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1、信号与系统信号与系统 5.3 拉普拉斯变换的基本性质1信号与系统信号与系统主要内容线性线性 延时（时域平移）延时（时域平移）尺度变换尺度变换 s域平移域平移原函数积分原函数积分原函数微分原函数微分 对对s域微分域微分 对对s域积分域积分初值初值终值终值时域卷积时域卷积2信号与系统信号与系统基本要求对下列性质的熟练掌握（数学描述，应用）对下列性质的熟练掌握（数学描述，应用）延时性质延时性质尺度变换尺度变换对时间函数的微分、积分对时间函数的微分、积分初值、终值性质初值、终值性质时域卷积时域卷积3信号与系统信号与系统一线性性质一线性性质解：解：例：例：已知已知求求 的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换说明：
2、说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。若若 为常数为常数则则4信号与系统信号与系统二延时（时域平移）二延时（时域平移）证明：证明：若若则则5信号与系统信号与系统二延时（时域平移）二延时（时域平移）注意：注意：(1)一定是一定是 的形式的信号才能用时移性质的形式的信号才能用时移性质(2)信号一定是右移信号一定是右移(3)表达式表达式 等等 所表示的信号不能用时移性质所表示的信号不能用时移性质6信号与系统信号与系统例：例：已知已知求求因为因为所以所以解：解：二延时（时域平移）二延时（时域平移）7信号与系统信号与系统解：解：4 4种
3、信号的波形如图种信号的波形如图例：例：已知单位斜变信号已知单位斜变信号 的拉普拉斯变换为的拉普拉斯变换为求求的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换二延时（时域平移）二延时（时域平移）8信号与系统信号与系统只有信号只有信号 可以用延时性质可以用延时性质 二延时（时域平移）二延时（时域平移）9信号与系统信号与系统解：解：例例二延时（时域平移）二延时（时域平移）不能采用时延性质计算不能采用时延性质计算10信号与系统信号与系统二延时（时域平移）二延时（时域平移）时移性质的一个重要应用是求时移性质的一个重要应用是求单边周期信号单边周期信号的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。 结论：结论：单边周期信号单边周期信号的拉普
4、拉斯变换的拉普拉斯变换 等于等于第一周期波形第一周期波形的拉普拉斯变换乘以的拉普拉斯变换乘以 11信号与系统信号与系统12信号与系统信号与系统求图所示单边周期矩形脉冲序列的拉普拉斯变换求图所示单边周期矩形脉冲序列的拉普拉斯变换 第一个周期的信号为第一个周期的信号为 所以所以 13信号与系统信号与系统三尺度变换三尺度变换时移和尺度变换都有时移和尺度变换都有: :证明证明：若若则则14信号与系统信号与系统四四s 域平移域平移证明：证明：若若则则例：例：求求 的拉氏变的拉氏变换换解：解：15信号与系统信号与系统五时域微分定理五时域微分定理推广：推广：证明：证明：若若则则16信号与系统信号与系统六时域
5、积分定理六时域积分定理证明：证明：若若则则1、因为第一项与因为第一项与 t 无关，是一个常数。无关，是一个常数。2、如果、如果 f ( t )是一个因果信号，则这一是一个因果信号，则这一 项为项为017信号与系统信号与系统例：例：求图示信号的拉普拉斯变换求图示信号的拉普拉斯变换 求导得求导得 所以所以 解：解：六时域积分定理六时域积分定理18信号与系统信号与系统若若则则 取正整数取正整数七七s 域微分定理域微分定理证明：证明：对拉普拉斯正变换定义式对拉普拉斯正变换定义式 求导得求导得 即得证。即得证。19信号与系统信号与系统七七s 域微分定理域微分定理例例解：解：因为因为所以所以20信号与系统
6、信号与系统八八s 域域积分定理积分定理两边对两边对 s 积分：积分：交换积分次序交换积分次序:证明证明：若若则则21信号与系统信号与系统若若 拉氏变换存在，且拉氏变换存在，且九初值定理和终值定理九初值定理和终值定理终值存在的条件终值存在的条件:若若 的拉氏变换存在，且的拉氏变换存在，且则则初值定理初值定理 的所有的所有极点极点有负实部有负实部终值定理终值定理初值定理应用的条件初值定理应用的条件: f (t)不包含不包含冲激信号冲激信号及其各阶导数项及其各阶导数项则则22信号与系统信号与系统由时域微分定理可知由时域微分定理可知所以所以九初值定理和终值定理九初值定理和终值定理初值定理证明：初值定理
7、证明：所以所以23信号与系统信号与系统终值定理证明终值定理证明根据初值定理证明时得到的公式根据初值定理证明时得到的公式九初值定理和终值定理九初值定理和终值定理24信号与系统信号与系统例：例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值初值初值 终值终值 初值初值 终值终值 注意应用注意应用终值定理的条件终值定理的条件是满足的。是满足的。 解：解：九初值定理和终值定理九初值定理和终值定理25信号与系统信号与系统初值初值 因为因为 有两重极点有两重极点 ，并不具有负实部，并不具有负实部，因此不能应用终值定理，即因此不能应用终值定理，即 的终值不存在的终值不存在九初值定理和终值定理九初值定理和终值定理例：例：解：解： 即单位阶跃信即单位阶跃信号的初始值为号的初始值为1。26信号与系统信号与系统十时域卷积十时域卷积若若 为为因果因果信号信号则则证明：证明：交换积分次序交换积分次序27信号与系统信号与系统作业作业(13-06-08)P181 5-3（2）、（）、（4）、（）、（6）、（）、（8） 5-4 （1）、（）、（3） 5-5 （a) 5-6 （3）、（）、（5）28 刚才的发言，如刚才的发言，如有不当之处请多指有不当之处请多指正。谢谢大家！正。谢谢大家！29
