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1、高考大题专项突破一函数、导数、方程、不等式压轴大题考情分析必备知识从近五年的高考试题来看,对导数在函数中的应用的考查常常是一大一小两个题目;命题特点是:以三次函数、对数函数、指数函数及分式函数为命题载体,以切线问题、单调性问题、极值最值问题、恒成立问题、存在性问题、函数零点问题为设置条件,与参数的范围、不等式的证明,方程根的分布综合成题;重点考查学生应用分类讨论的思想、函数与方程的思想、数形结合思想及化归与转换思想来分析问题、解决问题的能力.考情分析必备知识1.常见恒成立不等式(1)ln xx+1.2.构造辅助函数的四种方法(1)移项法:证明不等式f(x)g(x)(f(x)0(f(x)-g(x
2、)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最大值;(2)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最小值;(3)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最小值;(4)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最大值;(5)x1a,b,当x2c,d时,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域与g(x)在c,d上的值域的交集非空;考情分析必备知识(6)x1a,b,x2c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c
3、,d上的值域;(7)x2c,d,x1a,b,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.题型一题型二题型三题型四突破1导数与函数的单调性、极值、最值题型一讨论单调性或求单调区间突破策略一分类讨论法例1(2017全国,文21)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)0,求a的取值范围.思路导引(1)讨论f(x)的单调性求函数的定义域求导函数 判断导函数的符号确定单调区间;(2)讨论a的取值范围求f(x)导函数确定f(x)的单调区间求f(x)取最小值解不等式f(x)max0得a的范围合并a的范围.7题型一题型二题型三题型四
4、解(1)函数f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).若a=0,则f(x)=e2x,在(-,+)单调递增.若a0,则由f(x)=0得x=ln a.当x(-,ln a)时,f(x)0.故f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增.8题型一题型二题型三题型四9题型一题型二题型三题型四解题心得利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.10题型一题型二题型三题型四对点训练对点训练1已知函数f(x)=ln x-mx(mR).(1)若m=1,求曲线y=f(x)
5、在点P(1,-1)处的切线方程;(2)讨论函数f(x)在(1,e)内的单调性.11题型一题型二题型三题型四12题型一题型二题型三题型四突破策略二构造函数法例2已知函数 (k为常数,e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行.(1)求k的值;(2)求f(x)的单调区间.13题型一题型二题型三题型四即h(x)在(0,+)内是减函数.由h(1)=0知,当0x0,从而f(x)0;当x1时,h(x)0,从而f(x)0,知f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)内单
6、调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)内的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+),无单调递减区间.17题型一题型二题型三题型四题型二求函数的极值、最值突破策略一定义法18当t(0,1)时,(t)0,(t)在(1,+)内单调递增.即当t=1时,(t)取得极小值,也为最小值.则a+b=(t)(1)=-1,故a+b的最小值为-1.题型一题型二题型三题型四19题型一题型二题型三题型四解题心得1.求最值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,比较极值与区间的端点值确定最值;2.对kf(x)恒成立,求参数k的最值问题
7、,应先求出f(x)的最值,再由此得出参数的最值.20题型一题型二题型三题型四对点训练对点训练3(2017北京高考,文20)已知函数f(x)=excos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.21题型一题型二题型三题型四突破策略二分类讨论法例4已知函数f(x)=ex-e-x-2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x0时,g(x)0,求b的最大值.22题型一题型二题型三题型四解(1)f(x)=ex+e-x-20,当且仅当x=0时等号成立,所以f(x)在(-,+)内单调递增.(2)g(
8、x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,g(x)=2e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).当b2时,g(x)0,当且仅当x=0时等号成立,所以g(x)在(-,+)内单调递增.而g(0)=0,所以对任意x0,g(x)0;当b2时,若x满足2ex+e-x2b-2,23题型一题型二题型三题型四解题心得依据题意,对参数分类,分类后相当于增加了一个已知条件,在增加条件的情况下,对参数的各个范围逐个验证是否适合题意,最后适合题意的范围即为所求范围,这个范围的最大值也就求出了.24题型一题型二题
9、型三题型四对点训练对点训练4(2017辽宁鞍山一模,文20)已知函数f(x)=ln x- ax2+x, aR.(1)当a=0时,求函数f(x)的图象在(1,f(1)处的切线方程;(2)令g(x)=f(x)-ax+1,求函数g(x)的极值.25题型一题型二题型三题型四26题型一题型二题型三题型四题型三证明函数有最值并求最值范围突破策略零点分布法27题型一题型二题型三题型四28题型一题型二题型三题型四当0xxa时,f(x)+a0,g(x)xa时,f(x)+a0,g(x)0,g(x)单调递增.29题型一题型二题型三题型四30题型一题型二题型三题型四解题心得在证明函数f(x)有最值及求最值范围时,若f
10、(x)=0解不出,可运用零点存在性定理求出极值点t存在的范围,从而用t表示出最值,此时最值是关于t的函数,通过函数关系式求出最值的范围.31题型一题型二题型三题型四对点训练对点训练5(2017辽宁大连一模)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x+2)2(x0).(1)若f(x)是(0,+)内的增函数,求实数a的取值范围;(2)当 时,求证:函数f(x)有最小值,并求函数f(x)最小值的取值范围.32题型一题型二题型三题型四33题型一题型二题型三题型四题型四与极值、最值有关的证明问题突破策略等价转换法例6(2017河南商丘二模)已知函数f(x)=ln x-2ax,aR.(1)若函数y=f(x)
11、的图象存在与直线2x-y=0垂直的切线,求实数a的取值范围;34题型一题型二题型三题型四35题型一题型二题型三题型四36题型一题型二题型三题型四解题心得将已知条件进行转换或将要解决的问题进行等价转换是解决函数问题的常用方法,通过转换变陌生问题为熟悉问题,从而得到解决.37题型一题型二题型三题型四对点训练对点训练6(2017河北武邑中学一模,文21)已知函数f(x)=e2x-4aex-2ax,g(x)=x2+5a2,aR.(1)若a=1,求f(x)的递增区间;(2)若f(x)在R上单调递增,求a的取值范围;(3)记F(x)=f(x)+g(x),求证:F(x)38题型一题型二题型三题型四39题型一
12、题型二突破2导数与不等式及参数范围题型一求参数的取值范围(多维探究)突破策略一从条件中构造函数例1已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程;(2)若当x(1,+)时,f(x)0,求a的取值范围.40题型一题型二41题型一题型二42题型一题型二43题型一题型二解题心得用导数解决满足函数不等式条件的参数范围问题,一般都需要构造函数,然后对构造的函数求导,一般导函数中都含有参数,通过对参数讨论确定导函数的正负,由导函数的正负确定构造函数的单调性,再由单调性确定是否满足函数不等式,由此求出参数范围.44题型一题型二对点训练对点
13、训练1(2017辽宁大连一模,文20)已知函数f(x)=ax-ln x.(1)过原点O作函数f(x)图象的切线,求切点的横坐标;(2)对x1,+),不等式f(x)a(2x-x2)恒成立,求实数a的取值范围.45题型一题型二46题型一题型二47题型一题型二解(1)f(x)的定义域为R,f(x)= ,由f(x)=0,得x=0,由f(x)0,得x0,由f(x)0,所以f(x)的单调递增区间为(-,0),单调递减区间为(0,+),f(x)max=f(0)=1,当x+时,y0,当x-时,y-,所以m的取值范围是(0,1).(2)由(1)知,x1(-1,0),要证x2-x10,只需证f(x2)f(-x1)
14、,因为f(x1)=f(x2)=m,所以只需证f(x1)x2,有mf(x1)-f(x2)g(x1)-g(x2)恒成立,求实数m的取值范围.50题型一题型二51题型一题型二突破策略三分离参数后构造函数52题型一题型二53题型一题型二54题型一题型二解题心得有些函数与导数的综合问题即使构造函数正确,也存在分类讨论相当复杂的情形,难以继续作答.可以利用分离参数法简化构造函数,使得问题简单求解.若求导后不易得到极值点,可二次求导,还不行时,就使用参数讨论法,即以参数为分类标准,看是否符合题意.55题型一题型二对点训练对点训练3(2017安徽合肥一模,文21)已知函数f(x)= (aR).(1)求函数f(
15、x)的单调区间;(2)若x1,+),不等式f(x)-1恒成立,求实数a的取值范围.56题型一题型二57题型一题型二题型二证明不等式(多维探究)突破策略一作差构造函数例4已知函数f(x)=ln x-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x(1,+)时,(3)设c1,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.思路导引证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx设g(x)=1+(c-1)x-cx,证g(x)0,通过对g(x)求导判断g(x)的单调性,再由g(x)的单调性和g(x)的几个特殊值证出g(x)0.58题型一题型二59题型一题型二60题型一题型二解题心得1.欲证函数不等式f(x)g
16、(x)(xa),只需证明f(x)-g(x)0(xa),设h(x)=f(x)-g(x),即证h(x)0.若h(a)=0,h(x)h(a)(xa).接下来往往用导数证得函数h(x)是增函数即可.2.欲证函数不等式f(x)g(x)(xI,I是区间),只需证明f(x)-g(x)0(xI).设h(x)=f(x)-g(x)(xI),即证h(x)0,也即证h(x)min0(xI)(若h(x)min不存在,则须求函数h(x)的下确界),而这用导数往往容易解决.3.证明f(x)g(x)(xI,I是区间),只需证明f(x)ming(x)max;证明f(x)g(x)(xI,I是区间),只需证明f(x)ming(x)
17、max,或证明f(x)ming(x)max且两个最值点不相等.61题型一题型二对点训练对点训练4(2017广东汕头高三期末)已知f(x)=ex-ax2,曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为y=bx+1.(1)求a,b的值;(2)求f(x)在0,1上的最大值;(3)证明:当x0时,ex+(1-e)x-1-xln x0.(1)解f(x)=ex-2ax,由题设得f(1)=e-2a=b,f(1)=e-a=b+1,解得a=1,b=e-2.(2)解由(1)知f(x)=ex-x2,f(x)=ex-2x,设h(x)=ex-2x,h(x)=ex-2.f(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,
18、+)上单调递增,所以f(x)f(ln 2)=2-2ln 20,f(x)在0,1上单调递增,f(x)max=f(1)=e-1.62题型一题型二(3)证明f(0)=1,由(2)知,f(x)过点(1,e-1),且y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(e-2)x+1,故可猜测当x0,x1时,f(x)的图象恒在切线y=(e-2)x+1的上方.下证:当x0时,f(x)(e-2)x+1.设g(x)=f(x)-(e-2)x-1=ex-x2-(e-2)x-1,则g(x)=ex-2x-(e-2),设k(x)=ex-2x-(e-2),k(x)=ex-2.g(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+)上单
19、调递增,又g(0)=3-e0,g(ln 2)=2-2ln 2-e+2=4-2ln 2-e0;当x(x0,1)时,g(x)1.65题型一题型二66题型一题型二67题型一题型二解题心得证明不等式f(x)g(x)成立,可以构造函数H(x)=f(x)-g(x),通过证明函数H(x)的最小值大于等于零即可,可是有时候利用导数求函数H(x)的最小值不易,可证明f(x)的最小值大于等于g(x)的最大值即可.68题型一题型二对点训练对点训练5已知函数f(x)=aexln x,曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+2ey=0垂直.(1)求a的值;(2)证明xf(x)1-5ex-1.69题型一题型二70题型一
20、题型二突破策略三放缩、控元构造函数例6(2013全国)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m2时,证明f(x)0.71题型一题型二72题型一题型二解题心得判断函数f(x)的单调性可求f(x)0或f(x)0或f(x)0时,f(x)2a+aln .思路导引(1)讨论f(x)零点的个数要依据f(x)的单调性,应用零点存在性定理进行判断.76题型一题型二题型三77题型一题型二题型三解题心得研究函数零点或方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,并借助函数的大致图象判断函数零点或方程根的情况.78题
21、型一题型二题型三对点训练对点训练1已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a的值;(2)证明:当k0.当x0时,g(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)单调递增,g(-1)=k-10,所以g(x)=0在(-,0有唯一实根.当x0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)xh(x).h(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+)内单调递增,所以g(x)h(x)h(2)=0,所以g(x)=0在(0,+)内没有实根.综上,g(x)=0在R有唯一实根,即曲线y=f(
22、x)与直线y=kx-2只有一个交点.80题型一题型二题型三突破策略二分类讨论法例2已知函数f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-ln x.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.思路导引(1)设切点(x0,0),依题意f(x0)=0,f(x0)=0,得关于a,x0的方程组解之.(2)为确定出h(x),对自变量x0分类讨论;确定出h(x)后,对参数a分类讨论h(x)零点的个数,h(x)零点的个数的确定要依据h(x)的单调性和零点存在性定理.81题型一题型二题型三82题型一
23、题型二题型三83题型一题型二题型三84题型一题型二题型三解题心得1.如果函数中没有参数,那么可以直接一阶求导得出函数的极值点,判断极值点大于0和小于0的情况,进而判断函数零点的个数.2.如果函数中含有参数,那么一阶导数的正负往往不好判断,这时要对参数进行分类,在参数的小范围内判断导数的符号.如果分类也不好判断,那么需要对一阶导函数进行再次求导,在判断二阶导数的正负时,也可能需要分类.85题型一题型二题型三对点训练对点训练2(2017福建莆田一模,文21)已知函数f(x)=2x3-3x2+1,g(x)=kx+1-ln x.(1)设函数 当k0时,讨论h(x)零点的个数;(2)若过点P(a,-4)
24、恰有三条直线与曲线y=f(x)相切,求a的取值范围.g(x)0,g(x)在1,+)上单调递减,g(x)的最大值为g(1)=k+1.当k-1时,g(1)0,g(x)在1,+)上无零点;当k=-1时,g(1)=0,g(x)在1,+)上有1个零点;当-1k0,g(e)=ke0,g(x)在1,+)上有1个零点;综上所述,k-1时,h(x)有1个零点;-1k0,a1).(1)当a1时,求证:函数f(x)在(0,+)上单调递增;(2)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值.思路导引(1)先求f(x)的导函数f(x),再证明f(x)0.(2)由题意知当a0,a1时,f(x)=0有唯一解x=0,y
25、=|f(x)-t|-1有三个零点f(x)=t1有三个根,从而t-1=f(x)min=f(0)=1,解t即得.89题型一题型二题型三(1)证明f(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a,由于a1,当x(0,+)时,ln a0,ax-10,所以f(x)0,故函数f(x)在(0,+)上单调递增.(2)解当a0,a1时,f(x)=2x+(ax-1)ln a,f(x)=2+ax(ln a)20,f(x)在R上单调递增,f(0)=0,故f(x)=0有唯一解x=0,x,f(x),f(x)的变化情况如下表所示:又函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,方程f(x)=t1有三个根,而t+
26、1t-1,所以t-1=f(x)min=f(0)=1,解得t=2.90题型一题型二题型三解题心得在已知函数y=f(x)有几个零点求f(x)中参数t的值或范围问题时,经常从f(x)中分离出参数t=g(x),然后用求导的方法求出g(x)的最值,再根据题意求出参数t的值或范围.91题型一题型二题型三对点训练对点训练3已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(aR).(1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在 上有两个零点,求实数m的取值范围.92题型一题型二题型三93题型一题型二题型三94题型一题型二题型三95题型一题型二题型三96题型一题型二题
27、型三97题型一题型二题型三解题心得在已知函数零点个数的情况下,求参数的范围问题,通常采用分类讨论法,依据题目中的函数解析式的构成,将参数分类,在参数的小范围内研究函数零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各个小范围并在一起,即为所求参数范围.98题型一题型二题型三对点训练对点训练4已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解(1)f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).()设a0,则当x(-,1)时,f(x)0.所以f(x)在(-,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增.99题型一题
28、型二题型三100题型一题型二题型三101题型一题型二题型三题型三与函数零点有关的证明问题突破策略等价转换后构造函数证明例5(2017宁夏中卫二模)设函数f(x)=x2-aln x,g(x)=(a-2)x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数F(x)=f(x)-g(x)有两个零点x1,x2,求满足条件的最小正整数a的值;102题型一题型二题型三103题型一题型二题型三104题型一题型二题型三105题型一题型二题型三106题型一题型二题型三解题心得证明与零点有关的不等式,函数的零点本身就是一个条件,即零点对应的函数值为0,证明的思路一般对条件等价转化,构造合适的新函数,利用导数知识探讨该函数的性质(如单调性、极值情况等),再结合函数图象来解决.107题型一题型二题型三1+a0,即a-1,x(0,+)时,h(x)0,h(x)在(0,+)递增;a+10,即a-1,x(0,1+a)时,h(x)0,h(x)在(0,1+a)递减,在(1+a,+)递增,综上,当a-1时,h(x)在(0,1+a)递减,在(1+a,+)递增,当a-1时,h(x)在(0,+)递增.108题型一题型二题型三109
