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1、第五章第五章 习题课习题课一、主要内容一、主要内容问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定定积积分分的的性性质质定定积积分分的的计计算算法法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式定积分的概念与计算定积分的概念与计算1 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 （求曲边梯形的面积（求曲边梯形的面积A）实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）方法方法:分割、求和、取极限分割、求和、取极限.2 2、定积分的定义、定积分的定义定义定义记为记为可积的两个可积的两个充分充分条件：条件：定理
2、定理1定理定理23 3、存在定理、存在定理4 4、定积分的性质、定积分的性质线性性质线性性质区间可加性区间可加性不等式性质不等式性质推论：推论：（1）（2）定积分中值定理定积分中值定理估值不等式估值不等式积分中值公式积分中值公式5 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定理定理1定理定理2（原函数存在定理）（原函数存在定理）定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式6 6、定积分的计算法、定积分的计算法换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式、广义积分、广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广
3、义积分(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分解解 (1)把把0，1分为分为n等份，等份，分点：分点：利用定积分的定义计算利用定积分的定义计算解解解解 (1)把把0，1分为分为n等份，等份，分点：分点：解解 2:把把1，2分为分为n等份，等份，分点：分点：例例2 解下列各题解下列各题0发散发散发散发散例例5 解下列各题解下列各题例例6 6解解问问题题在在那那儿儿例例7 7解解例例8 8解解例例9 9解解是偶函数是偶函数,例例10例例1111解解例例1212证证作辅助函数作辅助函数例例1313解解(2)测测 验验 题题1测验题答案测验题答案定积分的应用定积分的应用微微 元元 法法理理 论论 依
4、依 据据名名称称释释译译所所求求量量的的特特点点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式1 1、理论依据、理论依据2 2、名称释译、名称释译3 3、所求量的特点、所求量的特点4 4、解题步骤、解题步骤5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数极坐标情形极坐标情形(2) 体积体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧
5、长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为弧长弧长(4) 旋转体的侧面积旋转体的侧面积xyo(5) 细棒的质量细棒的质量(6) 转动惯量转动惯量(7) 变力所作的功变力所作的功(8) 水压力水压力(9) 引力引力(10) 函数的平均值函数的平均值(11) 均方根均方根典型例题典型例题2例例2 2解解由对称性由对称性,有有由对称性由对称性,有有由对称性由对称性,有有例例3 3解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有故所求速度为故所求速度为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为例例4 4解解如图建立坐标系如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为测测 验验 题题2测验题答案测验题答案测验题答案测验题答案
