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1、一轮复习讲义一轮复习讲义二次函数二次函数 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点对称轴对称轴: 顶点顶点:时递减时递减时递增时递增时递增，时递增，时递减时递减2.二二次次函函数数的的图图象象与与性性质质图象象函数性函数性质定定义域域xR(个个别题目有限制的目有限制的,由解析式确定由解析式确定)值域域a0a0a0) 实根分布问题实根分布问题忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点方程方程 f(x)=0 有两正根有两正根 方程方程 f(x)=0 有两负根有两负根 方程方程 f(x)=0 有一正根一负根有一正根一负根 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点
2、记记 f(x)=ax2+bx+c(a0)1. 二次方程二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 实根分布问题实根分布问题根的分布根的分布图象图象充要条件充要条件根的分布根的分布图象图象充要条件充要条件根的分布根的分布图象图象充要条件充要条件两个实根有两个实根有且仅有一根且仅有一根在区间在区间 内内2. 二次函数图象和性质二次函数图象和性质二次函数二次函数 y=ax2+bx+c (a0)(1)开口方向开口方向: a0时时,开口开口_,a0时，与时，与x轴两交点的横坐标轴两交点的横坐标x1、x2分别是方分别是方程程ax2 bxc0的两根且的两根且|x1- -x2|=_; 当当0时时,与与x轴切于一点
3、轴切于一点_; 当当0=00)的图象的图象方程方程ax2+bx+c=0的根的根ax2+bx+c0(a0)的解集的解集ax2+bx+c0)的解集的解集有两不等实有两不等实根根x1, x2x|xx2有两相等有两相等实根实根x1=x2无实根无实根x|xx1R3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系三者之间的关系x|x1x0 恒成立问题恒成立问题 ax2+bx+c0在在R上恒成立上恒成立 f(x)=ax2+bx+c0(a0) 在在 m, n 上恒成立上恒成立 f(x)min0( (xm, n) ) ax2+bx+c0在在R上恒成立上恒成立 f(x)
4、=ax2+bx+c0) 在在 m, n 上恒成立上恒成立【例例1】 已知函数已知函数 在区间在区间0, 1 上的最大值是上的最大值是2，求实数，求实数 a 的值的值.对称轴为对称轴为当当0 1，即，即0a2时，时，得得a=3或或a=- -2,与与0a2矛盾矛盾.不合要求；不合要求；当当 0，即，即a1，即，即a2时，时，y在在0，1上单调递增，上单调递增，综上，得综上，得有有ymax=f(1)=2, 已知函数已知函数f(x)=- -x2+8x,求函数求函数f(x)在区间在区间 t, t+1上的上的最大值最大值h(t). 解解： f(x) =- -x2+8x=- -(x- -4)2+16. 当当
5、t+14, 即即t4时，时，f(x)在在t,t+1上单调递减上单调递减. 此时此时h(t)=f(t)=- -t2+8t.综上可知综上可知例例2.设不等式设不等式 mx2- -2x- - m+10 对于满足对于满足|m|2的的一切一切值值都都恒成立，求实数恒成立，求实数 x 的取值范围的取值范围.解：解：设f(m)=mx2- -2x- -m+1, 【点评点评】解决解决恒成立恒成立问题一定要搞清谁是自变量，问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数谁是参数.一般地一般地，知道谁的范围，谁就是变量，知道谁的范围，谁就是变量，求谁求谁的范围，谁就是参数的范围，谁就是参数. . 则则 f(m)是一个以m为自变量
6、的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当- -2m2时，线段在时，线段在x轴下轴下方方,所以所以实数实数 x 的取值范围的取值范围是是【1】与直线与直线y=k有交点有交点,xy-11Y=k 【2】若方程若方程x2- -2x=k在区间在区间- -1,1上有解上有解,则则实数实数k的取值范围为的取值范围为_. - -1k3由图象，得由图象，得 【3】方程方程x2- -mx+1=0的两根为的两根为,且且 则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_.由图可知，由图可知，方法方法2:设设f(x)=x2- -mx+1, 则则 f(0)=1. 【3】方程方程x2- -mx+1=0的两根为的两根为,且且 则实
7、数则实数m的取值范围是的取值范围是_.例例3.已知函数已知函数f(x)|x24x3|.(1)求函数求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合求集合Mm|使方程使方程f(x)mx有四个不相等的实根有四个不相等的实根.(2)由图象可知，由图象可知，yf(x)与与ymx图象有四个不同的图象有四个不同的交点，直线交点，直线ymx应介于应介于x轴与切线轴与切线l1之间之间.解解:作出图象如图所示作出图象如图所示.(1)递增区间为递增区间为1,2和和3，)， 递减区间为递减区间为(，1和和2, 3.得得 x2(m4)x30.由由0，得，得当当 时，时，舍去舍去.所以
8、集合所以集合Mm|0m42 .例例3.已知函数已知函数f(x)|x24x3|.(1)求函数求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合求集合Mm|使方程使方程f(x)mx有四个不相等的实根有四个不相等的实根.（1）变量分离法）变量分离法(分离参数分离参数)例例4. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_. 【评注评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不不等式中的变量和参数进行剥离，
9、即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题为解关于参数的不等式的问题23y.xo（2）转换求函数的最值）转换求函数的最值例例4. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_.23y.xo例例4. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_.（）数形结合思想（）数形结合思想23A例例4. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_.（）不等式解集法（）不等式解集法解：解：()()()() 解解题题是是一一种种实实践践性性技技能能, ,就就象象游游泳泳、滑滑雪雪、弹弹钢钢琴琴一一样样，只只能能通通过过模模仿仿和和实实践来学到它！践来学到它！ 波利亚波利亚
