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1、安阳工学院 数理学院李学志李学志 2013年10月9日数学的魅力数学的魅力2前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院提提 纲纲一、数学是什么一、数学是什么二、数学的特点数学的特点三、数学与其他学科的关系三、数学与其他学科的关系四、四、数学问题数学问题五、数学五、数学中的美中的美六、六、数学语言数学语言3前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 一个人不识字可以生活，一个人不识字可以生活， 但若不识数就很难生活了！但若不识数就很难生活了！一个国家科学的进步，一个国家科学的进步， 可以用它消耗的数学来度量！可以用它消耗的数学来度量！ - -拉奥拉奥 （A.N.R
2、aoA.N.Rao）4前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 著名科学家、著名科学家、X射线的发现者射线的发现者伦琴伦琴在被问在被问到科学工作者必须具备什么素养时，他回答到科学工作者必须具备什么素养时，他回答说：说： “第一是数学，第二是数学，第三还是第一是数学，第二是数学，第三还是数学。数学。”5前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院数学是思维的体操！数学是思维的体操！ 苏联科学家苏联科学家 加里宁加里宁数学是学习其他知识的基础！数学是学习其他知识的基础！6前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院恩恩格格斯斯：数数学学是是研研究究现现
3、实实世世界界中中数数量量关关系系与与空空间间形形式式的的一一门门科学。科学。一、数学是什么一、数学是什么7前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院数学不仅是一种重要的数学不仅是一种重要的“工具工具”或或“方法方法”，也是一种思维模式，即，也是一种思维模式，即“数学方式的理性思维数学方式的理性思维”.在提高一个人的推理能力、抽象能在提高一个人的推理能力、抽象能力、分析能力和创新能力方面，数力、分析能力和创新能力方面，数学训练的作用，是其他训练难以代学训练的作用，是其他训练难以代替的。替的。一、数学是什么一、数学是什么8前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院数
4、学不仅是一门科学，也是一种数学不仅是一门科学，也是一种文化，即文化，即“数学文化数学文化”。一、数学是什么一、数学是什么9前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院数学不仅是一些知识，也是一种素质，数学不仅是一些知识，也是一种素质，即即“数学素质数学素质”。数学素质：通俗说法，把所学的数学知数学素质：通俗说法，把所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西。识都排除或忘掉后，剩下的东西。 例如：从数学的角度看问题的出发点；有条理的思例如：从数学的角度看问题的出发点；有条理的思维，严密的思考、求证；简洁、明晰、准确地表达；维，严密的思考、求证；简洁、明晰、准确地表达；在解决问题、总结
5、工作时，逻辑推理的意识和能力；在解决问题、总结工作时，逻辑推理的意识和能力；对所从事的工作，合理的量化和简化，周到到地运对所从事的工作，合理的量化和简化，周到到地运筹帷幄等。筹帷幄等。一、数学是什么一、数学是什么10前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院数学的哲学说：数学的哲学说：数学是一种哲学。数学是一种哲学。 亚里士多德亚里士多德:“新的思想家把数学与哲学看新的思想家把数学与哲学看作是相同的作是相同的”。 牛顿：牛顿：“在哲学范围内尽量把数学呈现出在哲学范围内尽量把数学呈现出来来”。一、数学是什么一、数学是什么11前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学
6、院“科科学学说说”：数数学学是是精精密密的的科科学学，“数数学是科学的皇后学是科学的皇后”。“艺术说艺术说”： “数学是一门艺术数学是一门艺术”。“工工具具说说”：“数数学学是是其其他他所所有有知知识识工工具的源泉具的源泉”。一、数学是什么一、数学是什么12前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院三个特点：三个特点： 1. 抽象性抽象性 2. 精确性精确性 3. 应用的广泛性应用的广泛性二、数学的特点二、数学的特点13前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院1、抽象性、抽象性第一、数学的研究对象本身就是抽象的第一、数学的研究对象本身就是抽象的第第二二、数数学
7、学抽抽象象的的重重点点在在于于事事物物的的数数量量关关系系和和空空间间形式形式第三、数学的抽象程度大大超过了其他学科第三、数学的抽象程度大大超过了其他学科第第四四、核核心心数数学学主主要要处处理理抽抽象象概概念念以以及及概概念念之之间间的的抽象关系抽象关系二、数学的特点二、数学的特点14前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院2、精确性、精确性 数学的精确性，表现在数学的精确性，表现在数学推理的严格数学推理的严格和和数学结论数学结论的确定的确定两方面。数学科学是依靠逻辑推理展开的，而逻辑两方面。数学科学是依靠逻辑推理展开的，而逻辑推理的严格性是大家公认的。所以，只要数学推理的
8、前提推理的严格性是大家公认的。所以，只要数学推理的前提是正确的，推理的过程又没有错误，那么得到的数学结论是正确的，推理的过程又没有错误，那么得到的数学结论一定是确定无疑的。并不是说其他学科缺乏精确性，而是一定是确定无疑的。并不是说其他学科缺乏精确性，而是说，数学的这种精确性，是与其他学科不同的，是其他学说，数学的这种精确性，是与其他学科不同的，是其他学科难以企及的。科难以企及的。二、数学的特点二、数学的特点15前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院3、应用的广泛性、应用的广泛性 数学高度的抽象性，带来了应用的极其广泛性。事物数学高度的抽象性，带来了应用的极其广泛性。事物越抽
9、象，其外延就越广泛。华罗庚（越抽象，其外延就越广泛。华罗庚（1910-19851910-1985）先生当年）先生当年说过：说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。凡是出现。凡是出现“量量”的关系的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的的关系的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学。学。二、数学的特点二、数学的特点16前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回
10、安阳工学院二、数学的特点二、数学的特点第一个例子第一个例子: :哈雷彗星的发现哈雷彗星的发现 英国天文学家英国天文学家哈雷哈雷（Edmond Edmond HalleyHalley， 1656-17421656-1742）通过计算发）通过计算发现现16821682年、年、16071607年、年、15311531年出现的年出现的彗星有类似的轨道。他判断这三颗彗星有类似的轨道。他判断这三颗彗星其实是同一颗彗星，彗星其实是同一颗彗星，彗星的轨道可能不是抛物线而是很扁的椭圆。这样彗星就会返彗星的轨道可能不是抛物线而是很扁的椭圆。这样彗星就会返回太阳系。哈雷预言上述彗星将在回太阳系。哈雷预言上述彗星将在
11、17581758年底或年底或17591759年初再次出年初再次出现。现。17591759年这颗彗星果然出现了。年这颗彗星果然出现了。17前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院二、数学的特点二、数学的特点第二个例子第二个例子: : 海王星的发现海王星的发现 如果把冥王星排除在外的话如果把冥王星排除在外的话, ,海王星是海王星是太阳系最远的行星了。它也是太阳系最远的行星了。它也是18461846年在年在数学数学计算计算的基础上被发现的。天文学家观察到，的基础上被发现的。天文学家观察到，17811781年发现的第七个行星年发现的第七个行星-天王星的运动轨天王星的运动轨道道, ,总
12、是同根据万有引力定律计算出来的有一总是同根据万有引力定律计算出来的有一定的偏离定的偏离, ,当时有人推测当时有人推测, ,在天王星轨道外还在天王星轨道外还有一个未发现的行星有一个未发现的行星, ,是它对天王星的引力引起的偏离是它对天王星的引力引起的偏离. .英国剑桥大学学生英国剑桥大学学生亚当斯亚当斯和法国年轻天文爱好者和法国年轻天文爱好者勒维列勒维列根据天王星观测资料根据天王星观测资料, ,各自独立地用各自独立地用万有引力定律计算出来了这颗新行星的轨道万有引力定律计算出来了这颗新行星的轨道, ,并于并于18461846年年9 9月月2323日晚日晚, ,德国德国的的加勒加勒在勒维列的预演位置
13、发现了这颗行星在勒维列的预演位置发现了这颗行星, ,后来命名为后来命名为海王星海王星。18前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院二、数学的特点二、数学的特点第三个例子第三个例子: : 电磁波的发现电磁波的发现 电磁波在现代的生产、生活中无处电磁波在现代的生产、生活中无处不在，是人们熟知的词汇，但很少有人不在，是人们熟知的词汇，但很少有人知道电磁波的发现本质上知道电磁波的发现本质上依赖于数学依赖于数学。英国物理学家英国物理学家麦克斯韦麦克斯韦（James Clerk James Clerk Maxwell, 1831-1879Maxwell, 1831-1879）186418
14、64年概括了从年概括了从实验中总结的电磁现象规律，用实验中总结的电磁现象规律，用数学数学方程组的形式表述出来方程组的形式表述出来，由此推导出可能存在现在称为，由此推导出可能存在现在称为“电磁波电磁波”的物质，的物质，并且应该以光速传播。据此，他提出了光的电磁理论，把光、电、磁统一起并且应该以光速传播。据此，他提出了光的电磁理论，把光、电、磁统一起来。来。2424年以后，德国物理学家年以后，德国物理学家赫兹赫兹（Heinrich Rudolf Hertz, 1857-1894Heinrich Rudolf Hertz, 1857-1894）用实验证实了电磁波的存在性，不久，意大利的用实验证实了电
15、磁波的存在性，不久，意大利的马可尼马可尼和俄国的和俄国的波波夫波波夫又在又在此基础上各自独立的发明了无线电报。从此电磁波走进了千家万户。此基础上各自独立的发明了无线电报。从此电磁波走进了千家万户。19前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 中国科学院数学物理学部有一个中国科学院数学物理学部有一个“今日数学今日数学及其应用及其应用”课题的结题报告，其中说：课题的结题报告，其中说：“数学的数学的贡献在于对整个科学技术（尤其是高技术）水平贡献在于对整个科学技术（尤其是高技术）水平的推进和提高，对科技人才的培养和滋润，对经的推进和提高，对科技人才的培养和滋润，对经济建设的繁荣，对全
16、体人民的科学思维和文化素济建设的繁荣，对全体人民的科学思维和文化素质的哺育。这四方面的作用是极为巨大的，也是质的哺育。这四方面的作用是极为巨大的，也是其他学科不能比拟的。其他学科不能比拟的。”二、数学的特点二、数学的特点20前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 数学的许多高深理论与方法正广泛深入的渗透到自然数学的许多高深理论与方法正广泛深入的渗透到自然科学的各个领域中。科学的各个领域中。高科技往往在本质上是一种数学技术。高科技往往在本质上是一种数学技术。事实上，从医学上的事实上，从医学上的CTCT技术技术到到印刷排版印刷排版的自动化，从的自动化，从飞行飞行器的模拟设计器的
17、模拟设计到到指纹的识别指纹的识别，从，从石油勘探的数据处理石油勘探的数据处理到到信信息安全技术息安全技术等等，在形形色色的技术背后，数学都扮演着等等，在形形色色的技术背后，数学都扮演着十分重要的角色，常常成为解决问题的关键。美国国家自十分重要的角色，常常成为解决问题的关键。美国国家自然科学基金委员会最近指出：然科学基金委员会最近指出：当代自然科学的研究正在日当代自然科学的研究正在日益呈现出数学化的趋势益呈现出数学化的趋势。美国国家研究委员会在一份报告。美国国家研究委员会在一份报告中把中把数学数学与与能源能源、材料材料等并列为必须优先发展的基础研究等并列为必须优先发展的基础研究领域。领域。二、数
18、学的特点二、数学的特点21前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 数学已广泛地应用到社会科学的各个领域。如用数学数学已广泛地应用到社会科学的各个领域。如用数学模型研究宏观经济，用数学手段进行社会和市场调查与预模型研究宏观经济，用数学手段进行社会和市场调查与预测，用数学理论进行风险分析和指导金融投资等等，在许测，用数学理论进行风险分析和指导金融投资等等，在许多国家已被广泛采用，在我国也开始受到重视。在经济和多国家已被广泛采用，在我国也开始受到重视。在经济和金融的理论研究上，数学的地位更加特殊。金融的理论研究上，数学的地位更加特殊。在诺贝尔经济在诺贝尔经济学奖的获得者中，数学家
19、或有研究数学经历的经济学家占学奖的获得者中，数学家或有研究数学经历的经济学家占一半以上。一半以上。 总之，数学在当代科学、文化、社会、经济和国防等总之，数学在当代科学、文化、社会、经济和国防等诸多领域中的特殊地位是不可忽视的。诸多领域中的特殊地位是不可忽视的。二、数学的特点二、数学的特点22前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 数数学学与与几几乎乎所所有有的的领领域域都都有有关关系系，这这一一点点现现在在已已经经公公认认。数数学学与与物物理理、化化学学、生生物物、天天文文等等领领域域的的联联系系，大大家家都都比比较较了了解解。实实际际上上，数数学学与与教教育育，数数学学与
20、与文文学学，数数学学与与史史学学，数数学学与与哲哲学学，数数学学与与经经济，数学与社会学等学科都有联系。济，数学与社会学等学科都有联系。三三、数学与其他学科的关系、数学与其他学科的关系23前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院下面我仅说说数学与文学的联系。下面我仅说说数学与文学的联系。 用数学方法对作品进行写作风格分析、词汇相关程度用数学方法对作品进行写作风格分析、词汇相关程度分析和句型频谱分析分析和句型频谱分析例例: :红楼梦红楼梦前八十回与后四十回的作者是否相同？前八十回与后四十回的作者是否相同？ 1980 1980年年6 6月，在美国威斯康辛大学召开的国际首届月，在美
21、国威斯康辛大学召开的国际首届红楼梦红楼梦研讨会上，来自威斯康辛大学的华裔学者研讨会上，来自威斯康辛大学的华裔学者陈炳藻先生宣读了一篇陈炳藻先生宣读了一篇从词汇上的统计论从词汇上的统计论红楼梦红楼梦的作者问题的作者问题的博士论文，引起了国际红学界的关的博士论文，引起了国际红学界的关注和兴趣。注和兴趣。 三三、数学与其他学科的关系、数学与其他学科的关系24前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 19861986年年，陈陈炳炳藻藻公公开开发发表表了了电电脑脑在在文文学学上上的的应应用用：红红楼楼梦梦与与儿儿女女英英雄雄传传两两书书作作者者的的专专著著，利利用用计计算算机机对对红红
22、楼楼梦梦前前八八十十回回和和后后四四十十回回的的用用字字进进行行了了测测定定，并并从从数数理理统统计计的的观观点点出出发发，探探讨讨红楼梦红楼梦前后用字的相关度。前后用字的相关度。 他他将将红红楼楼梦梦的的一一百百二二十十回回分分为为三三组组，每每组组四四十十回回，并并将将儿儿女女英英雄雄传传作作为为第第四四组组进进行行比比较较，从从每每组组中中任任意意取取出出八八万万字字，分分别别挑挑出出名名词词、动动词词、形形容容词词、副副词词、虚虚词词这这五五组组词词汇汇，运运用用数数理理统统计计学学，通通过过计计算算机机程程序序对对这这些些词词进进行行编编排排、统统计计、比比较较、处处理理，进进而而找
23、找出出各各组组相关程度。相关程度。 结结果果发发现现红红楼楼梦梦前前八八十十回回与与后后四四十十回回的的词词汇汇相相关关程程度度达达到到78.57%78.57%，而而红红楼楼梦梦与与儿儿女女英英雄雄传传的的词词汇汇相相关关程程度度是是32.14%32.14%。由此他推断由此他推断红楼梦红楼梦的作者为一个人的结论。的作者为一个人的结论。三三、数学与其他学科的关系、数学与其他学科的关系25前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 这个结论是否被红学界所接受，还存在一定的争论。这个结论是否被红学界所接受，还存在一定的争论。但这种方法却给许多人留下深刻的印象。但这种方法却给许多人留下
24、深刻的印象。 前苏联的著名长篇小说前苏联的著名长篇小说静静的顿河静静的顿河，也曾有过关，也曾有过关于作者的争论，有人认为该书是于作者的争论，有人认为该书是肖洛霍夫肖洛霍夫( (M.A.SholokhovM.A.Sholokhov, , 1905-1984)1905-1984)剽窃了一名无名作者的作品后加工而成。后来，剽窃了一名无名作者的作品后加工而成。后来，用上述方法类似的数学方法，还了肖洛霍夫的清白。用上述方法类似的数学方法，还了肖洛霍夫的清白。三三、数学与其他学科的关系、数学与其他学科的关系26前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 能展示数学魅力的有趣数学问题很能展示
25、数学魅力的有趣数学问题很多，这里我举几个例子。多，这里我举几个例子。（1 1）渔网的几何规律）渔网的几何规律 你是否知道，用数学方法可以证明，你是否知道，用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网，无论你织无论你用什么绳索织一片网，无论你织一片多大的网，它的一片多大的网，它的结点数（结点数（V V），网），网眼数（眼数（F F），边数（），边数（E E）都必须符合下面都必须符合下面的公式：的公式： V+F-E=1V+F-E=1四四、数学问题、数学问题27前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 网，可以是多种多样的，纷繁复杂的，但网，可以是多种多样的，纷繁复杂的，但是，他们
26、全都满足同样的规律，这里，当然是，他们全都满足同样的规律，这里，当然有其内在的本质。而有其内在的本质。而用数学方法，不但可以用数学方法，不但可以表达这种本质，还可以证明这种本质。你看，表达这种本质，还可以证明这种本质。你看，数学是不是具有某种魅力？数学是不是具有某种魅力？ 四四、数学问题、数学问题28前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 事实上，这种规律在三维的情形，就事实上，这种规律在三维的情形，就是是多面体的欧拉公式：多面体的欧拉公式：V+F-E=2V+F-E=2 这里，这里， VV表示凸多面体的表示凸多面体的顶点数顶点数，F F表示凸多面体的表示凸多面体的面数面数，
27、E E表示凸多面体表示凸多面体的的棱数棱数。你可能知道多面体的这个欧拉。你可能知道多面体的这个欧拉公式，它对任何凸多面体都普遍适用，公式，它对任何凸多面体都普遍适用，而上述关于绳索织网的公式，是欧拉公而上述关于绳索织网的公式，是欧拉公式在二维时的情形。式在二维时的情形。四四、数学问题、数学问题29前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 数学就是有这样的本领，能够把数学就是有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变得简明，把看起来混看起来复杂的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出规律乱的事物理出规律! !四四、数学问题、数学问题30前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回
28、安阳工学院（2 2）任何一个省会城市至少有两个人头发根数一样多）任何一个省会城市至少有两个人头发根数一样多 标题中给出的问题在数学上是一个存在性问题。对于存标题中给出的问题在数学上是一个存在性问题。对于存在性问题，通常有两类证明方法：一类是在性问题，通常有两类证明方法：一类是构造性证明构造性证明方法，方法，即把需要证明存在的事物构造出来，便完成了证明；一类是即把需要证明存在的事物构造出来，便完成了证明；一类是纯存在性证明纯存在性证明，并不具体给出存在的事物，而是完全依靠逻，并不具体给出存在的事物，而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。辑的力量，证明事物的存在。 上述命题如果采用构造性证明的方
29、法，就是一个一个地上述命题如果采用构造性证明的方法，就是一个一个地去数省会城市中所有人的头发根数，一定可以找到两个具体去数省会城市中所有人的头发根数，一定可以找到两个具体的人，他们的头发根数一样多，便完成了证明。的人，他们的头发根数一样多，便完成了证明。四四、数学问题、数学问题31前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 这这个个命命题题如如果果采采用用纯纯存存在在性性证证明明的的方方法法，则则完完全全是是另另外外一一种种途途径径。我我们们先先形形象象的的介介绍绍一一个个“抽抽屉屉原原理理”：四四个个苹苹果果放放在在三三个个抽抽屉屉里里，则则至至少少有有一一个个抽抽屉屉里里有
30、有两两个个或或两两个个以以上上的的苹苹果果；n n个个苹苹果果放放在在少少于于n n个个抽抽屉屉里里，则则至至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。 现现在在我我们们来来证证明明这这个个命命题题，体体会会一一下下抽抽屉屉原原理理的的用用法法。首首先先介介绍绍一一个个事事实实：任任何何一一个个人人的的头头发发根根数数都都不不会会多多于于2020万万根根。省省会会城城市市中中的的人人数数则则远远远远大大于于2020万万，例例如如5050万万人人。现现在在把把头头发发根根数数为为1 1至至头头发发根根数数为为2020万万分分别别当当作作2020万万个个抽抽屉屉，
31、把把5050万万人人放放到到2020万万个个抽抽屉屉里里，根根据据“抽抽屉屉原原理理”，则则至至少少有有一一个个抽抽屉屉里里有有两两个个或或两两个个以以上上的的人人。而而同同一一个个抽抽屉屉里里的的人人，是是头头发发根根数数一一样样多多的的人人。于于是是便便证证明明了了“任任何何一一个个省省会会城城市市至至少少存存在在两两个个头头发发根根数数一一样样多的人多的人”。这就是纯存在性的证明方法，。这就是纯存在性的证明方法，这就是数学推理的力量这就是数学推理的力量！四四、数学问题、数学问题32前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 （3 3）四色问题）四色问题 四色问题也称为四色
32、问题也称为“四色猜想四色猜想”或或“四色定理四色定理”，它于，它于18521852年年首先由一位英国大学生古色利首先由一位英国大学生古色利（Francis GuthrieFrancis Guthrie）提出。他在）提出。他在为一张英国地图着色时发现，为一张英国地图着色时发现，为为了使任意两个具有公共边界的区了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了色就够了。但他证明不了这个猜。但他证明不了这个猜想。想。四四、数学问题、数学问题33前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 100100多年来许多数学家对四色问题进行了大量研究，获
33、得多年来许多数学家对四色问题进行了大量研究，获得了一系列成果。但都没有最终证明。直到了一系列成果。但都没有最终证明。直到19721972年，美国依利年，美国依利诺大学的诺大学的哈肯哈肯（W.HakenW.Haken）和）和阿佩尔阿佩尔（K.AppelK.Appel）在前人的基）在前人的基础上，开始用计算机进行证明。到础上，开始用计算机进行证明。到19761976年年6 6月，他们终于获得月，他们终于获得成功。他们使用成功。他们使用3 3台台IBM360IBM360型超高速电子计算机，耗时型超高速电子计算机，耗时12001200小小时，终于证明了四色猜想。时，终于证明了四色猜想。四四、数学问题、
34、数学问题34前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 （4 4）素数的奥秘）素数的奥秘 “ “每一个足够大的偶数都是两个素数的和每一个足够大的偶数都是两个素数的和（简（简称称1+11+1）（）（“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”）”，“每一个足够每一个足够大的奇数都是三个素数的和（简称大的奇数都是三个素数的和（简称1+1+11+1+1）”。四四、数学问题、数学问题35前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 （1 1）黄金分割）黄金分割 定义：把任意一线段分割成两段，使定义：把任意一线段分割成两段，使 大段大段/ /全段全段= =小段小段/ /大段大段(=0.61
35、8)(=0.618)， 这样的分割叫黄金分割，这样这样的分割叫黄金分割，这样的比值叫黄金比。设黄金比为的比值叫黄金比。设黄金比为x,x,不妨设全段长为不妨设全段长为1 1，则，则大段长为大段长为x, x, 小段长为小段长为1-x1-x，固有：，固有： x/1=(1-x)/x, x/1=(1-x)/x, 即：即： 。解得：。解得： x= 0.618.x= 0.618.五五、数学中的美、数学中的美11-x1-xx x36前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 黄金分割之所以称为黄金分割之所以称为“黄金分割黄金分割”，“黄金比黄金比”之之所以称为所以称为黄金比黄金比，是比喻这一，
36、是比喻这一“分割分割”和这种和这种“比比”在在视觉上给人极大的视觉上给人极大的愉悦感愉悦感，非常难得，如黄金一样珍贵！，非常难得，如黄金一样珍贵！“黄金比黄金比”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，认为审美的要素之一，认为它表现了恰到好处的它表现了恰到好处的“和谐和谐”。 五五、数学中的美、数学中的美37前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 （a a）人体各部分的）人体各部分的 人体是美的，是因为人体的人体是美的，是因为人体的许多部分存在黄金分割、黄金比。许多部分存在黄金分割、黄金比。肚脐分割头和脚；印堂穴分割口肚脐
37、分割头和脚；印堂穴分割口和头顶；肘关节分割肩和中指，和头顶；肘关节分割肩和中指，膝盖分割髋关节和足尖等都是黄膝盖分割髋关节和足尖等都是黄金分割。金分割。五五、数学中的美、数学中的美38前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 (b)(b)著名建筑物各部分的比著名建筑物各部分的比 如埃及如埃及胡夫金字塔胡夫金字塔塔高塔高（137m137m）与底边长（）与底边长（227m227m）之）之比为比为0.6290.629；古希腊；古希腊巴特农神巴特农神殿殿，其大理石石柱廊的高度占，其大理石石柱廊的高度占整个神殿高度的整个神殿高度的0.618,0.618,都是黄都是黄金比值的近似值。金比
38、值的近似值。五五、数学中的美、数学中的美39前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院（c c）美观矩形的宽长比）美观矩形的宽长比 以黄金比为宽长比的矩以黄金比为宽长比的矩形称为形称为黄金矩形黄金矩形，给人和谐、，给人和谐、愉悦的美感，常常在建筑、愉悦的美感，常常在建筑、家具中采用。如多数国家的家具中采用。如多数国家的国旗，均采用接近黄金矩形国旗，均采用接近黄金矩形的矩形。的矩形。五五、数学中的美、数学中的美40前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院（d d）风景照片中地平线的）风景照片中地平线的位置、人在照片中的位置位置、人在照片中的位置 风景照片中的地平
39、线的风景照片中的地平线的位置，并不是安排在中间最位置，并不是安排在中间最好，往往安排在黄金分割的好，往往安排在黄金分割的位置比较美观。当然有上下位置比较美观。当然有上下两种安排，都可以构成黄金两种安排，都可以构成黄金分割。分割。五五、数学中的美、数学中的美41前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院（e e）舞台报幕者的最佳）舞台报幕者的最佳站位站位 在整个舞台宽度的在整个舞台宽度的0.6180.618处较美，小说、戏剧的高潮处较美，小说、戏剧的高潮出现在整个作品的出现在整个作品的0.6180.618处处较好。较好。五五、数学中的美、数学中的美42前页前页前页前页后页后页后页
40、后页返回返回返回返回安阳工学院（2 2）兔子问题与斐波拉契数列）兔子问题与斐波拉契数列 （a a）兔子问题：）兔子问题： 意大利数学家意大利数学家斐波拉契斐波拉契（L.FibonacciL.Fibonacci, , 1170-12501170-1250）在）在算盘书算盘书（12021202年）中曾经年）中曾经收录一个有趣的民间数学问题收录一个有趣的民间数学问题-兔子问题，兔子问题，叙述如下：设初生的兔子一个月以后成熟，叙述如下：设初生的兔子一个月以后成熟，而一对成熟的兔子每月会生一对兔子。假设而一对成熟的兔子每月会生一对兔子。假设每次生的兔子都是一雌一雄，且所有的兔子每次生的兔子都是一雌一雄，
41、且所有的兔子都不病不死。那么，由一对初生兔子开始，都不病不死。那么，由一对初生兔子开始，1212个月后会有多少对成熟兔子呢？个月后会有多少对成熟兔子呢？五五、数学中的美、数学中的美43前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院五五、数学中的美、数学中的美44前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 “斐斐波波拉拉契契数数列列”也也可可以以定定义义为为：若若一一个个数数列列，前前两两项项都都等等于于1 1，从从第第三三项项起起，每每一一项项都都是是其其前前两两项项的和，则称该数列为的和，则称该数列为“斐波拉契数列斐波拉契数列”。1 1，1 1，2 2，3 3，5
42、 5，8 8，1313，2121，3434，5555，8989，144 . 144 . 五五、数学中的美、数学中的美45前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 自自然然界界中中的的斐斐波波拉拉契契数数：大大多多数数植植物物的的花花，其其花花瓣瓣数数都都恰恰好好是是斐斐波波拉拉契契数数，如如兰兰花花、茉茉莉莉花花、百百合合花有花有3 3个花瓣。个花瓣。五五、数学中的美、数学中的美兰花兰花 茉莉花茉莉花 百合花百合花46前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 毛毛莨莨属属植植物物有有5 5个个花花瓣瓣，翠翠雀雀属属植植物物有有8 8个个花花瓣瓣，万寿菊属植物
43、有万寿菊属植物有1313个花瓣等。个花瓣等。五五、数学中的美、数学中的美毛莨毛莨 翠雀翠雀 万寿菊万寿菊47前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 树树杈杈的的数数目目是是斐斐波波拉拉契契数数；向向日日葵葵花花盘盘内内葵葵花花子子排排列列的的螺螺线线数数，松松果果种种子子的的排排列列、菜菜花花表表面面排排列列的的螺线数等，也都是斐波拉契数。螺线数等，也都是斐波拉契数。五五、数学中的美、数学中的美向日葵向日葵 松果松果 菜花菜花48前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 （3 3）圆，三角形内角之和）圆，三角形内角之和 圆是非常美丽的图形圆是非常美丽的图形
44、，圆又非常有用，其，圆又非常有用，其魅力来自多方面。圆上任何一点到圆心的距离魅力来自多方面。圆上任何一点到圆心的距离都是定长。这使得车轮能不停的平稳转动，使都是定长。这使得车轮能不停的平稳转动，使坐在车上的人没有上下起伏的感觉。另外，无坐在车上的人没有上下起伏的感觉。另外，无论大圆还是小圆，论大圆还是小圆，圆的周长与直径之比总是一圆的周长与直径之比总是一个常数个常数。而求出这个常数的近似值，竟成为历。而求出这个常数的近似值，竟成为历史上数学家投入巨大精力解决的难题，并且该史上数学家投入巨大精力解决的难题，并且该近似值的精确度的高低，竟成为一个地域数学近似值的精确度的高低，竟成为一个地域数学发展
45、程度的标志，这个常数后来被称为发展程度的标志，这个常数后来被称为圆周率，圆周率，并记作并记作。 五五、数学中的美、数学中的美49前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院三角形内角之和三角形内角之和 三角形三内角之和等于三角形三内角之和等于180180度；度；n n边形边形n n个个“内内”角角之和等于之和等于180180乘以（乘以（n-2n-2）度；）度；n n边形边形n n个个“外外”角之和等角之和等于于360360度。度。 五五、数学中的美、数学中的美50前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 客观事物都是运动和变化的。在这种运动和变化中，事物客观事物
46、都是运动和变化的。在这种运动和变化中，事物的大多性质也会随之变化；但有些性质却相对稳定，并不改的大多性质也会随之变化；但有些性质却相对稳定，并不改变，这就是变，这就是“变中有不变变中有不变”。这种变中有不变的性质，在事。这种变中有不变的性质，在事物变化时具有相对稳定性，说明物变化时具有相对稳定性，说明他反映了事物的某种本质他反映了事物的某种本质，值得我们加以专门的研究。值得我们加以专门的研究。 数学家就要有这样的眼光，善于抓住事物中的数学家就要有这样的眼光，善于抓住事物中的“变中有变中有不变不变”的性质，善于抓住事物的本质的性质，善于抓住事物的本质! !五五、数学中的美、数学中的美51前页前页
47、前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 在数学上，在数学上，“变中有不变变中有不变”的性质在许多场合出现：如的性质在许多场合出现：如不管直角三角形怎么变，但不管直角三角形怎么变，但“两直角边的平方和等于斜边的两直角边的平方和等于斜边的平方平方”（及勾股定理）的性质不变（及勾股定理）的性质不变； 线性代数中向量组中可能有许多向量，但是可以在其中线性代数中向量组中可能有许多向量，但是可以在其中找到找到“极大线性无关向量组极大线性无关向量组”，他们可以把向量组中所有其，他们可以把向量组中所有其他向量线性表示出来。极大线性无关组不是唯一的，但极大他向量线性表示出来。极大线性无关组不是唯一的
48、，但极大线性无关组中所含向量的个数是一定的，是不变的，这个不线性无关组中所含向量的个数是一定的，是不变的，这个不变量称为该向量组的变量称为该向量组的“秩秩”。五五、数学中的美、数学中的美52前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 1 1自然语言与数学语言自然语言与数学语言 （1 1）自然语言是具体语言，数学语言是形式化的语言）自然语言是具体语言，数学语言是形式化的语言 数学语言是由数学符号、数学术语和经过改造的自然数学语言是由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言构成的科学语言。语言构成的科学语言。 （2 2）数学语言使科学精确化）数学语言使科学精确化六六、数学、数学语言语
49、言53前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 2 2数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言言 （1 1）数学语言是人类文明的共同语言）数学语言是人类文明的共同语言 对于数学语言对于数学语言 和和 表达的意思，任何一个民族、表达的意思，任何一个民族、 任何一个地域的人都能明白。任何一个地域的人都能明白。 （2 2）数学语言是宇宙文明的共同语言）数学语言是宇宙文明的共同语言六六、数学、数学语言语言54前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 （3 3）数学语言的特点）数学语言的特点 （a a）明晰）明晰 含有两方面的意思含有
50、两方面的意思: : 数学语言是明确的，数学语言是有条理的。数学语言是明确的，数学语言是有条理的。 （b b）严谨）严谨 严谨是指逻辑推理的严格与谨慎。严谨是指逻辑推理的严格与谨慎。 首先，定理叙述是严谨的。首先，定理叙述是严谨的。 算术基本定理算术基本定理: : 任意一个大于任意一个大于1 1的自然数的自然数, ,都可以表都可以表 示为有限个素数示为有限个素数( (可以重复可以重复) )的乘积，并且，如果不计次序的话，表法是唯一的。的乘积，并且，如果不计次序的话，表法是唯一的。 其次，推理的过程是严谨的。其次，推理的过程是严谨的。 （c c）简洁）简洁 （d d）规范）规范六六、数学、数学语言
51、语言55前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 数学是具有魅力的数学是具有魅力的，就如同音乐、图画具有魅力一样！，就如同音乐、图画具有魅力一样！ 你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜欢图画，因为它让你赏心悦目；那么，你更应该喜欢数能喜欢图画，因为它让你赏心悦目；那么，你更应该喜欢数学，因为它像音乐一样和谐，像图画一样美丽；而且它在更学，因为它像音乐一样和谐，像图画一样美丽；而且它在更深的层面上，揭示自然和人类社会内在的规律、内在的美，深的层面上，揭示自然和人类社会内在的规律、内在的美，用简洁、漂亮的定理和公式描述世界的本质。数学，是无声用简洁、漂亮的定理和公式描述世界的本质。数学，是无声的音乐、无色的图画；的音乐、无色的图画；数学有无穷的魅力数学有无穷的魅力！ 结束语结束语56前页前页前页前页后页后页后页后页返回返回返回返回安阳工学院 谢谢大家！
