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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第第2 2章章 一一元函数元函数微分学微分学高等数学高等数学A A2.1 2.1 导数及微分导数及微分2.1.11 对数求导法对数求导法2.1.12 参数方程所确定的函数的导数参数方程所确定的函数的导数 2.1 2.1 导数及微分导数及微分2.1.11 2.1.11 对数求导法对数求导法对数求导法对数求导法对数求导法对数求导法对数求导法对数求导法对数求导法习例对数求导法习例1-52.1.12 2.1.12 参数方程确定函数的导数参数方程确定函数的导数参数方程确定函数的导数参数方程确定函数的导数参数方程确定函参数方程
2、确定函参数方程确定函参数方程确定函数的导数数的导数数的导数数的导数参数方程确定函数参数方程确定函数的导数习例的导数习例6-9分段函数的求导法分段函数的求导法 内容小结内容小结课堂思考与练习课堂思考与练习导导数数及及微微分分一、对数求导法一、对数求导法 方法方法: 先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的然后利用隐函数的 求导方法求出导数求导方法求出导数.适用范围适用范围: :解解:二二、对数求导法习例对数求导法习例解解: 等式两边取对数得等式两边取对数得解解:等式两边取对数得等式两边取对数得两边取对数两边对 x 求导解解:解解:解解:三、由参数方程确定的函数的求导法则三、由参数
3、方程确定的函数的求导法则 2.问题问题: : 消参困难或无法消参时如何求导消参困难或无法消参时如何求导? 定理定理:证明证明: 方法方法 1. 利用导数的定义利用导数的定义.方法方法 2. 利用复合函数的求导法则利用复合函数的求导法则,有有若参数方程若参数方程可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数可导可导, 且且则则时时, 有有时时, 有有(此时看成此时看成 x 是是 y 的函数的函数 )关系关系,一般来说有如下说明：一般来说有如下说明：若上述参数方程中若上述参数方程中二阶可导二阶可导,且且则由则由它确定的函数它确定的函数可求可求二阶导数二阶导数 .利用新的参数方程利用新的参
4、数方程,可得可得四四、参数方程所确定的函数的导数习例参数方程所确定的函数的导数习例例例8 8. 抛射体运动轨迹的参数方程为抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和方向. 例例9 9. 设由方程设由方程确定函数确定函数求求解解:解解:因为因为 x 和和 y 都是关于都是关于 t 的可微函数的可微函数, 则则例例8 8. 抛射体运动轨迹的参数方程为抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小先求速度大小速度的水平分量为速度的水平分量为垂直分量为垂直分量为故
5、抛射体速度大小故抛射体速度大小再求速度方向再求速度方向 (即轨迹的切线方向即轨迹的切线方向):设设 为切线倾角为切线倾角,则则抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量在刚射出在刚射出 (即即 t = 0 )时时, 倾角为倾角为达到最高点的时刻达到最高点的时刻高度落地时刻落地时刻抛射最远距离速度的方向例例9 9. 设由方程设由方程确定函数确定函数求求解解: 方程组两边对方程组两边对 t 求导求导 , 得得故故五、五、 分段函数的求导法分段函数的求导法 解解:注意注意: 解解:分段函数求导的不同之处是分段点处的导数必须用定义求分段函数求导的不同之处是分段点处的导数必须用定义求. 注意注意: 解解:内容小结内容小结对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求导法按隐函数的求导法则求导则求导;参数方程求导参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则.思考题：思考题：习题习题2.1第第1题（题（13）到（）到（14）思考题参考答案思考题参考答案课堂练习：课堂练习：习题习题2.1 第第27题到第题到第32题题练习参考答案练习参考答案
