顶点的距离相等。4.利用轴对称变换作图：如图：要在燃气管道如图：要在燃气管道L L上修建一个泵站，分别向上修建一个泵站，分别向A A、B B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短输气管道线最短？ABLP1.1.有有A A、B B、C C三个村庄，现准备要建一三个村庄，现准备要
15、建一所学校，要求学校到三个村庄的距离所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置。相等，请你确定学校的位置。ABC利用轴对称变换作图：利用轴对称变换作图：1. 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）.ABMNE4. 4. 如图：如图：C C为马厩，为马厩，D D为帐篷，牧马人某一天要从马厩为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线，请你帮他确定这一天的
16、最短路线，作法：作法：1.1.作点作点C C关于直线关于直线 OAOA 的的 对称点点对称点点F,F, 2. 2. 作点作点D D关于直线关于直线 OBOB 的对称点点的对称点点E,E, 3. 3.连接连接EFEF分别交直线分别交直线OA.OBOA.OB于点于点G.HG.H，则则CG+GH+DHCG+GH+DH最短最短FAOBD CEGH证明：在直线证明：在直线OA OA 上另外任取一点上另外任取一点G G，连接，连接点点F,F,点点C C关于直线关于直线OAOA对称，点对称，点G.MG.M在在OAOA上，上，GF=GC,FM=CM,GF=GC,FM=CM, 同理同理HD=HEHD=HE，ND
17、=NE,ND=NE,CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,在四边形在四边形EFGHEFGH中，中，FG+GH+HEFG+GH+HEFEFE（两点之间，线段最短），（两点之间，线段最短），即即CG+GH+HDCG+GH+HDCM+MN+NDCM+MN+ND即即CM+MN+NDCM+MN+ND最短最短FAOBD CEMNGH5.5.如图，如图，在在RtABCRtABC中，中，C=90C=90，DEDE是是ABAB的垂直平分线，的垂直平分线，连接连接AEAE，CAECAE：DAE=1
18、DAE=1：2 2，求，求B B的度数。的度数。AEDBC6.6.如下图如下图ABCABC中，中，AC=16cmAC=16cm，DEDE为为ABAB的垂直平分线的垂直平分线， BCEBCE的周长为的周长为26cm26cm，求，求BCBC的的长。长。AEDBC7 7. .如图：在如图：在ABCABC中，中，DEDE是是ACAC的垂直平的垂直平分线分线，AC=5AC=5厘米，厘米，ABDABD的周长等于的周长等于1313厘米厘米，则，则ABCABC的周长是的周长是 。ABDEC18厘米厘米等角对等边；等角对等边；等腰三角形三线合一；等腰三角形三线合一；ABCD如图，如图，AB=AC，则有，则有B
19、C.如图，如图，AB=AC，BD=CD，则有，则有BAD= CAD.，ADBC三.（等腰三角形)知识点回顾1.1.等腰三角形的等腰三角形的性质性质. .等腰三角形等腰三角形的两个底角相等，（简写成的两个底角相等，（简写成“等边对等边对等角等角”）. .等腰三角形等腰三角形的的顶角顶角平分线、平分线、底边上底边上的中线、的中线、底边底边上上的高互相重合。（简写成的高互相重合。（简写成“三线合一三线合一”）2 2、等腰三角形的、等腰三角形的判定：判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简写成个角所对的边也相等。（简写成“等角对等边等角对
20、等边”）如果一个三角形有两个角相如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边等，那么这两个角所对的边也相等。也相等。 “等角对等边等角对等边”如图，如图，B C ，则，则有有 AB=ACABC四.（等边三角形)知识点回顾1.1.等边三角形的等边三角形的性质：性质： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于等于60600 0 。2 2、等边三角形的判定：、等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形。三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是有一个角是60600 0的等腰三角形是等边三角形。的等腰三角形是等边三角形。3.3.在直角三角形
21、中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30300 0，那么它那么它所对的直角边等于斜边的一半。所对的直角边等于斜边的一半。 1、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=AC时，时，(1)ADBC _= _;_=_(2) AD是中线是中线_; _= _(3) AD是角平分线是角平分线_ _;_=_BACDBADCADBDCDADBCBADCADADBCBDCD练习：练习：2 2、“有一有一个等腰三角形个等腰三角形的的两条边长两条边长分别是分别是4cm和和8cm，则周长为则周长为 20cm3 3、若等腰三角形的一个角为、若等腰三角形的一个角为40400 0，则另外，则另外两个角的度数为
22、两个角的度数为700,700 或或 400，10004 4、已知，如图、已知，如图: AB=AC AD=DC=BC: AB=AC AD=DC=BC则则A=A=ABCD3605、已知，如图AB=AB=CD AD=BD则BAC=ABCD10801、哪个在镜子中的像跟原来的一样？(直线表示进镜子、垂直放置在纸条前)口 木 E 目 人 晶 S N 中 田课堂练习：课堂练习： 6 6、如图，在、如图，在ABCABC中，中，AB=AC=16cmAB=AC=16cm，ABAB的的垂直平分线交垂直平分线交ACAC于于D D，如果，如果BC=10cmBC=10cm，那，那么么BCDBCD的周长是的周长是_cm.
23、_cm. ABCDE26cm7 7、如图，、如图，P P、Q Q是是ABCABC边上的两点，边上的两点，BP=PQ=QC=AP=AQBP=PQ=QC=AP=AQ，求求BACBAC的度数。的度数。PABCQ6 6、等腰三角形的一个角为、等腰三角形的一个角为100100，底角，底角为为_7 7、等腰三角形的周长为、等腰三角形的周长为16cm16cm，腰比底，腰比底长长2cm2cm，则腰长为，则腰长为_8 8、等腰三角形的一边长为、等腰三角形的一边长为3cm,3cm,另一边另一边长为长为8cm,8cm,则它的周长是则它的周长是 。9 9、如下图、如下图ABCABC中，中，AC=16cmAC=16cm，DEDE为为ABAB的垂直平的垂直平分线，分线， BCEBCE的周长为的周长为26cm26cm，求，求BCBC的长。的长。AEDBC已知，如图：已知，如图：ABCABC中中 AB=AC EAB=AC E为为ACAC延长线上的一点且延长线上的一点且CE=BD DECE=BD DE交交BCBC于于F F 求证：求证：DF=EFDF=EFABCDEF(提示:过D作DGAE交BC于G证DFGEFC即可)G
