《高三数学第一轮复习 第十一章《排列、组合和二项式定理》课件112》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学第一轮复习 第十一章《排列、组合和二项式定理》课件112（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1两个概念(1)排列从n个不同元素中取出m个元素(mn)，按照，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)组合从n个元素中取出m个元素，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合一定顺序排成一列并成一组1从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，不同的取法有_答案70种解法一直接法，可以从4台甲型电视机中取2台，再从5台乙型电视相中取1台，或者从4台甲型电视机中取1台，再从5台乙型电视机中取2台，所以共有C42C51C41C5270种选法解法二间接法，从9台电视机中取3台有C93种取法，从甲型电视机中取3台有C43种取法，从乙型电视机中取3台有C53种
2、取法，这两种取法不符合条件，所以符合条件的取法为C93C43C5370种2电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式共有()A6种B24种C48种D720种答案C解析选C.据题意知4个不同的商业广告可排在中间的4个位置上共有A44种方法，再将2个公益广告排在首末2个不同的位置共有2种方法，根据分步计数原理可得不同的播放方式共有2A4448种3安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日不同的安排方法共有_种(用数字作答)答案2400解析第一步：安排甲、乙两人在37日，其选择有
3、A5220，第二步：剩下5个人选择有5！，因此不同的安排方法数共有205！2400种方法4某兴趣小组有4名男生，5名女生，从中选派5名学生参加一次活动，要求有女生且女生人数必须少于男生的选派方法有_种(用数字作答)答案45解析据题意知参加活动的情况可分为两类：一类是4男1女，另一类是3男2女，分别是C51，C52C43种不同的情况，故共有C51C52C4345种方法题型一排列数、组合数公式例1(1)求证：An1mAnmmAnm1 (2)求证：mCnmnCn1m1.(3)计算：C22C32C102【思路分析】运算组合的性质CnmCnm1Cn1m逐一合并【证明】C22C32C42C102C33C3
4、2C42C102C43C42C102C53C52C102C113165探究1运用排列数、组合数公式证明等式时，一般用阶乘式运用排列数、组合数公式计算具体数字的排列数、组合数时一般用展开式，直接进行运算题型二排列应用题例27位同学站成一排：(1)站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？(2)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(3)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(4)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(8)甲、乙、丙三个同
5、学都不能相邻的排法共有多少种？(9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？(11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？【分析】本题是有关排列的一道综合题目，小题比较多，包括排列中的各种方法和技巧，请同学们认真思考【解析】(1)站成两排(前3后4)，共有A77种不同的排法；(2)其中甲站在中间的位置，共有A66种不同的排法；(3)甲、乙只能站在两端的排法共有A22A55种；(4)甲不排头、乙不排尾的排法共有：法一：甲站排尾；共有A66种不同的排法；甲不站排尾，共有A51A51A55种不同的排法；故共有A66A51A51A55种不同的排法；
6、法二：7位同学站成一排，共有A77种不同的排法；甲排头，共有A66种不同的排法；乙排尾，共有A66种不同的排法；甲排头且乙排尾，共有A55种不同的排法；故共有A772A66A55种不同的排法(5)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法，所以这样的排法一共有A66A221440种(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A
7、52种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法，所以这样的排法一共有A52A44A22960种方法法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素若丙站在排头或排尾有2A55种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有(A662A55)A22960种方法法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A41种方法再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有A41A55A22960种方法(7)甲、乙
8、两同学不能相邻的排法共有：法一：(排除法)A77A66A223600(种)法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A55种方法，此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A62种方法，所以一共有A55A623600种方法(8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有：先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有A53种方法，所以一共有A44A531440种(9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有：7位同学站成一排，共有A77种不同的排法；甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有A55A33720种故共有A
9、77A55A33种不同的排法(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法：先排甲、乙、丙之外的4人，共有A44种排法，产生5个“空”再将甲乙(视为一个元素)与丙排入有A52种，再将甲、乙全排，有A22，共有A22A44A52种探究2涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊元素的排法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素或其他位置(这种方法称为元素分析法或位置分析法)；或者，先求出不加限制条件的排列数，再减去不符合条件的排列数(也叫做间接法或排除法)，这是解排列题的基本策略所谓“捆绑法”与“插空法”，实际上都是特殊元素(位置)特殊考虑的结果本题中要求相邻(或连排)的是特殊元素，先把他们捆绑处理，要求两两
10、不相邻的需要用“插空法”思考题2(1)(2010北京卷，理)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()AA88A92 BA88C92CA88A72 DA88C72【解析】本题采用插空法.8名学生的排列方法有A88种，隔开了9个空位，在9个空位中排列2位老师，方法数为A92，根据分步乘法计数原理，总的排法各数是A88A92.【答案】A(2)(2010山东卷，理)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A36种B42种C48种D54种【解析】由题可知，可以考虑分成两类
11、计算，若甲排在第一位则A44种方案，若甲排在第二位则有C31A33种方案，所以按照要求该台晚会节目演出顺序的编排方案共有A44C31A3342(种)，故选B.【答案】B题型三组合应用题例3(1)7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？A，B必须当选；A，B必不当选；A，B不全当选；至少有2名女生当选；选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任【解析】由于A、B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，有C103120种从除去的A、B两人的10人中选5人即可，有C105252种全部选法有C125种，A、B
12、全当选有C103种，故A，B不全当选有C125C103672种注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，有C125C51C74C75596种选法分三步进行：第一步：选1男1女分别担任两个职务为C71C51；第二步：选2男1女补足5人有C62C41种；第三步：为这3人安排工作有A33.由分步乘法计数原理共有C71C51C62C41A3312600种选法(2)(2010上海，理)以集合Ua，b，c，d的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件：a、b都要选出；对选出的任意两个子集A和B，必有AB或BA，那么共有_种不同的选法。【解析】列举法共有36种【答案】
13、36探究3有限制条件的组合问题的解题思路同样要从限制条件入手因组合问题只是从整体中选出部分即可相对来说较简单常见情况有：(1)某些元素必选(2)某些元素不选(3)把元素分组，根据在各组中分别选多少，分类(4)排除法思考题3有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)共有多少种做法？(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？(3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？(4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？【解析】(1)一个球一个球的放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44256(种)(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将
14、4个球分成2,1,1的三组，有C42种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可由分步乘法计数原理知，共有放法C41C42C31A22144(种)(3)“恰有一个盒子内放2个球”，即另外的三个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事故也有144种放法(4)先从四个盒子中任取两个有C42种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C43C21种放法；第二类：有
15、C42种放法因此共有C43C21C4214(种)由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有C421484(种)题型四排列、组合的综合应用例4有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？【解析】解法一(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C41种选法；0可在后两位，有C21种方法；最后剩下的三张中任取一张，有C31种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C41C21C3122(个)取1不取0，同上分析
16、可得不同的三位数C4222A33(个)0和1都不取，有不同的三位数C4323A33(个)综上所述，共有不同的三位数：C41C21C3122C4222A33C4322A33432(个)解法二(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C5323A33(个)，其中0在百位的有C4222A22(个)，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C5323A33C4222A22432(个)探究4解排列组合的应用题，要注意三点：(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步(2)深入分析，周密思考，分清是乘还是加，既不少也不多，多角度分析，全面考虑，提高逻辑推理能力(3)
17、对有附加条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题，然后再用分类计数原理或分步计数原理求解思考题4(2010浙江，理)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人则不同的安排方式共有_种(用数字作答)【解析】上午的总测试方法有A4424种；我们以A，B，C，D，E依次代表五个测试项目，若上午测试E的下午测试D，则上午测试A的下午只能测试B，C，确定上午测试A的同学后
18、其余两个同学上、下午的测试方法共有2种；若上午测试E的同学下午测试A，B，C之一，则上午测试A，B，C中任何一个下午都可以测试E，安排完这个同学后其余两个同学的测试方式就确定了，故共有339种测试方法，即下午的测试方法共有11种根据乘法原理，总的测试方法共有2411264种【答案】2641解排列组合题的“16字方针，12个技巧”：(1)“16字”方针是解排列组合题的基本规律，即：有序排列、无序组合；分类为加、分步为乘(2)“12个技巧”是速解排列组合题的捷径即：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定序问题倍缩法；定位问题优先法；有序分配问题分步法；多元问题分类法；交叉问题集合法；
19、至少(至多)问题间接法；选排问题先取后排法；局部与整体问题排除法；复杂问题转化法2计数重复或遗漏的原因在于分类、分步的标准不清，一般来说，应检查分类是否按元素(或特殊元素)的性质进行的，分步是否按事件发生的过程进行的3画示意图是寻找解题途径的有效手段1若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是()A20种B19种C10种D9种答案B解析“error”由5个字母组成，其中3个相同，这相当于5个人站队，只要给e、o选定位置，其余三个相同的字母r，位置固定，即所有拼写方式为A52，error拼写错误的种数为：A52119.2一份试卷有10道考题，分为A，B两组，每组5题
20、，要求考生选答6题，但每组最多选4题，则每位考生有_种选答方案答案200解析分三类：A组4题B组2题，A组3题B组3题，A组2题B组4题3(09陕西)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A300 B216C180 D162答案C解析由于0元素的特殊性，可采用间接法：先排四位数，再排除0在首位的情况：所求的个数为：C32C32A44C21C32A33180.4从2名女教师和5名男教师中选出三位教师参加2010年高考某考场的监考工作要求一女教师在室内流动监考，另外两位教师固定在室内监考，问不同的安排方案种数为()A30 B180C630
21、D1080答案A解析分两类进行：第一类，在两名女教师中选出一名，从5名男教师中选出两名，且该女教师只能在室内流动监考，有C21C52种选法；第二类，选两名女教师和一名男教师有C22C51种选法，且再从选中的两名女教师中选一名作为室内流动监考人员，即有C22C51C21共10种选法，共有C21C52C22C51C2130种，故选A.5三个工程队要承包5项不同的工程，每队至少承包一项，问共有多少种不同的承包方案解法二第一类，三个承包队中有一队承包3项工程，其余两队分别承包1项工程只有C31C53C2160种承包方案第二类，设三个工程队分别为甲、乙、丙三队，其中有一队承包一项工程，其余两队承包两项工
22、程，共有C31C51C4290种承包方案综上可知共有6090150种不同的承包方案1对于各数互不相等的正数数组(ii，i2，in)(n是不小于2的正整数)，如果pq时有ipiq，则称“ip与iq”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”例如，数组(2,4,3,1)中有顺序“2,4”，“2,3”，其“顺序数”等于2.若各数互不相等的正数数组(a1，a2，a2011)的“顺序数”是2011，则正数数组(a2011，a2010，a2，a1)的“顺序数”是()A2010 B2011C2019044 D2021055答案C又正数数组(a1，a2，a2011)的“顺序数”是2011，故其“逆序数”为100520112011100420112019044，即正数数组(a2011，a2010，a2，a1)的“顺序数”是2019044.2甲、乙、丙3 人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)答案336解析解析若没有一级台阶站了若没有一级台阶站了2个人，则共有个人，则共有A73765210种；若有一级台阶站了种；若有一级台阶站了2个人，则共有个人，则共有C31A72763126种共有种共有210126336种种
