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1、第一章第一章绪绪 论论2007年9月5日星期三1【课前思考】【课前思考】 你过去是否听说过你过去是否听说过数据结构数据结构？你知？你知道数据结构是一门讨论什么内容的学科吗？道数据结构是一门讨论什么内容的学科吗？ 同学们见过算法算法+数据结构数据结构=程序设程序设计计这本书吧，它正好说明数据结构的实质是讨论程序设计的方法。通过这门课的学习，同学们将掌握非数值计算程序设计中用的基本方法和技巧。2007年9月5日星期三2【学习目标】【学习目标】 熟悉各名词、术语的含义，掌握基本概念。理解算法五个要素的确切含义。掌握计算语句频度和估算算法时间复杂度的方法。【重点和难点】【重点和难点】 本章讨论的都是一
2、些基本概念，因此没有难点，重点在于了解有关数据结构的各个名词和术语的含义，以及语句频度和时间复杂度、空间复杂度的估算 。【知识点】【知识点】 数据、数据元素、数据结构、数据类型、抽象数据类型、算法及其设计原则、时间复杂度、空间复杂度。2007年9月5日星期三3【学习指南】【学习指南】 1. 熟悉各名词、术语的含义，掌握基本概念，特别是数据的逻辑结构和存储结构之间的关系。分清哪些是逻辑结构的性质，哪些是存储结构的性质。2. 了解抽象数据类型的定义、表示和实现方法。3. 熟悉类C语言的书写规范，特别要注意值调值调用用和引用调用引用调用的区别，输入、输出的方式以及错误处理方式。4. 理解算法五个要素
3、的确切含义和对算法正确性的理解。5. 掌握计算语句频度和估算算法时间复杂度的方法。2007年9月5日星期三41.1 数据结构讨论的范畴数据结构讨论的范畴1.2 基本概念基本概念1.3 算法和算法的量度算法和算法的量度2007年9月5日星期三51.11.1 数据结构讨论的范畴数据结构讨论的范畴Niklaus Wirth： Algorithm + Data Structures = Programs程序设计程序设计: :算法算法: 数据结构数据结构: 为计算机处理问题编制 一组指令集 处理问题的策略处理问题的策略问题的数学模型问题的数学模型2007年9月5日星期三6 结构静力分析计算 例如例如:
4、数值计算的程序设计问题 线性代数方程组 环流模式方程 (球面坐标系)全球天气预报 2007年9月5日星期三7非数值计算的程序设计问题例一例一: 求一组(n个)整数整数中的最大值算法: ? ?模型：？基本操作是“比较两个数的大小比较两个数的大小”取决于整数值的范围整数值的范围2007年9月5日星期三8例二：例二：计算机对弈算法：?模型：?对弈的规则和策略棋盘及棋盘的格局2007年9月5日星期三9例三：例三：足协的数据库管理算法：?模型：?需要管理的项目？如何管理？ 用户界面？各种表格2007年9月5日星期三10概括地说：概括地说： 数据结构是一门讨论数据结构是一门讨论“描述现描述现实世界实体的数
5、学模型实世界实体的数学模型( (非数值计非数值计算算) )及其上的操作在计算机中如何及其上的操作在计算机中如何表示和实现表示和实现”的学科。的学科。2007年9月5日星期三111.2 基本概念基本概念一、数据与数据结构一、数据与数据结构二、数据类型二、数据类型三、抽象数据类型三、抽象数据类型2007年9月5日星期三12一、数据与数据结构一、数据与数据结构所有能被输入被输入到计算机中，且能被计算机处理的符号处理的符号的集合。数据数据: :是计算机操作的对象计算机操作的对象的总称。是计算机处理的信息的信息的某种特定的符号表示形式表示形式。2007年9月5日星期三13是数据（集合）中的一个“个体个体
6、”数据元素数据元素: :是数据结构中讨论的基本基本单位数据对象是性质相同的数据元素的集合 是数据的子集2007年9月5日星期三14 数据项：数据项：是数据结构中讨论的最小最小单位数据元素可以是数据项的集合数据元素可以是数据项的集合例如：描述一个运动员的数据元素可以是称之为组合项称之为组合项2007年9月5日星期三15数据结构：数据结构： 带结构结构的数据元素的集合假设用三个三个 4 位的十进制数位的十进制数表示一个含 12 位位数的十进制数。数的十进制数。3214,6587,9345 a1(3214),a2(6587),a3(9345)则在数据元素 a1、a2 和 a3 之间存在着“次序次序”
7、关系关系 a1,a2 、 a2,a3 3214，6587，9345 a1 a2 a3 6587，3214，9345 a2 a1 a3例如例如: :2007年9月5日星期三16又例，在2行3列的二维数组a1, a2, a3, a4, a5, a6中六个元素之间存在两个关系:行的次序关系行的次序关系:列的次序关系列的次序关系: :row = ,col = , a1 a3 a5 a2 a4 a6 a1 a2 a3a4 a5 a6数据结构：数据结构： 带结构结构的数据元素的集合2007年9月5日星期三17再例，在一维数组 a1, a2, a3, a4, a5, a6 的数据元素之间存在如下的次序关系次
8、序关系:| i=1, 2, 3, 4, 5 或者说，数据结构数据结构是相互之间存在着某相互之间存在着某种关系的数据元素的集合种关系的数据元素的集合。数据结构：数据结构： 带结构结构的数据元素的集合可见，不同的“关系关系”构成不同的“结构结构”2007年9月5日星期三18数据结构包括以下几个方面：数据结构包括以下几个方面：数据元素之间的逻辑关系，即逻辑结构逻辑结构数据元素及其关系在计算机存储器中的存储方式，即数据的存储结构存储结构施加在该数据上的操作，即数据的运算数据的运算2007年9月5日星期三19数据的逻辑结构逻辑结构可归结为以下四类四类: :线性线性结构树形树形结构图状图状结构集合集合结构
9、2007年9月5日星期三20数据结构的形式定义数据结构的形式定义为:数据结构数据结构是一个二元组 Data_Structures = (D, S)其中:D 是数据元素的有限集数据元素的有限集， S 是 D上关系的有限集关系的有限集。2007年9月5日星期三21数据的存储结构存储结构( (物理结构物理结构) ) 逻辑结构在存储器中的映象映象“数据元素”的映象 ？“关系”的映象 ？2007年9月5日星期三22数据元素的映象方法：数据元素的映象方法：用二进制位(bit)的位串表示数据元素(321)10 = (501)8 = (101000001)22007年9月5日星期三23关系的映象方法：关系的映
10、象方法：（表示x, y的方法）顺序映象顺序映象( (顺序存储方法顺序存储方法) )以相对的存储位置表示后继关系以相对的存储位置表示后继关系例如例如: :令 y 的存储位置和 x 的存储位置之间差一个常量 C而 C 是一个隐含值，整个存储结构中只整个存储结构中只含数据元素本身的信息含数据元素本身的信息 x y2007年9月5日星期三24链式映象链式映象( (链式存储方法链式存储方法) )需要用一个和 x 在一起的附加信息附加信息指示 y 的存储位置y x 不要求在逻辑上相邻的结点在物理位置上也相邻，结点间的逻辑关系由附加 的指针字段表示。2007年9月5日星期三25索引存储方法索引存储方法 存储
11、结点信息的同时，建立附加的索索引表引表。 索引表中的每一项称为索引项，索引项的一般形式是关键字与地址。散列散列( (或哈希或哈希) )存储方法存储方法 根据结点的关键字通过散列函数直接计算出一个值，并将这个值作为该结点的存储地址。2007年9月5日星期三26在不同的编程环境中，存储结构可有不同的描述方法。当用高级程序设计语言进行编程时，通常可用高级编程语言中提供的数据类型描述之。2007年9月5日星期三27例如例如: : 以三个带有次序关系的整数表示一个长整数时，可利用 C 语言中提供的整数数组类型。 typedef int Long_int 3定义长整数定义长整数为:2007年9月5日星期三
12、28二、数据类型二、数据类型 在用高级程序语言编写的程序中，必须对程序中出现的每个变量、常量或表达式，明确说明明确说明它们所 属的数据类型数据类型。2007年9月5日星期三29例如，C 语言中提供的基本数据类型基本数据类型有:整型整型 int浮点型浮点型 float字符型字符型 char逻辑型逻辑型 bool （ C+语言）语言）双精度型双精度型 double实型（实型（ C+语言）语言）2007年9月5日星期三30 数据类型数据类型 是一个 值的集合值的集合和定义在此集合上的 一组操作一组操作的总称。 不同类型的变量，其所能取的值的值的范围范围不同，所能进行的操作进行的操作不同。2007年9
13、月5日星期三31三、抽象数据类型三、抽象数据类型 (Abstract Data Type 简称简称ADT) 是指一个数学模型以及是指一个数学模型以及定义在此数学模型上的一定义在此数学模型上的一组操作。组操作。2007年9月5日星期三32例如，例如，抽象数据类型复数复数的定义： 数据对象：数据对象： De1,e2e1,e2RealSet 数据关系：数据关系： R1 | e1是复数的实数部分 | e2 是复数的虚数部分 ADT Complex 2007年9月5日星期三33基本操作：基本操作： AssignComplex( &Z, v1, v2 )操作结果：构造复数 Z,其实部和虚部 分别被赋以参数
14、 v1 和 v2 的值。 DestroyComplex( &Z)操作结果：复数Z被销毁。 GetReal( Z, &realPart )初始条件：复数已存在。操作结果：用realPart返回复数Z的实部值。2007年9月5日星期三34 GetImag( Z, &ImagPart )初始条件：复数已存在。操作结果：用ImagPart返回复数Z的虚部值。 Add( z1,z2, &sum )初始条件：z1, z2是复数。操作结果：用sum返回两个复数z1, z2 的 和值。 ADT Complex2007年9月5日星期三35假设:z1和z2是上述定义的复数则 Add(z1, z2, z3) 操作的
15、结果z3 = z1 + z2即为用户企求的结果2007年9月5日星期三36ADT 有两个重要特征:数据抽象数据抽象 用ADT描述程序处理的实体时，强调的是其本质的特征本质的特征、其所能完成的其所能完成的功能功能以及它和外部用户的接口外部用户的接口（即外界外界使用它的方法使用它的方法）。数据封装数据封装 将实体的外部特性和其内部外部特性和其内部实现细节分离实现细节分离，并且对外部用户隐藏对外部用户隐藏其内部实现细节。其内部实现细节。2007年9月5日星期三37抽象数据类型的描述方法抽象数据类型的描述方法抽象数据类型可用（D，S，P）三元组表示。其中：D 是数据对象； S 是 D 上的关系集； P
16、 是对 D 的基本操作集。 2007年9月5日星期三38ADT 抽象数据类型名抽象数据类型名 数据对象：数据对象：数据对象的定义 数据关系：数据关系：数据关系的定义 基本操作：基本操作：基本操作的定义 ADT 抽象数据类型名其中基本操作的定义格式为:基本操作名基本操作名（参数表） 初始条件：初始条件：初始条件描述 操作结果操作结果：操作结果描述 2007年9月5日星期三39赋值参数赋值参数 只为操作提供输入值。引用参数引用参数 以&打头，除可提供输入值外，还将返回操作结果。初始条件初始条件 描述了操作执行之前数据结构和参数应满足的条件，若不满足，则操作失败，并返回相应出错信息。操作结果操作结果
17、 说明了操作正常完成之后，数据结构的变化状况和应返回的结果。若初始条件为空，则省略之。2007年9月5日星期三40抽象数据类型的表示和实现抽象数据类型的表示和实现 抽象数据类型需要通过固有数据固有数据类型类型(高级编程语言中已实现的数据类型)来实现。例如，对以上定义的复数。2007年9月5日星期三41typedef struct float realpart； float imagpart；complex；/ -存储结构的定义存储结构的定义/ -基本操作的函数原型说明基本操作的函数原型说明void Assign( complex &Z, float realval, float imagval
18、 )；/ 构造复数 Z,其实部和虚部分别被赋以参数 / realval 和 imagval 的值2007年9月5日星期三42float GetReal( cpmplex Z )； / 返回复数 Z 的实部值float Getimag( cpmplex Z )； / 返回复数 Z 的虚部值void add( complex z1, complex z2, complex &sum )； / 以 sum 返回两个复数 z1, z2 的和 2007年9月5日星期三43/ -基本操作的实现基本操作的实现void add( complex z1, complex z2, complex &sum ) /
19、 以 sum 返回两个复数 z1, z2 的和 sum.realpart = z1.realpart + z2.realpart; sum.imagpart = z1.imagpart + z2.imagpart; 其它省略 2007年9月5日星期三441.4 1.4 算法和算法分析算法和算法分析一、算法一、算法二、算法设计的原则二、算法设计的原则三、算法效率的衡量方法和准则三、算法效率的衡量方法和准则四、算法的存储空间需求四、算法的存储空间需求2007年9月5日星期三45 算法算法是为了解决某类问题而规定的一个有限长的操作序列操作序列。一个算法必须满足以下五五个重要特性特性：1 1有穷性有穷
20、性 2 2确定性确定性 3 3可行性可行性4 4有输入有输入 5 5有输出有输出一、算法一、算法2007年9月5日星期三461 1有穷性有穷性 对于任意一组合法输入值，在执行有穷步骤有穷步骤之后一定能结束，即：算法中的每个步骤都能在有限时间有限时间内完成。 2 2确定性确定性 对于每种情况每种情况下所应执行的操作，在算法中都有确切确切的规定，使算法的执行者或阅读者都能明确其含义及如何执行。并且并且在任何条件下，算法都只有一条在任何条件下，算法都只有一条执行路径。执行路径。2007年9月5日星期三473 3可行性可行性 算法中的所有操作都必须足够基本，都可以通过已经实现的基本操作运算有限次实现之
21、。4 4有输入有输入 作为算法加工对象的量值，通常体现为算法中的一组变量。有些输入量需要在算法执行过程中输入，而有的算法表面上可以没有输入，实际上已被嵌入算法之中。2007年9月5日星期三48 5 5有输出有输出 它是一组与“输入”有确定关系的量值，是算法进行信息加工后得到的结果，这种确定关系即为算法的功能。2007年9月5日星期三49二、算法设计的原则二、算法设计的原则设计算法时，通常应考虑达到以下目标：1正确性正确性2. . 可读性可读性3健壮性健壮性4高效率与低存储量需求高效率与低存储量需求2007年9月5日星期三501 1正确性正确性 首先，首先，算法应当满足满足以特定的“规格规格说明
22、说明”方式给出的需求需求。 其次，其次，对算法是否“正确正确”的的理解可以有以下四个层次四个层次：a a程序中不含语法错误；b b程序对于几组输入数据能够得出满足要求的结果；2007年9月5日星期三51 c c程序对于精心选择的、典型、苛刻且程序对于精心选择的、典型、苛刻且带有刁难性的几组输入数据能够得出满足带有刁难性的几组输入数据能够得出满足要求的结果；要求的结果；通常以第 c c 层意义的正确性作为衡量一个算法是否合格的标准。 d d程序对于一切合法的输入数据都能得出满足要求的结果；2007年9月5日星期三522. . 可读性可读性 算法主要是为了人的阅读与交流阅读与交流，其次才是为计算机
23、执行，因此算法应该易于易于人的理解理解；另一方面，晦涩难读的程序易于隐藏较多错误而难以调试。解决可读性的方法： 1.程序结构清晰,层次分明 2.变量名命名规范易懂 3.提供程序注释2007年9月5日星期三533健壮性健壮性 当输入的数据非法非法时，算法应当恰当地作出反映或进行相应处理进行相应处理，而不是产生莫名奇妙的输出结果。并且，处理出处理出错的方法错的方法不应是中断程序的执行，而应是返回返回一个表示错误或错误性质的值表示错误或错误性质的值，以便在更高的抽象层次上进行处理。2007年9月5日星期三544高效率与低存储量需求高效率与低存储量需求通常，效率指的是算法执行时间；存储量指的是算法执行
24、过程中所需的最大存储空间，两者都与问题的规模有关。2007年9月5日星期三55三三、算法效率的、算法效率的 衡量方法和准则衡量方法和准则通常有两种两种衡量算法效率的方法: 事后统计法事后统计法事前分析估算法事前分析估算法缺点：缺点：1必须执行程序 2其它因素掩盖算法本质2007年9月5日星期三56和算法执行时间时间相关的因素因素：1 1算法算法选用的策略的策略2 2问题的规模问题的规模3 3编写程序的语言语言4 4编译编译程序产生的机器代码的质量的质量5 5计算机计算机执行指令的速度的速度2007年9月5日星期三57 一个特定算法的算法的“运行工作量运行工作量”的大小，只依赖于问题的规模（通常
25、用整数量n表示），或者说，它是问题规模的函数是问题规模的函数。2007年9月5日星期三58 假如，随着问题规模 n 的增长，算法执行时间的增长率和算法执行时间的增长率和 f(n) 的增长的增长率相同率相同，则可记作：T (n) = O(f(n)称称T (n) 为算法的为算法的(渐近)时间复杂度。时间复杂度。2007年9月5日星期三59如何估算如何估算 算法的时间复杂度？算法的时间复杂度？2007年9月5日星期三60算法算法 = = 控制结构控制结构 + + 原操作原操作 （固有数据类型的操作）算法的执行时间算法的执行时间 =原操作原操作(i)(i)的执行次数的执行次数原操作原操作(i)(i)的
26、执行时间的执行时间 算法的执行时间算法的执行时间 与与 原操作执行次数之和原操作执行次数之和 成正比成正比 2007年9月5日星期三61 从算法中选取一种对于所研究的问题来说是 基本操作基本操作 的原操作，以该基本操作 在算法中重复执行的次在算法中重复执行的次数数 作为算法运行时间的衡量准则。2007年9月5日星期三62例例一一两两个个矩矩阵阵相相乘乘void mult(int a, int b, int& c ) / 以二维数组存储矩阵元素，c 为 a 和 b 的乘积 for (i=1; i=n; +i) for (j=1; j=n; +j) ci,j = 0; for (k=1; k=n;
27、 +k) ci,j += ai,k*bk,j; /for /mult基本操作: 乘法乘法操作时间复杂度: O(n3)2007年9月5日星期三63例例二二选选择择排排序序 void select_sort(int& a, int n) / 将将 a 中整数序列重新排列成自小至大有序的整数序列中整数序列重新排列成自小至大有序的整数序列。 / select_sort基本操作: 比较比较(数据元素)操作操作时间复杂度: O(n2)j = i; / 选择第选择第 i i 个最小元素个最小元素for ( k = i+1; k n; +k ) if (ak aj ) j = k;for ( i = 0; i
28、1 & change; -i) / bubble_sort基本操作: 赋值赋值操作时间复杂度: O(n2) change = FALSE; / change 为元素进行交换标志 for (j=0; j aj+1) aj aj+1; change = TRUE ; / 一趟起泡2007年9月5日星期三65四、算法的存储空间需求四、算法的存储空间需求算法的空间复杂度定义为空间复杂度定义为: : 表示随着问题规模表示随着问题规模 n 的增大，的增大，算法运行所需存储量的增长率算法运行所需存储量的增长率与与 g(n) 的增长率相同。的增长率相同。S(n) = O(g(n)2007年9月5日星期三66算
29、法的存储量算法的存储量包括:1输入数据输入数据所占空间2程序本身程序本身所占空间3辅助变量辅助变量所占空间2007年9月5日星期三67 若输入数据输入数据所占空间只取决于问题 本身，和算法无关和算法无关，则只需要分析除 输入和程序之外的辅助变量辅助变量所占额外额外 空间空间。 若所需额外空间相对于输入数据量 来说是常数，则称此算法为原地工作原地工作。 若所需存储量依赖于特定的输入，则通常按最坏情况考虑。2007年9月5日星期三68 本章是为以后各章讨论的内容作基本知识的准备，介绍数据结构和算法等基本概念。数据是计算机操作对象的总称，它是计算机处理的符号的集合，集合中的个体为一个数据元素。数据元
30、素可以是不可分割的原子，也可以由若干数据项合成，因此在数据结构中讨论的基本单位是数据元素，而最小单位是数据项。【本章小结】【本章小结】2007年9月5日星期三69 数据结构是由若干特性相同的数据元素构成的集合，且在集合上存在一种或多种关系。由关系不同可将数据结构分为四类：线性结构、树形结构、图状结构和集合结构。数据的存储结构是数据逻辑结构在计算机中的映象，由关系的两种映象方法可得到两类存储结构：一类是顺序存储结构，它以数据元素相对的存储位置表示关系，则存储结构中只包含数据元素本身的信息；另一类是链式存储结构，它以附加的指针信息（后继元素的存储地址）表示关系。2007年9月5日星期三70 数据结
31、构的操作是和数据结构本身密不可分的，两者作为一个整体可用抽象数据类型进行描述。抽象数据类型是一个数学模型以及定义在该模型上的一组操作，因此它和高级程序设计语言中的数据类型具有相同含义，而抽象数据类型的范畴更广，它不局限于现有程序设计语言中已经实现的数据类型（它们通常被称为固有数据类型），但抽象数据类型需要借用固有数据类型表示并实现。抽象数据类型的三大要素为数据对象、数据关系和基本操作，同时数据抽象和数据封装是抽象数据类型的两个重要特性71算法是进行程序设计的另一不可缺少的要素。算法是对问题求解的一种描述，是为解决一个或一类问题给出的一种确定规则的描述。一个完整的算法应该具有下列五个要素：有穷性
32、、确定性、可行性、有输入和有输出。一个正确的算法应对苛刻且带有刁难性的输入数据也能得出正确的结果，并且对不正确的输入也能作出正确的反映。2007年9月5日星期三72 算法的时间复杂度是比较不同算法效率的一种准则，算法时间复杂度的估算基于算法中基本操作的重复执行次数，或处于最深层循环内的语句的频度。算法空间复杂度可作为算法所需存储量的一种量度，它主要取决于算法的输入量和辅助变量所占空间，若算法的输入仅取决于问题本身而和算法无关，则算法空间复杂度的估算只需考察算法中所用辅助变量所占空间，若算法的空间复杂度为常量级，则称该算法为原地工作的算法。73作业作业:1.1 简简述述下下列列概概念念：数数据据
33、、数数据据元元素素、数数据据类类型型、数数据据结结构构、逻辑结构、存储结构、线性结构、非线性结构。逻辑结构、存储结构、线性结构、非线性结构。1.2 试举一个数据结构的例子、叙述其逻辑结构、存储结构、试举一个数据结构的例子、叙述其逻辑结构、存储结构、运算三个方面的内容。运算三个方面的内容。1.3 常用的存储表示方法有哪几种常用的存储表示方法有哪几种?1.4 设三个函数设三个函数f,g,h分别为分别为 f(n)=100n3+n2+1000 , g(n)=25n3+5000n2 , h(n)=n1.5+5000nlgn 请判断下列关系是请判断下列关系是否成立：否成立：(1) f(n)=O(g(n)
34、(2) g(n)=O(f(n) (3) h(n)=O(n1.5)(4) h(n)=O(nlgn)2007年9月5日星期三741.5 设设有有两两个个算算法法在在同同一一机机器器上上运运行行，其其执执行行时时间间分分别别为为100n2和和2n,要使前者快于后者，要使前者快于后者，n至少要多大至少要多大?1.6 设设n为正整数，利用大为正整数，利用大O记号，将下列程序段的执行时间记号，将下列程序段的执行时间表示为表示为n的函数。的函数。(1) i=1; k=0 (2) i=0; k=0; while(in) do k=k+10*i;i+; k=k+10*i; i+; while(i1 while(i+j=(y+1)*(y+1) if (i0) if(x100) x=x-10;y-; else x+;1.7 算法的时间复杂度仅与问题的规模相关吗算法的时间复杂度仅与问题的规模相关吗?1.8 按增长率由小至大的顺序排列下列各函数：按增长率由小至大的顺序排列下列各函数：2100, (2/3)n，(3/2)n， nn , , n! ，2n ，lgn ,nlgn, n(3/2)2007年9月5日星期三76重庆工商大学重庆工商大学计算计算机与信息工程学院机与信息工程学院2007年9月5日星期三77
