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1、1. 学习控制系统的分析方法学习控制系统的分析方法经典控制论分析系统的稳定性系统的动态和稳态性能用时域/传递函数分析用频率特性图分析自动控制原理课程的要求自动控制原理课程的要求2. 学习控制系统的设计方法：校正学习控制系统的设计方法：校正3. 了解现代控制理论的基本观点了解现代控制理论的基本观点状态空间方法最优控制方法4.了解非线性系统的分析方法了解非线性系统的分析方法第二章控制系统的数学模型2.1引言2.2线性系统的微分方程2.3线性系统的传递函数2.4控制系统的结构图2.5信号流图与梅森公式2.1引言一、数学模型的分类1、静态模型（不理会系统内部动态的模型）2、动态模型（外部描述、内部描述
2、）二、建模方法1、实验辨识法2、理论推导法：机理建模三、本章重点：线性定常系统的微分方程和传递函数一、数学模型的分类一、数学模型的分类1、静态模型：在静态条件下（变量各阶导数为零），描述各变量间关系的数学方程。2、动态模型（外部描述、内部描述）在动态条件下（变量各阶导数不为零），描述各变量间关系的数学方程（微分方程或差分方程、状态方程）二、建模方法二、建模方法1、实验辨识法系统辩识法适用于对系统运动机理不清楚、不掌握系统内部规律的情况，是现代控制理论的一个重要分支。2、理论推导法：机理建模（2.2节讲）在清楚系统内部规律的情况下，更多地使用机理建模方法。三、线性定常系统的三、线性定常系统的微分
3、方程和传递函数微分方程和传递函数对于最重要的系统：线性定常系统，最重要的两种模型：微分方程传递函数本书重点围绕以上两种模型，分析连续系统离散系统的重要模型：差分方程传递函数2.2线性系统的微分方程运用微分方程建立数学模型运用微分方程建立数学模型一、为何建模？一、为何建模？二、电路系统二、电路系统三、机械系统三、机械系统四、运用微分方程建立数学模型的特点四、运用微分方程建立数学模型的特点一、为何建模？一、为何建模？用数学模型描述控制系统的响应（输用数学模型描述控制系统的响应（输入与输出之间的关系），则可以通过入与输出之间的关系），则可以通过解方程可以得到输出的解析表达式解方程可以得到输出的解析表
4、达式（完全求解），便于系统分析、仿真（完全求解），便于系统分析、仿真和设计。和设计。二、电路系统二、电路系统采用电路的基本定理：基尓霍夫电流电采用电路的基本定理：基尓霍夫电流电压定律，建立描述电路基本要素（电阻压定律，建立描述电路基本要素（电阻电容电感等）之间关系的微分方程电容电感等）之间关系的微分方程例例. 如图如图RLC电路系统，求系统的数学模型。电路系统，求系统的数学模型。解：输入量为解：输入量为ui(t)，输出量为，输出量为uo(t)，假设初始，假设初始状态系统储能为状态系统储能为0。应用基尔霍夫定律，有。应用基尔霍夫定律，有uiiLRuoC所得方程为二阶常系数线性微分方程，由此所得方
5、程为二阶常系数线性微分方程，由此可以完全求解电路。可以完全求解电路。消去中间变量消去中间变量i(t)，得到输入量，得到输入量ui(t)和输和输出量为出量为uo(t)之间的关系：之间的关系：采用机械系统的基本定律：牛顿运动定律和力、采用机械系统的基本定律：牛顿运动定律和力、力矩平衡定律，建立描述机械系统的基本要力矩平衡定律，建立描述机械系统的基本要素（质量、弹簧和阻尼器等）之间关系的微素（质量、弹簧和阻尼器等）之间关系的微分方程分方程三、机械系统三、机械系统例例. 如图所示，物体质量为如图所示，物体质量为m ，弹簧弹性系，弹簧弹性系数数k，阻尼器粘滞阻尼系数为，阻尼器粘滞阻尼系数为c。f(t)为
6、输入，为输入，位移位移y(t)为输出。求系统的数学模型。为输出。求系统的数学模型。 解：解：输入量为输入量为f(t) ，输出量为位移，输出量为位移y(t)，根据牛根据牛顿第二定理，可以得到运动方程：顿第二定理，可以得到运动方程：整理后得：整理后得：所得方程为二阶常系数线性微分方程，由所得方程为二阶常系数线性微分方程，由此可以完全求解机械系统。此可以完全求解机械系统。小结：机理法建模的一般步骤（1）分析系统工作原理和能量、信号变换过程，确定）分析系统工作原理和能量、信号变换过程，确定系统和各元件的输入、输出量。系统和各元件的输入、输出量。（2）由输入端，依次由物理规律列写各部分方程。）由输入端，
7、依次由物理规律列写各部分方程。（3）消去中间变量，得到描述系统输入、输出变量关）消去中间变量，得到描述系统输入、输出变量关系的数学模型（如微分方程）。系的数学模型（如微分方程）。（4）进行标准化整理（如输入在右，输出在左，降幂）进行标准化整理（如输入在右，输出在左，降幂排列导数等等）。排列导数等等）。由以上例子可以看出由以上例子可以看出1. 物理本质不同的系统，其数学模型的推导过物理本质不同的系统，其数学模型的推导过程和数学模型本身非常相似，甚至可以相同。程和数学模型本身非常相似，甚至可以相同。2. 数学模型可以整理成为标准形式，其阶次与数学模型可以整理成为标准形式，其阶次与储能元件个数有关，
8、其系数与系统的结构和储能元件个数有关，其系数与系统的结构和参数有关，都对应于确切的物理意义。参数有关，都对应于确切的物理意义。四、运用微分方程建立数学模型的特点四、运用微分方程建立数学模型的特点3. 一般系统都含有非线性，若所得模型为非线性方程，一般系统都含有非线性，若所得模型为非线性方程，非线性系统一般不能应用迭加原理，数学上处理困难，非线性系统一般不能应用迭加原理，数学上处理困难，为便于理论分析，可以将其在一定条件下线性化，得为便于理论分析，可以将其在一定条件下线性化，得到系统的线性化模型。但是，本质非线性的系统无法到系统的线性化模型。但是，本质非线性的系统无法线性化，则需要运用非线性分析
9、法。线性化，则需要运用非线性分析法。在此特别提醒：线性系统与非线性系统的本质区别在此特别提醒：线性系统与非线性系统的本质区别四、运用微分方程建立数学模型的特点四、运用微分方程建立数学模型的特点线性系统与非线性系统：线性系统与非线性系统：线性系统：如果动态系统的各环节输入输出关系都是线性系统：如果动态系统的各环节输入输出关系都是线性的，系统性能可用线性微分方程或线性差分方程线性的，系统性能可用线性微分方程或线性差分方程描述，则该系统称为线性系统。例如，系统描述，则该系统称为线性系统。例如，系统线性系统可应用迭加原理处理输入和输出间关系：线性系统可应用迭加原理处理输入和输出间关系：叠加性和齐次性。
10、如线性电路的全响应等于零输入叠加性和齐次性。如线性电路的全响应等于零输入响应和零状态响应之和。响应和零状态响应之和。叠加原理叠加原理物理系统u(t)y(t)激励响应(1)叠加性：各个激励互不影响叠加性：各个激励互不影响u1(t)+u2(t) y1(t)+y2(t) u1(t) y1(t) u2(t) y2(t)(2)齐次性：保持比例因子齐次性：保持比例因子cu(t) cy(t)非线性系统：动态系统中只要有一个元部件的输入输非线性系统：动态系统中只要有一个元部件的输入输出特性必须用非线性方程描述，系统就无法写为线性出特性必须用非线性方程描述，系统就无法写为线性动态方程，而成为必须用非线性动态方程
11、描述的非线动态方程，而成为必须用非线性动态方程描述的非线性系统。例如性系统。例如非线性系统不适用迭加原理。但对于非线性不很严重非线性系统不适用迭加原理。但对于非线性不很严重的环节，通常可在一定范围内将非线性特性线性化。的环节，通常可在一定范围内将非线性特性线性化。线性化后得到系统的小信号偏差线性化模型，就可采线性化后得到系统的小信号偏差线性化模型，就可采用解线性常微分方程的方式得到系统运动规律。用解线性常微分方程的方式得到系统运动规律。但系统阶数较高时即使求解线性常系数微但系统阶数较高时即使求解线性常系数微分方程工作量也很大，因此人们发展了以分方程工作量也很大，因此人们发展了以线性定常系统为研
12、究对象的频域方法，使线性定常系统为研究对象的频域方法，使得求解线性常系数微分方程的工作转化为得求解线性常系数微分方程的工作转化为求解线性代数方程的工作，求解大为简化。求解线性代数方程的工作，求解大为简化。 重点：线性定常系统的微分方程重点：线性定常系统的微分方程四、运用微分方程建立数学模型的特点四、运用微分方程建立数学模型的特点 另一重点：线性定常系统的传递函数，另一重点：线性定常系统的传递函数，传递函数概念和传递函数概念和线性定常系统的传递函数模型则是整个频域法的基础。（下节）线性定常系统的传递函数模型则是整个频域法的基础。（下节）回顾：回顾：2.2 线性系统的微分方程线性系统的微分方程运用
13、微分方程建立数学模型运用微分方程建立数学模型一、为何建模？一、为何建模？二、电路系统二、电路系统三、机械系统三、机械系统四、运用微分方程建立数学模型的特点四、运用微分方程建立数学模型的特点2.3 线性系统的传递函数线性系统的传递函数采用微分方程描述系统：给定初始条件和输入，求采用微分方程描述系统：给定初始条件和输入，求解方程得到全响应。高次方程难以求解。解方程得到全响应。高次方程难以求解。对于线性定常系统，由于满足叠加定理，其输出端对于线性定常系统，由于满足叠加定理，其输出端不会产生新的频率成分，只会保持输入中原有的频不会产生新的频率成分，只会保持输入中原有的频率分量，但幅值和相位都会改变。于
14、是，可以对系率分量，但幅值和相位都会改变。于是，可以对系统的微分方程进行拉氏变换，从而把时域的微分方统的微分方程进行拉氏变换，从而把时域的微分方程变为复频域内的代数方程，方便求解。程变为复频域内的代数方程，方便求解。2.3 线性系统的传递函数线性系统的传递函数一、线性定常系统的传递函数二、典型环节的传递函数三、一般系统的传递函数一、线性定常系统的传递函数一、线性定常系统的传递函数定义：对于线性定常系统，在零初始条件下，定义：对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。比，称为系统的传递函数。系统的输入
15、在零时刻之后作用于系统系统的输入在零时刻之后作用于系统输入作用于系统前，系统是静止的输入作用于系统前，系统是静止的则传递函数只决定于系统的结构与参数则传递函数只决定于系统的结构与参数在零初始条件下在零初始条件下:n个m个设单输入单输出线性定常系统设单输入单输出线性定常系统:两边求拉氏变换，得两边求拉氏变换，得:记：记：nm上式即为上式即为SISO线性定常系统的传递函数。线性定常系统的传递函数。G(s)X(s)Y(s)Y(s)=G(s)X(s)若已知系统传递函数若已知系统传递函数G(s)和系统输入，则可和系统输入，则可求得求得 s 域的系统输出为域的系统输出为请看请看P16的两个求解传递函数的例
16、子的两个求解传递函数的例子一、线性定常系统的传递函数一、线性定常系统的传递函数性质：传递函数是复变量s的有理真分式，分子分母多项式的系数为实数，且nm；传递函数与微分方程一一对应，都是系统动态特性的一种数学描述；传递函数反映系统的动态特性而不反映其物理特性，与输入输出信号的形式也没有关系传递函数可以形象地在复平面上描述系统的动态特性：复平面上的零极点分布图传递函数是系统脉冲响应的拉氏变换。若系统输入为单位脉冲函数，因故即脉冲响应g(t)和传递函数G(s)是拉氏变换对.可知：G(s)仅由系统的结构和参数决定，与输入无关。仅适用于线性定常系统（时变系统可能不存在相应的拉氏变换），仅反映零状态响应。
17、二、典型环节的传递函数二、典型环节的传递函数根据系统的动态特性对传递函数进行分类，得到构成控制系统的最基本的环节六种典型环节。以下介绍六种典型环节的传递函数1. 比例环节比例环节传递函数：G(s)=K对应的微分方程：物理系统：电子放大器、电路分压器、变速箱、机械杠杆等等2. 惯性环节（一阶）惯性环节（一阶）传递函数：对应的微分方程：物理系统：由运算放大器构成的惯性环节、一阶电路、单容充放气系统等等3. 积分环节（一阶）积分环节（一阶）传递函数：对应的微分方程：物理系统：由运算放大器构成的积分环节、电子积分器、水槽液位系统等等4. 微分环节（一阶）微分环节（一阶）理想微分环节传递函数：对应的微分
18、方程：物理系统：由运算放大器构成的纯微分环节4. 微分环节（一阶）微分环节（一阶）实际微分环节传递函数：对应的微分方程：物理系统：一阶RC微分电路5. 振荡环节（二阶）振荡环节（二阶）传递函数：对应的微分方程：物理系统：RLC电路、弹簧质量阻尼系统等等6. 滞后环节（延迟或延时）滞后环节（延迟或延时）传递函数：对应的微分方程：物理系统：晶闸管整流装置、流体管道传输等一般控制系统由以上的典型环节构成各类元器件的组合构成系统对应的元器件的传递函数（容易求得）的组合构成系统的传递函数（运算求得）由系统的传递函数很方便的可以求解系统的响应三、一般系统的传递函数三、一般系统的传递函数2.4 控制系统的结
19、构图控制系统的结构图一、结构图的组成元素二、结构图的组成三、结构图的等效简化一、结构图的组成元素一、结构图的组成元素1、信号线：带箭头的直线段，箭头表示信号流向，线上字母标记信号的时间函数或象函数2、分支点：表示信号引出或测量的位置。同一分支点引出的信号，其信号和数值完全相同3、比较点：用一个小圆圈表示两个以上的信号进行加减运算。4、函数方框：表示对信号进行数学运算。方框的输出等于方框的输入与方框代表的传递函数的乘积。二、结构图的组成二、结构图的组成1、典型环节2、结构图的组成元素3、结构图：采用结构图的组成元素将各类典型环节连接起来表示一个系统。结构图典型环节结构图的组成元素例1：绘制以下电
20、路的结构图微分方程：拉氏变换：三、结构图的等效简化三、结构图的等效简化结构图的特点：清楚地反映各个环节之间的连接及其信号传递关系，代表的是系统的动态模型。结构图的变换和简化：(按代数运算规则)原则：保持变换前后输入输出关系不变三、结构图的等效简化三、结构图的等效简化1、结构图变换的目的2、结构图变换的类型3、结构图变换的整体思路1、结构图变换的目的、结构图变换的目的目的：为了得到系统的传递函数。目的：为了得到系统的传递函数。这种变换与传递函数的代数运算等这种变换与传递函数的代数运算等价，通过代数运算也可以得到同样价，通过代数运算也可以得到同样的结果。的结果。2、结构图变换的类型、结构图变换的类
21、型（1）、串连（2）、并联（3）、负反馈（4）、比较点移动（5）、分支点移动G1(s)G2(s)U(s)Y(s)G1(s)G2(s)U(s)Y(s)U1(s)(1)、串联G1(s)G2(s)U(s)Y1(s)Y2(s)Y(s)G1(s)+G2(s)U(s)Y(s)(2)、并联 G1(s) G2(s)U(s)Y(s)E(s)E(s) = U(s) G2(s)Y(s) Y(s) = G1(s) E(s)Y(s) = G1(s) U(s) G2(s)Y(s) = G1(s) U(s) G1(s) G2(s)Y(s) 1+ G1(s) G2(s) Y(s) = G1(s) U(s) U(s)Y(s)(
22、3)、负反馈负反馈保持节点移动前后对某封闭域输入输出关系不变保持节点移动前后对某封闭域输入输出关系不变封闭域应包含移动前后的节点位置。封闭域应包含移动前后的节点位置。比较点后移比较点后移(4)、比较点移动比较点移动保持节点移动前后对某封闭域输入输出关系不变保持节点移动前后对某封闭域输入输出关系不变封闭域应包含移动前后的节点位置。封闭域应包含移动前后的节点位置。分支点前移分支点前移(5)、分支点移动分支点移动1).1).通过串联和并联变换化简信号通道。通过串联和并联变换化简信号通道。2).2).通过比较点和分支点的移动，解除回通过比较点和分支点的移动，解除回路之间互相交连的部分；路之间互相交连的
23、部分；3).3).通过反馈回路变换，化简回路。通过反馈回路变换，化简回路。3、结构图变换的整体思路结构图变换的整体思路R1R2C1C2eeieoi1i2iI1II2EIEoI2I2EiEEoI1I+试探：从输入到输出，先元件后联成系统例：求传递函数例：求传递函数EiI1EEI2EoR1C2S+-EiEoEiEEo+R1C2s+R1C2S+-EiEoEiEoR1C2S+-EiEoGc(s)Gp(s)F(s)+-+R(s)Y(s)D(s)控制器被控对象测量元件开环传递函数(looptransferfunction)：G0Gc(s)Gp(s)F(s)闭环传递函数(closed-looptransfe
24、rfunction):例：闭环控制系统的基本结构例：闭环控制系统的基本结构则由迭加原理，得则由迭加原理，得对扰动输入的传递函数对扰动输入的传递函数当当F(s)=1时，为单位反馈系统，此时时，为单位反馈系统，此时2.5信号流图信号流图(signal-flow graph) 及及Mason公式公式(Mason loop rule)一、信号流图的概念二、信号流图的绘制三、Mason公式一、信号流图的概念一、信号流图的概念1.信号流图：一种采用信号单向传递的表示系统的动态相应特性的图示方法。2.信号流图的组成：由节点和支路组成p33一、信号流图的概念一、信号流图的概念结构图优点：直观完整地表示变量间关
25、系结构图优点：直观完整地表示变量间关系结构图缺点：关联性复杂的系统化简繁杂、结构图缺点：关联性复杂的系统化简繁杂、费时。费时。信号流图则可利用信号流图则可利用Mason增益公式，无需对增益公式，无需对流图进行化简和变换就得到系统变量间关系，流图进行化简和变换就得到系统变量间关系，特别适用于反馈控制系统。特别适用于反馈控制系统。二、信号流图的绘制二、信号流图的绘制1、根据系统的方框图绘制：把方框图的比较点和分支点作为信号流图的节点，把方框用标有传递函数的线段（支路）代替，得到信号流图例例1: x2 =a12 x1a12x1x2方框图a12x1x2信号流图G1G2RE1UYE1+1-111-1RE
26、1UE1Y信号流图是系统中变量间关系的一种有向图表信号流图是系统中变量间关系的一种有向图表示，其中的箭头表示信号的因果关系。它只适示，其中的箭头表示信号的因果关系。它只适用于线性系统。用于线性系统。例例2EiEEoI1II2+111-1-1-1EiEoEoEE-EoEi-EI1I2I21R11RsC11sC111由方框图到信号流图，由方框图到信号流图， 有些中间变量可以不表示出来有些中间变量可以不表示出来 ，如，如I1。 有些中间变量（位于综合点前，有输出）必有些中间变量（位于综合点前，有输出）必须表示出来，如须表示出来，如Ei和和E， 用单位增益用单位增益 支路将它们分开。支路将它们分开。例
27、例3二、信号流图的绘制二、信号流图的绘制2、根据系统方程绘制信号流图：首先把方程中的变量作为节点，再用支路把各个节点连接起来，得到信号流图例例4:x2=a12x1+a32x3x3=a13x1+a23x2+a33x3x4=a24x2+a34x3x1 ：输入节点输入节点(source)； x4 ：输出节点输出节点(sink)x2，x3中间节点（混合节点）中间节点（混合节点）例例5微分方程：拉氏变化：（考虑初值）初始值可以作为一个输初始值可以作为一个输入量，根据叠加原理，入量，根据叠加原理，可方便地表示于信号流可方便地表示于信号流图中。结构图不然。图中。结构图不然。回路回路 沿信号方向每个节点只通过
28、一次的闭路。沿信号方向每个节点只通过一次的闭路。 通道通道 从输入到输出沿信号方向每个节点只通过一从输入到输出沿信号方向每个节点只通过一次的通道。次的通道。 接触接触 指有公共的节点或支路。指有公共的节点或支路。abcde fbe, cf回路,becf 不是回路abfd是通道，aefd 和abecd不是K G 从输入节点到输出节点的总增益从输入节点到输出节点的总增益(系统传递函数系统传递函数) = 1 Li + LaLb - LLL +Li 单个回路的总增益单个回路的总增益 LaLb 两两互不接触的回路的总增益两两互不接触的回路的总增益 LLL 三个互不接触的回路的总增益三个互不接触的回路的总增益 Gk 从输入到输出的第从输入到输出的第k条通道的总增益条通道的总增益k 中去掉与第中去掉与第k条通道接触的部分条通道接触的部分三、三、 Mason公式公式例例1：11RYabcdefgx1x2x3x4G1= abc, 1=1; G2= g, 2=1-be ; =1-(ad+be+cf+gfed)+adcfRY1 1 1 -1 G4G3G2G1-F2-F1x4x3x2x1Y例例2：此题各回路互相接触，采用Mason公式比方框图的变换方法简单。本节课作业：本节课作业： 2-7 2-8 2-12(2)/(3)
