《数学物理方程FirstS课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方程FirstS课件（69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7.2 节 定解条件数学物理方程FirstS什么是边界？什么是边界？由连接研究对象和环境的所有点组成的物理区由连接研究对象和环境的所有点组成的物理区域域对于一维系统，它是两个端点对于一维系统，它是两个端点对于二维系统，它是闭合曲线对于二维系统，它是闭合曲线对于三维系统，它是封闭曲面对于三维系统，它是封闭曲面要确定一个由数理方程描述的物理问题的解，要确定一个由数理方程描述的物理问题的解，必须给定所有边界上的信息：确切说明边界上必须给定所有边界上的信息：确切说明边界上的物理状况的物理状况数学物理方程FirstS边界条件边界条件常见的线性边界条件，数学上分为三类：常见的线性边界条件，数学上分为三类：
2、第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量在边界上的数值。在边界上的数值。第二类边界条件，规定了所研究物理量在边界第二类边界条件，规定了所研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数值。外法线方向上方向导数的数值。第三类边界条件，规定了所研究物理量及其外第三类边界条件，规定了所研究物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。法向导数的线性组合在边界上的数值。数学物理方程FirstS边界条件边界条件第一类第一类第二类第二类第三类第三类数学物理方程FirstS课堂作业（5 分钟）弦的横振动问题，一端固定，另一端与一竖直弹簧相连，弹簧的另一端固定，求这个定解问题的
3、边界条件。板书画图。笔记 P66 页。数学物理方程FirstS具体的例子（第一类边界条件）具体的例子（第一类边界条件）弦的两端固定而振动，边界条件为弦的两端固定而振动，边界条件为数学物理方程FirstS具体的例子（第一类边界条件）具体的例子（第一类边界条件）热传导问题，杆的两端恒温，边界条件为热传导问题，杆的两端恒温，边界条件为数学物理方程FirstS具体的例子（第二类边界条件）具体的例子（第二类边界条件）数学物理方程FirstS具体的例子（第二类边界条件）具体的例子（第二类边界条件）板书推导板书推导笔记笔记 P1 P2 页页数学物理方程FirstS具体的例子（第二类边界条件）具体的例子（第二
4、类边界条件）纵振动杆一端受沿外法向方向外力，根据胡克纵振动杆一端受沿外法向方向外力，根据胡克定律，边界条件为定律，边界条件为数学物理方程FirstS具体的例子（第二类边界条件）具体的例子（第二类边界条件）一端有已知热流流入的热传导问题，根据热传一端有已知热流流入的热传导问题，根据热传导定律，边界条件为导定律，边界条件为板书推导板书推导数学物理方程FirstS具体的例子（第三类边界条件）具体的例子（第三类边界条件）数学物理方程FirstS具体的例子（第三类边界条件）具体的例子（第三类边界条件）板书推导板书推导笔记笔记 P2 页页数学物理方程FirstS具体的例子（第三类边界条件）具体的例子（第三
5、类边界条件）杆的一端通过弹簧与固定点连接，经过受力分杆的一端通过弹簧与固定点连接，经过受力分析，边界条件为析，边界条件为数学物理方程FirstS一个完整的定解问题的边界条件可以是三类边一个完整的定解问题的边界条件可以是三类边界条件的组合，例如：界条件的组合，例如：数学物理方程FirstS一端固定另一端受力的杆的纵振动问题的完一端固定另一端受力的杆的纵振动问题的完整边界条件为（第一类和第二类边界条件的整边界条件为（第一类和第二类边界条件的组合）组合）数学物理方程FirstS一端恒温，另一端有已知热流的热传导问题一端恒温，另一端有已知热流的热传导问题的完整边界条件为（第一类和第二类边界条的完整边界
6、条件为（第一类和第二类边界条件的组合）件的组合）数学物理方程FirstS还有其他类型的边界条件还有其他类型的边界条件边界条件只要确切说明边界上的物理边界条件只要确切说明边界上的物理状况就行。状况就行。具体问题具体分析：把物理定律应用具体问题具体分析：把物理定律应用到边界上，就能得到需要的边界条件。到边界上，就能得到需要的边界条件。数学物理方程FirstS没有边界条件的问题没有边界条件的问题 拿弦振动问题为例拿弦振动问题为例, 如果弦很长如果弦很长, 着重研究着重研究靠近一端的那段弦。在不太长的时间里靠近一端的那段弦。在不太长的时间里, 另一另一端的影响还没来得及传到，不妨认为另一端并端的影响还
7、没来得及传到，不妨认为另一端并不存在，或者说另一端在无限远，当然就无需不存在，或者说另一端在无限远，当然就无需提出另一端的边界条件。这样，有限长的真实提出另一端的边界条件。这样，有限长的真实的弦抽象成的弦抽象成半无界的半无界的弦。弦。 如果着重研究不靠近两端的那段弦，不妨认如果着重研究不靠近两端的那段弦，不妨认为两端都不存在，或者说两端都在无限远，当为两端都不存在，或者说两端都在无限远，当然就无需提出边界条件了。这样，有限长的真然就无需提出边界条件了。这样，有限长的真实的弦抽象成实的弦抽象成无界的无界的弦。弦。看书看书数学物理方程FirstS衔接条件衔接条件针对研究区域里的针对研究区域里的跃变
8、点跃变点，泛定方程在跃变点，泛定方程在跃变点失去意义失去意义板书推导板书推导笔记笔记 P 23 页页数学物理方程FirstS衔接条件衔接条件针对研究区域里的针对研究区域里的跃变点跃变点，泛定方程在跃变点，泛定方程在跃变点失去意义失去意义板书推导板书推导数学物理方程FirstS数学物理方程FirstS数学物理方程的分类偏微分方程的分类观看动画观看动画偏微分方程：关于具有多个偏微分方程：关于具有多个独立变量的未知函数及其偏独立变量的未知函数及其偏导数的方程。导数的方程。不同物理现象可以由相同的不同物理现象可以由相同的偏微分方程描述，因而具有偏微分方程描述，因而具有相同的动力学规律。（举例相同的动力
9、学规律。（举例说明）说明）数学物理方程FirstS线性线性二阶偏微分方程二阶偏微分方程线线性性二二次次指指数数数学物理方程FirstS线性线性二阶偏微分方程二阶偏微分方程满足如下特征的函数称为线性函数：满足如下特征的函数称为线性函数：1. 叠加性叠加性板书推导反例板书推导反例数学物理方程FirstS线性线性二阶偏微分方程二阶偏微分方程满足如下特征的函数称为线性函数：满足如下特征的函数称为线性函数：2. 常数因子不变常数因子不变板书推导反例板书推导反例数学物理方程FirstS线性线性二阶偏微分方程二阶偏微分方程其中其中,aij, bi, c, f 只是只是x1,x2,xn 的函数的函数,就就叫做
10、叫做线性的线性的方程方程.二阶偏微分方程如果可以表示为二阶偏微分方程如果可以表示为则方程称为则方程称为齐次的齐次的,否则叫否则叫非齐次的非齐次的.板书验证线性板书验证线性 解释解释P3页页 笔记笔记 P68页页数学物理方程FirstS课堂作业（课堂作业（5 分钟）分钟）1. 如下方程是否为如下方程是否为线性线性偏微分方程？给出说明。偏微分方程？给出说明。数学物理方程FirstS如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作几个部分的线性叠加，只要定解问题的解看作几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件相这些部分各自所满足的
11、泛定方程和定解条件相应的叠加正好是原来的泛定方程和定解条件就应的叠加正好是原来的泛定方程和定解条件就行。这叫做行。这叫做叠加原理叠加原理。叠加原理叠加原理适当解释适当解释线性非齐次常微分方程的通解等于非齐次方程线性非齐次常微分方程的通解等于非齐次方程的特解的特解 + 齐次方程的通解。齐次方程的通解。数学物理方程FirstS双曲型方程双曲型方程两个自变数方程的分类两个自变数方程的分类一维波动方程：弦的横振动方程一维波动方程：弦的横振动方程, ,杆的纵振动方杆的纵振动方程程, ,电报方程等都是标准形式的双曲型方程。电报方程等都是标准形式的双曲型方程。数学物理方程FirstS抛物型方程抛物型方程两个
12、自变数方程的分类两个自变数方程的分类一维输运方程：扩散方程、热传导方程都是标一维输运方程：扩散方程、热传导方程都是标准形式的抛物型方程准形式的抛物型方程数学物理方程FirstS椭圆型方程椭圆型方程两个自变数方程的分类两个自变数方程的分类二维拉普拉斯方程：静电场方程、稳定温度分二维拉普拉斯方程：静电场方程、稳定温度分布方程都是标准形式的椭圆型方程布方程都是标准形式的椭圆型方程数学物理方程FirstS数学物理方程FirstS达朗贝尔公式达朗贝尔公式 定解问题定解问题 大家已经熟悉常微分方程的常规解法大家已经熟悉常微分方程的常规解法: 先不考虑任何附加条件先不考虑任何附加条件, 从方程本身求出通从方
13、程本身求出通解解, 通解中含有任意常数通解中含有任意常数 (积分常数积分常数), 然后然后利用附加条件确定这些常数利用附加条件确定这些常数. 偏微分方程能偏微分方程能否仿照这种办法求解呢否仿照这种办法求解呢?数学物理方程FirstS课堂作业（5 分钟）在无界空间内求如下定解问题的解：注意方程是线性的注意方程是线性的笔记笔记 P 68 页页数学物理方程FirstS达朗贝尔公式达朗贝尔公式运用达朗贝尔公式，给出无界或半无界条件下运用达朗贝尔公式，给出无界或半无界条件下波动方程解的物理图象；数学上把偏微分方程波动方程解的物理图象；数学上把偏微分方程化为常微分方程求解。化为常微分方程求解。数学物理方程
14、FirstS达朗贝尔公式达朗贝尔公式数学上把偏微分方程化为常微分方程求解。数学上把偏微分方程化为常微分方程求解。板书推导板书推导 笔记笔记P4页页作变量作变量代换代换数学物理方程FirstS数学物理方程FirstS变量代换的思想是数学和物理学中重要的解决变量代换的思想是数学和物理学中重要的解决问题的思路。问题的思路。数学物理方程FirstS达朗贝尔公式达朗贝尔公式无界振动方无界振动方程的通解程的通解数学物理方程FirstS达朗贝尔公式达朗贝尔公式不同于常微分方程的情况不同于常微分方程的情况, 式中出现任意函数而不是式中出现任意函数而不是任意常数任意常数.振动方程的振动方程的通解通解数学物理方程
15、FirstS达朗贝尔公式达朗贝尔公式这个偏微分方程描写以速度这个偏微分方程描写以速度 a 向两方传播的向两方传播的行波。行波。板书解释板书解释 笔记笔记P4 页页数学物理方程FirstS由初始条件确定待定函数由初始条件确定待定函数我们假定所研究的弦、杆、传输线是我们假定所研究的弦、杆、传输线是“无限长无限长”的，这就不存在边界条件。设初始条件是的，这就不存在边界条件。设初始条件是该定解问题的解为该定解问题的解为达朗贝达朗贝尔公式尔公式板书推导板书推导 笔记笔记 P5 页页数学物理方程FirstS没有边界条件的问题没有边界条件的问题 拿弦振动问题为例拿弦振动问题为例, 如果弦很长如果弦很长, 着
16、重研究着重研究靠近一端的那段弦。在不太长的时间里靠近一端的那段弦。在不太长的时间里, 另一另一端的影响还没来得及传到，不妨认为另一端并端的影响还没来得及传到，不妨认为另一端并不存在，或者说另一端在无限远，当然就无需不存在，或者说另一端在无限远，当然就无需提出另一端的边界条件。这样，有限长的真实提出另一端的边界条件。这样，有限长的真实的弦抽象成的弦抽象成半无界的半无界的弦。弦。 如果着重研究不靠近两端的那段弦，不妨认如果着重研究不靠近两端的那段弦，不妨认为两端都不存在，或者说两端都在无限远，当为两端都不存在，或者说两端都在无限远，当然就无需提出边界条件了。这样，有限长的真然就无需提出边界条件了。
17、这样，有限长的真实的弦抽象成实的弦抽象成无界的无界的弦。弦。看书看书数学物理方程FirstS（P172）例一：定解问题为）例一：定解问题为初始速度为零初始速度为零初始初始位移位移数学物理方程FirstS（P172）例一：波已）例一：波已“通过通过”的地区，振动消的地区，振动消失而弦静止在原平衡位置。失而弦静止在原平衡位置。观看动画观看动画数学物理方程FirstS（P173）例二：定解问题为）例二：定解问题为初始位移为零初始位移为零初始初始速度速度更正书上错误并推导更正书上错误并推导 笔记笔记 P5 页页数学物理方程FirstS数学物理方程FirstS（P173）例二：波已）例二：波已“通过通过
18、”的地区，虽然振的地区，虽然振动也消失，但偏离了原平衡位置。动也消失，但偏离了原平衡位置。观看动画观看动画数学物理方程FirstS端点的反射端点的反射定解问题：定解问题：数学物理方程FirstS端点的反射端点的反射奇延拓：奇延拓：板书解释偶延拓和奇延拓的物理意义板书解释偶延拓和奇延拓的物理意义 笔记笔记 P5数学物理方程FirstS端点的反射端点的反射运用达朗贝尔公式：运用达朗贝尔公式：数学物理方程FirstS板书推导板书推导 笔记笔记 P6页页数学物理方程FirstS端点的反射端点的反射运用达朗贝尔公式：运用达朗贝尔公式：数学物理方程FirstS端点的反射端点的反射观看动画观看动画数学物理方
19、程FirstS端点的反射端点的反射数学物理方程FirstS 板书推导半无限长杆的自由振动，杆的端板书推导半无限长杆的自由振动，杆的端点自由。笔记点自由。笔记 P6页页数学物理方程FirstS定解问题是一个整体定解问题是一个整体从偏微分方程解出达朗贝尔公式的过程，与从偏微分方程解出达朗贝尔公式的过程，与大家所熟悉的常微分方程的求解过程是完全类大家所熟悉的常微分方程的求解过程是完全类似的。似的。但是很可惜，绝大多数偏微分方程很难求出但是很可惜，绝大多数偏微分方程很难求出通解；即使已求得通解，用定解条件确定其中通解；即使已求得通解，用定解条件确定其中待定函数往往更加困难。待定函数往往更加困难。除了达
20、朗贝尔公式一类极少的例外，不可能除了达朗贝尔公式一类极少的例外，不可能先求偏微分方程的通解然后再考虑定解条件，先求偏微分方程的通解然后再考虑定解条件，必须同时考虑偏微分方程和定解条件进行求解必须同时考虑偏微分方程和定解条件进行求解数学物理方程FirstS达朗贝尔方程是对方程解的理解，但达朗贝尔方程是对方程解的理解，但对于一般复杂问题的情形，简单的行对于一般复杂问题的情形，简单的行波解形式是求不出来的。波解形式是求不出来的。数学物理方程FirstS定解问题的适定性定解问题的适定性有解有解解是唯一的解是唯一的解是稳定的解是稳定的稳定性：如果定解条件的数值有细微的改稳定性：如果定解条件的数值有细微的
21、改变，解的数值也只作细微的改变变，解的数值也只作细微的改变非线性偏微分方程的解就有可能是不稳定非线性偏微分方程的解就有可能是不稳定的，出现的，出现混沌混沌。数学物理方程FirstS很长时间以后，位移自然出现比较大的偏差很长时间以后，位移自然出现比较大的偏差板书证明达朗贝尔解的稳定性。板书证明达朗贝尔解的稳定性。笔记笔记 P7页页数学物理方程FirstS数学物理方程FirstS分离变数法（傅里叶级数法）分离变数法（傅里叶级数法）先求泛定方程通解的办法只适用于很少数先求泛定方程通解的办法只适用于很少数的某些定解问题。的某些定解问题。分离变数法（傅里叶级数法）是定解问题分离变数法（傅里叶级数法）是定
22、解问题的一种基本解法，适用于大量的各种各样的一种基本解法，适用于大量的各种各样定解问题。定解问题。分离变数法的基本思想是把偏微分方程分分离变数法的基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。程带有附加条件而构成本征值问题。数学物理方程FirstS课堂作业（5 分钟）笔记P69页求解如下定解问题：数学物理方程FirstS两端固定的均匀弦的自由振动两端固定的均匀弦的自由振动波在两端点之间反波在两端点之间反射，两列反向行进射，两列反向行进的同频率的波形成的同频率的波形成驻波驻波，尝试驻波解，尝试驻波解数学物理方程Fi
23、rstS驻波驻波观看动画观看动画数学物理方程FirstS 驻波驻波在驻波中，有些点振幅最大，叫作在驻波中，有些点振幅最大，叫作波腹波腹；有；有些点振幅最小，叫作些点振幅最小，叫作波节波节。驻波没有波形传播现象，各点振动相位并不驻波没有波形传播现象，各点振动相位并不依次滞后。依次滞后。各点按同一方式随时间各点按同一方式随时间 t 振动，可以统一表振动，可以统一表示为示为 T(t)各点的振幅各点的振幅 X 随地点随地点 x 变化，振幅变化，振幅 X 是是 x 的函数的函数 X(x)数学物理方程FirstS 驻波驻波自变数自变数 x 只出现于只出现于 X(x) 之中，自变数之中，自变数 t 只出只出现于现于 T(t) 之中，驻波的一般表示式具有之中，驻波的一般表示式具有分离分离变数变数的形式。的形式。尝试驻波解尝试驻波解数学物理方程FirstS板书讲解分离变量法板书讲解分离变量法 笔记笔记 P7 页页数学物理方程FirstS
