《高考数学 3.6 简单的三角恒等变换课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 3.6 简单的三角恒等变换课件.ppt（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节简单的三角恒等变换【知【知识梳理】梳理】1.1.必会知必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填2sin2sin2 2 2cos2cos2 2 2 2 2.2.必必备结论 教材提教材提炼记一一记(1)(1)辅助角公式助角公式asinx+bcosx=_sin(x+asinx+bcosx=_sin(x+),),其中其中sinsin= ,cos= ,cos= .= .(2)tan =(2)tan =3.3.必用技法必用技法 核心核心总结看一看看一看(1)(1)常用方法常用方法: :整体代入法、数形整体代入法、数形结合法合法. .(2)(2)数学思想数学思想: :转化化化化归, ,函数与方程函数与方
2、程. .【小【小题快快练】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心思考判一判(1)(1)当当是第一象限角是第一象限角时, (, () )(2)(2)对任意角任意角, , 都成立都成立.(.() )(3)(3)半角的正余弦公式半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来就是将倍角的余弦公式逆求而得来的的.(.() )(4)(4)公式公式 中中的取的取值与与a,ba,b的的值有关有关.(.() )【解析】【解析】(1)(1)错误错误.在第一象限时在第一象限时, , 在第一或第三象限在第一或第三象限. .当当 在第一象限时在第一象限时, , ,当当 在第三象限时在第三象限时, , (2)(
3、2)错误错误. .此式子必须使此式子必须使tan tan 有意义且有意义且1+cos0.1+cos0.即即 k+ k+ 且且2k+,2k+,即即(2k+1)(kZ).(2k+1)(kZ).(3)(3)正确正确. .由半角公式推导过程可知正确由半角公式推导过程可知正确. .(4)(4)正确正确. .由由 可知可知的取值与的取值与a,ba,b的值有的值有关关. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.2.教材改教材改编 链接教材接教材练一一练(1)(1)(必修必修4P142 T4(2)4P142 T4(2)改改编) )函数函数y=2cosy=2cos2 2 +1+1的最
4、小正周期的最小正周期为. .【解析】【解析】因为因为y=2 +1=cos x+2,y=2 +1=cos x+2,所以函数的最小正周期所以函数的最小正周期T= =4.T= =4.答案答案: :44(2)(2)(必修必修4 P143B4 P143B组T2T2改改编) )若若sin80=m,sin80=m,则用含用含m m的式子表示的式子表示cos5=cos5=. .【解析】【解析】由题意由题意, ,得得sin80=cos10=m,sin80=cos10=m,又又cos10=2coscos10=2cos2 25-1,5-1,所以所以2cos2cos2 25-1=m,cos5-1=m,cos2 25=
5、5=所以所以cos5=cos5=答案答案: :3.3.真题小试真题小试 感悟考题感悟考题 试一试试一试(1)(2015(1)(2015合肥模拟合肥模拟) )已知已知cos cos ，(，2)2)，则，则cos cos 等于等于( )( )【解析】【解析】选选B.B.因为因为cos cos ，(，2)2)，所以，所以 ( ( ，)，所以，所以(2)(2014(2)(2014山东高考山东高考) )函数函数y= sin 2x+cosy= sin 2x+cos2 2x x的最小正周期为的最小正周期为_._.【解析】【解析】因为因为y= sin 2x+cosy= sin 2x+cos2 2x= sin
6、2x+ cos 2x+ x= sin 2x+ cos 2x+ =sin(2x+ )+ =sin(2x+ )+ ，所以，所以T= =.T= =.答案：答案： 考点考点1 1 利用三角恒等利用三角恒等变换化化简与与证明明【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015枣庄模庄模拟) )化化简:sin:sin2 2sinsin2 2+cos+cos2 2coscos2 2- cos2cos2=- cos2cos2=. .(2)(2)证明明:cos-cos:cos-cos= =【解题提示】【解题提示】(1)(1)可以从统一角入手进行化简可以从统一角入手进行化简. .(2)(2)联想两角和与差的余弦
7、公式联想两角和与差的余弦公式, ,进行整体变换证明进行整体变换证明. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)方法一方法一:(:(从从“角角”入手入手, ,倍角倍角单角单角) )原式原式=sin=sin2 2sinsin2 2+cos+cos2 2coscos2 2- (2cos- (2cos2 2-1)-1)(2cos(2cos2 2-1)-1)=sin=sin2 2sinsin2 2+cos+cos2 2coscos2 2- (4cos- (4cos2 2coscos2 2-2cos2cos2 2-2cos-2cos2 2+1)+1)=sin=sin2 2sinsin2 2-cos-cos2
8、 2coscos2 2+cos+cos2 2+cos+cos2 2-=sin=sin2 2sinsin2 2+cos+cos2 2sinsin2 2+cos+cos2 2-=sin=sin2 2+cos+cos2 2- =1- = .- =1- = .方法二方法二( (从从“角角”入手入手, ,单角单角倍角倍角) )原式原式= =- cos2cos2- cos2cos2= (1+cos2cos2-cos2-cos2)+ (1+cos2cos2+= (1+cos2cos2-cos2-cos2)+ (1+cos2cos2+cos2+cos2)- cos2cos2cos2+cos2)- cos2co
9、s2= .= .答案答案: :(2)(2)因为因为cos(+)=coscos-sinsin,cos(+)=coscos-sinsin,cos(-)=coscos+sinsin,cos(-)=coscos+sinsin,所以两式相减所以两式相减, ,得得cos(+)-cos(-)=-2sinsin,cos(+)-cos(-)=-2sinsin,令令+=,-=+=,-=, ,则则 所以所以cos-coscos-cos= =【一题多解】【一题多解】解答本例解答本例(1),(2),(1),(2),还有其他方法吗还有其他方法吗? ?解答本题解答本题(1),(1),还可以从统一名称和式子的形式的变化入手进
10、行化简还可以从统一名称和式子的形式的变化入手进行化简. .方法一方法一:(:(从从“名名”入手入手, ,异名化同名异名化同名) )原式原式=sin=sin2 2sinsin2 2+(1-sin+(1-sin2 2)cos)cos2 2- cos2cos2- cos2cos2=cos=cos2 2-sin-sin2 2(cos(cos2 2-sin-sin2 2)- cos2cos2)- cos2cos2=cos=cos2 2-sin-sin2 2cos2- cos2cos2cos2- cos2cos2=cos=cos2 2-cos2-cos2（sinsin2 2+ cos2+ cos2）方法二
11、方法二:(:(从从“形形”入手入手, ,利用配方法利用配方法, ,先对二次项配方先对二次项配方) )原式原式=(sinsin-coscos)=(sinsin-coscos)2 2+2sinsincos+2sinsincoscos- cos2cos2cos- cos2cos2=cos=cos2 2(+)+ sin2sin2- cos2cos2(+)+ sin2sin2- cos2cos2=cos=cos2 2(+)- cos(2+2)(+)- cos(2+2)=cos=cos2 2(+)- 2cos(+)- 2cos2 2(+)-1= .(+)-1= .答案答案: :解答本例解答本例(2),(2
12、),还可从式子的变形入手进行证明还可从式子的变形入手进行证明. .证明证明: :因为原式右因为原式右= =- =- (1+cos (1+cos -cos -cos cos -cos -cos cos )-(1-cos )-(1-cos +cos -+cos -cos cos cos cos ) )=- (2cos =- (2cos -2cos )-2cos )=cos -cos =cos -cos = =左，左，所以原等式成立，即所以原等式成立，即cos -cos cos -cos = =【规律方法】律方法】1.1.三角函数式的化三角函数式的化简遵循的三个原遵循的三个原则(1)(1)一看一看“
13、角角”,”,这是最重要的一是最重要的一环, ,通通过看角之看角之间的差的差别与与联系系, ,把把角角进行合理的拆分行合理的拆分, ,从而正确使用公式从而正确使用公式. .(2)(2)二看二看“函数名称函数名称”,”,看函数名称之看函数名称之间的差异的差异, ,从而确定使用的公从而确定使用的公式式, ,常常见的有的有“切化弦切化弦”.”.(3)(3)三看三看“结构特征构特征”,”,分析分析结构特征构特征, ,可以帮助我可以帮助我们找到找到变形的方形的方向向, ,常常见的有的有“遇到分式要通分遇到分式要通分”“”“整式因式分解整式因式分解”“”“二次式配方二次式配方”等等. .2.2.三角函数式化
14、简的方法三角函数式化简的方法弦切互化弦切互化, ,异名化同名异名化同名, ,异角化同角异角化同角; ;降幂或升幂降幂或升幂. .在三角函数式的化简中在三角函数式的化简中“次降角升次降角升”和和“次升角降次升角降”是基本的规律是基本的规律, ,根号中含有三角函数式时根号中含有三角函数式时, ,一般需要升次一般需要升次. .【变式训练】【变式训练】化简化简: : (0)=_.(0)=_.【解析】【解析】原式原式= =因为因为0,0,所以所以0 ,00,cos 0,所以原式所以原式=-cos .=-cos .答案：答案：-cos -cos 【加固训练】【加固训练】1.1.化简化简 =( ) =( )
15、A.sin B.cos C.tan D.A.sin B.cos C.tan D.【解析】【解析】选选C.C.原式原式= =2.2.化简：化简： _._.【解析】【解析】原式原式答案：答案： cos 2xcos 2x考点考点2 2 三角恒等三角恒等变换在在实际问题中的中的应用用【典例【典例2 2】(2015(2015西安模西安模拟) )如如图, ,现要在一要在一块半径半径为1 m,1 m,圆心角心角为 的扇形白的扇形白铁片片AOBAOB上剪上剪出一个平行四出一个平行四边形形MNPQ,MNPQ,使点使点P P在弧在弧ABAB上上, ,点点Q Q在在OAOA上上, ,点点M,NM,N在在OBOB上上
16、, ,设BOP=,BOP=,平行四平行四边形形MNPQMNPQ的面的面积为S.S.(1)(1)求求S S关于关于的函数关系式的函数关系式. .(2)(2)求求S S的最大的最大值及相及相应的的角角. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)虽然虽然P P点变化但点变化但OPOP不变不变, ,通过构造通过构造 与角与角所在的直所在的直角三角形角三角形, ,将平行四边形的底和高用角将平行四边形的底和高用角表示表示, ,从而求出从而求出S S关于关于的函的函数关系式数关系式.(2).(2)利用三角恒等变换先化简利用三角恒等变换先化简, ,再求再求S S的最大值及相应的的最大值及相应的角角. .【规范解
17、答】【规范解答】(1)(1)分别过分别过P,QP,Q作作PDOBPDOB于于D,QEOBD,QEOB于于E,E,则四边形则四边形QEDPQEDP为为矩形矩形. .由扇形半径为由扇形半径为1m,1m,得得PD=sin,OD=cos.PD=sin,OD=cos.在在RtOEQRtOEQ中中, ,OE= QE= PD,OE= QE= PD,MN=QP=DE=OD-OE=cos- sin,MN=QP=DE=OD-OE=cos- sin,S=MNPD=(cos- sin)sinS=MNPD=(cos- sin)sin=sincos- sin=sincos- sin2 2,(0, ).,(0, ).【互【
18、互动探究】探究】在本例中若点在本例中若点M M与与O O重合重合, ,图形形变为如如图, ,记平行四平行四边形形ONPQONPQ的面的面积为S.S.求求S S的最大的最大值. .【解析】【解析】如图如图, ,过过P P作作PDOBPDOB于于D,D,则则由扇形半径为由扇形半径为1m,1m,得得PD=sin,OD=cos,PD=sin,OD=cos,在在RtPNDRtPND中中, ,因为因为PND=AOB= ,PND=AOB= ,所以所以ND= PD= sin,ND= PD= sin,ON=OD-ND=cos- sin,ON=OD-ND=cos- sin,S=ONPD=(cos- sin)sin
19、S=ONPD=(cos- sin)sin【易【易错警示】警示】解答本解答本题有三点容易出有三点容易出错: :(1)(1)不知平行四不知平行四边形的面形的面积公式公式, ,无从下手无从下手, ,导致不会解答致不会解答. .(2)(2)不会化不会化简所求关系式致所求关系式致误. .(3)(3)忽忽视的取的取值范范围致致误. .【规律方法】律方法】三角函数三角函数应用用题的的处理方法理方法(1)(1)结合具体合具体图形引形引进角角为参数参数, ,利用三角函数的有关公式利用三角函数的有关公式进行化行化简, ,解决最解决最优化化问题. .(2)(2)解决三角函数解决三角函数应用用问题和解决一般和解决一般
20、应用性用性问题一一样, ,先建模先建模, ,再再讨论变量的范量的范围, ,最后作出最后作出结论并回答并回答问题. .【加固【加固训练】1.(20151.(2015吉林模吉林模拟) )已知直已知直线l1 1l2 2,A,A是是l1 1, ,l2 2之之间的一的一定点定点, ,并且并且A A点到点到l1 1, ,l2 2的距离分的距离分别为h h1 1,h,h2 2,B,B是直是直线l2 2上一上一动点点, ,作作ACAB,ACAB,且使且使ACAC与直与直线l1 1交于点交于点C,C,则ABCABC面面积的最小的最小值为. .【解析】【解析】如图如图, ,设设ABD=,ABD=,则则CAE=,A
21、B= ,AC= .CAE=,AB= ,AC= .所以所以S SABCABC= ABAC= ABAC=当当2= ,2= ,即即= = 时时,S,SABCABC的最小值为的最小值为h h1 1h h2 2. .答案答案: :h h1 1h h2 22.(20152.(2015海口模海口模拟) )如如图所示所示, ,已知已知OPQOPQ是半径是半径为1,1,圆心角心角为 的扇形的扇形,ABCD,ABCD是扇形的内接矩形是扇形的内接矩形,B,C,B,C两点在两点在圆弧上弧上,OE,OE是是POQPOQ的平分的平分线, ,连接接OC,OC,记COE=,COE=,问: :角角为何何值时矩形矩形ABCDAB
22、CD面面积最大最大, ,并求最大面并求最大面积. .【解析】【解析】设设OEOE交交ADAD于于M,M,交交BCBC于于N,N,显然矩形显然矩形ABCDABCD关于关于OEOE对称对称, ,而而M,NM,N均为均为AD,BCAD,BC的中点的中点, ,在在RtONCRtONC中中,CN=sin,ON=cos.,CN=sin,ON=cos.= sin,= sin,所以所以MN=ON-OM=cos- sin,MN=ON-OM=cos- sin,即即AB=cos- sin,AB=cos- sin,又又BC=2CN=2sin,BC=2CN=2sin,故故S S矩形矩形=ABBC=(cos- sin)2
23、sin=ABBC=(cos- sin)2sin=2sincos-2 sin=2sincos-2 sin2 2=sin2- (1-cos2)=sin2- (1-cos2)=sin2+ cos2- =sin2+ cos2- =因为因为0 ,0 ,所以所以02 , 2+ ,02 , 2+ ,故当故当2+ = ,2+ = ,即即= = 时时,S,S矩形矩形取得最大值取得最大值, ,此时此时S S矩形矩形=2- .=2- .考点考点3 3 三角恒等三角恒等变换在研究三角函数在研究三角函数图象与性象与性质中的中的应用用知知考情考情利用三角恒等利用三角恒等变换将三角函数式化将三角函数式化简后研究其后研究其图
24、象及性象及性质是高考是高考的的热点点. .在高考中常以解答在高考中常以解答题的形式出的形式出现, ,重点考重点考查三角函数的三角函数的值域、域、最最值、单调性、周期、奇偶性、性、周期、奇偶性、对称性等称性等问题. .明明角度角度命命题角度角度1:1:利用三角恒等利用三角恒等变换研究函数的研究函数的图象象变换【典例【典例3 3】(2014(2014浙江高考浙江高考) )为了得到函数了得到函数y=sin3x+cos3xy=sin3x+cos3x的的图象象, ,可以将函数可以将函数y= sin3xy= sin3x的的图象象( () )A.A.向右平移向右平移 个个单位位 B. B.向左平移向左平移
25、个个单位位C.C.向右平移向右平移 个个单位位 D. D.向左平移向左平移 个个单位位【解题提示】【解题提示】由函数由函数y=Asin(y=Asin(x+x+) )的图象平移与变换解决的图象平移与变换解决. .【规范解答】【规范解答】选选D.D.因为因为y=sin 3x+cos 3xy=sin 3x+cos 3x故只需将故只需将y= sin 3xy= sin 3x的图象向左平移的图象向左平移 个单位即可个单位即可. .命题角度命题角度2 2：利用三角恒等变换研究三角函数的性质利用三角恒等变换研究三角函数的性质【典例【典例4 4】(2014(2014福建高考福建高考) )已知函数已知函数f(x)
26、=cos x(sin x+cos x)f(x)=cos x(sin x+cos x) . .(1)(1)若若0 00)T= (0)求周期求周期. .(3)(3)根据自根据自变量的范量的范围确定确定x+x+的范的范围, ,根据相根据相应的正弦曲的正弦曲线或余弦或余弦曲曲线求求值域或最域或最值, ,另外求最另外求最值时, ,根据所根据所给关系式的特点关系式的特点, ,也可也可换元元转化化为二次函数的最二次函数的最值. .(4)(4)根据正、余弦函数的根据正、余弦函数的单调区区间列不等式求函数列不等式求函数y=Asin(x+y=Asin(x+)+t)+t或或y=Acos(x+y=Acos(x+)+t
27、)+t的的单调区区间. .通通一一类1.(20131.(2013湖北高考湖北高考) )将函数将函数y= cosx+sinx(xR)y= cosx+sinx(xR)的的图象向左平象向左平移移m(m0)m(m0)个个单位位长度后度后, ,所得到的所得到的图象关于象关于y y轴对称称, ,则m m的最小的最小值是是( () ) 【解析】【解析】选选B.B.由已知由已知当当m= m= 时时, ,平移后函数为平移后函数为y=2sin(x+ )=2cosx,y=2sin(x+ )=2cosx,其图象关于其图象关于y y轴对称轴对称, ,且且此时此时m m最小最小. .2.(20132.(2013江西高考江
28、西高考) )函数函数y=sin2x+2 siny=sin2x+2 sin2 2x x的最小正周期的最小正周期T T为. .【解析】【解析】因为因为y=sin2x+ (1-cos 2x)=sin2x- cos 2x+y=sin2x+ (1-cos 2x)=sin2x- cos 2x+=2sin(2x- )+ ,=2sin(2x- )+ ,所以最小正周期所以最小正周期T= =.T= =.答案答案: :3.(20143.(2014天津高考天津高考) )已知函数已知函数f(x)=cosxsin(x+ )- cosf(x)=cosxsin(x+ )- cos2 2x+x+xR.xR.(1)(1)求求f(
29、x)f(x)的最小正周期的最小正周期. .(2)(2)求求f(x)f(x)在在闭区区间 上的最大上的最大值和最小和最小值. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)利用三角恒等变换把函数利用三角恒等变换把函数f(x)f(x)的解析式化为的解析式化为Asin(x+Asin(x+)+t)+t的形式的形式, ,从而求最小正周期从而求最小正周期. .(2)(2)根据根据x x的取值范围求最值的取值范围求最值. .【解析】【解析】(1)(1)由已知，有由已知，有f(x)=cos xf(x)=cos x规范解答规范解答3 3 三角恒等变换在研究函数中的应用三角恒等变换在研究函数中的应用【典例】【典例】(12
30、(12分分)(2013)(2013陕西高考陕西高考) )已知向量已知向量a=(cos x,- ),=(cos x,- ),b=( sin x,cos 2x),xR,=( sin x,cos 2x),xR,设函数设函数f(x)=f(x)=ab. .(1)(1)求求f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期. .(2)(2)求求f(x)f(x)在在0, 0, 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .解题导思解题导思 研读信息研读信息 快速破题快速破题规范解答规范解答 阅卷标准阅卷标准 体会规范体会规范(1)f(x)=(1)f(x)=ab=cos x sin x=cos x sin x cos 2x
31、 cos 2x 2 2分分 4 4分分最小正周期最小正周期T= =.T= =.所以所以f(x)= f(x)= 的最小正周期为的最小正周期为. . 6 6分分8 8分分由正弦曲线由正弦曲线y=sin xy=sin x在在 上的图象知，上的图象知，当当2x- ,2x- ,即即x= x= 时，时，f(x)f(x)取得最大值取得最大值1;1;当当2x- ,2x- ,即即x=0x=0时，时，f(x)f(x)取得最小值取得最小值- . - . 1010分分所以，所以，f(x)f(x)在在 上的最大值和上的最大值和最小值分别为最小值分别为1,1, . .1212分分高考状元高考状元 满分心得满分心得 把握规
32、则把握规则 争取满分争取满分1.1.化简函数关系式化简函数关系式由已知条件列出函数关系式后由已知条件列出函数关系式后( (或对已知的函数关系式或对已知的函数关系式) )常先由三角恒常先由三角恒等变换化简函数关系式等变换化简函数关系式. .2.2.注意解题步骤的规范性注意解题步骤的规范性(1)(1)求最值、单调区间或由值求角时一定要注意限定角的取值范围；求最值、单调区间或由值求角时一定要注意限定角的取值范围；(2)(2)涉及涉及kk或或2k2k时要注意时要注意k k的范围，规范步骤，减少出错；的范围，规范步骤，减少出错；(3)(3)注意题目最后的总结，保证步骤的完整性注意题目最后的总结，保证步骤的完整性. .
