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1、微积分讲课提纲微积分（微积分（I I）浙江大学理学院浙江大学理学院讲课人：朱静芬讲课人：朱静芬E-E-mail:mail:第五节 函数图形的凹向与拐点第三章 微分中值定理及导数的应用一、曲线凹凸的定义二、曲线凹向的判定定理三、曲线的拐点及其求法 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。弯曲方向。oyxL3L2L1AB 如如右图右图所示所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是虽然都是从从A
2、A点点单调上升到单调上升到B B点，但它们的弯曲点，但它们的弯曲方向却不一样。方向却不一样。 L L1 1 是是“下凹下凹”弧，弧，L L2 2是是“上凹上凹”弧弧 ，L L3 3既有上凹弧，也有下凹弧。既有上凹弧，也有下凹弧。定定义义 设 f(x)在(a,b)内可导,且如果在此区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹(或称“凹”)的；如果在此区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹(或称“凸”)的。上凹的下凹的一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义定义定义图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形
3、上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方二、定理二、定理 ( (曲线凹向的判定定理曲线凹向的判定定理) )设函数设函数在在上连续上连续,在在内具有二阶导数内具有二阶导数,那么那么(1)若在若在内内，则，则在在上图形是上图形是上凹的上凹的下凹的下凹的(2)若在若在内内，则，则在在上图形是上图形是证明证明分别应用分别应用L定理，得定理，得两式相减，得两式相减，得由由假设假设这就这就证明了证明了同理可证（同理可证（1）例例解解注意到注意到,例：例：解：解：三、曲线的拐点及其求法1.1.定义定义2.2.拐点的求法拐点的求法证证定理（拐点的第一充分条件）定理（拐点的第一充分条件）例：例：解解上凹上凹下凹下凹上凹上凹拐点拐点拐点拐点例例解解例：例：求求曲线曲线的的拐点拐点解解是是拐点拐点例：例：
