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1、1.1分类计数原理和分步计数原理分类计数原理和分步计数原理请同学们回答下面的问题请同学们回答下面的问题 :何时用分类计数原理、分步计数原理呢?答答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用加法原理。 完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用乘法原理。 2.如图,一条电路在从A处到B处接通时，可以有多少条不同的线路？AB解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1
2、条 第三类, m3 = 22 = 4, 条 所以, 根据加法原理, 从A到B共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。 当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。.ABABm1m1m2m2mnmn点评点评: 我们可以把加法原理看成“并联电路”;乘法原理看成“串联电路”。如图:分分类计数原理、分步数原理、分步计数原理数原理例例1 五名旅客在三家旅店投宿的方法有多少种？五名旅客在三家旅店投宿的方法有多少种？解：完成这件事，可分成五个步骤：第一步安排旅客解：完成这件事，可分成五个步骤：第一步安排旅客A，有有3种投宿方法，同理第二步，第三步，第四步，第五步种投宿方法，同
3、理第二步，第三步，第四步，第五步都各自有都各自有3种方法，根据分步计数原理，得到五名旅客在种方法，根据分步计数原理，得到五名旅客在三家旅店投宿的方法有三家旅店投宿的方法有N3333335243答：五名旅客在三家旅店投宿的方法有答：五名旅客在三家旅店投宿的方法有243种。种。例例2 一个口袋内装有一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有个小球，另一个口袋装有4个小球，个小球，所有这些小球的颜色互不相同所有这些小球的颜色互不相同(1)从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？(2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？从两个口袋内各取一个小球
4、，有多少种不同的取法？解：解：(1)从两个口袋内任取从两个口袋内任取1个小球，有两类办法：第一类办个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取法是从第一个口袋内任取1个小球，可以从个小球，可以从5个小球中任取个小球中任取1个，有个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内取小球，可种方法；第二类办法是从第二个口袋内取小球，可以从以从4个小球中任取个小球中任取1个，有个，有4种方法，根据分类计数原理，种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是得到不同的取法的种数是Nm1m2549答：答： 从两个口袋内任取从两个口袋内任取1个小球，有个小球，有9种不同的取法种不同的取法(2)从两个口袋内
5、各取从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步从第一个口袋内取成：第一步从第一个口袋内取1个小球，有个小球，有5种方法；第二步种方法；第二步从第二个口袋内取从第二个口袋内取1个小球，有个小球，有4种方法，根据分步计数原理，种方法，根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是得到不同的取法的种数是Nm1m25420答：答： 从两个口袋内各取从两个口袋内各取1个小球，有个小球，有20种不同的取法种不同的取法例例3 现有高一学生现有高一学生8名，高二学生名，高二学生12名，高三学生名，高三学生10名组名组成课外活动小组：成课外活动小组：(1)选其中一人为组长，有
6、多少种不同选法？选其中一人为组长，有多少种不同选法？(2)每一年级选一名组长，有多少种不同选法？每一年级选一名组长，有多少种不同选法？解：（1）选一人作组长，有三类方法：第一类从高一选一名学生，有8种方法；第二类从高二选一名学生，有12种方法；第三类从高三选一名学生，有10种方法，选一人作组长的方法总数为 8+12+10=30 答：选一人作组长的方法总数为30。 （2）每年级选一人作组长，可分三步来完成：第一步从高一选一名学生，有8种方法；第二步从高二选一名学生，有12种方法；第三步从高三选一名学生，有10种方法，即各选一人作组长的方法总数为 81210=960 答：各选一人作组长的方法总数为
7、 960。例例4. 5名同学报名参加名同学报名参加4个课外活动小组个课外活动小组(每人限报每人限报1个个)，共有多少种不同报名方法？共有多少种不同报名方法？例例5. 5名同学争夺名同学争夺4项竞赛冠军获得者共有多少种可能？项竞赛冠军获得者共有多少种可能？解：五名学生依次报名，可分五步来完成每名学生在四解：五名学生依次报名，可分五步来完成每名学生在四个项目中可任报一项，即每一步都有四种可能根据分步个项目中可任报一项，即每一步都有四种可能根据分步计数原理，不同的报名方法共有计数原理，不同的报名方法共有 N44444451024(种种)答答:不同的报名方法共有不同的报名方法共有 1024种种解：确定
8、四项冠军人选可分四步来完成：第一步确定第一解：确定四项冠军人选可分四步来完成：第一步确定第一项冠军人选，有项冠军人选，有m15(种种)可能；第二步确定第二项冠军可能；第二步确定第二项冠军人选的方法种数人选的方法种数,直至第四步都与第一步相同，根据分步直至第四步都与第一步相同，根据分步计数原理，冠军获得者共有计数原理，冠军获得者共有 N555554625(种种)可能可能答答:确定四项冠军人选的方法种数共有确定四项冠军人选的方法种数共有625种种.例例575600有多少个正约数？有多少个正奇约数？有多少个正约数？有多少个正奇约数？解：解：(1)75600的每个正约数都可以写成的每个正约数都可以写成
9、2i3j5k7l(其中其中i、j、k、l为整数为整数)的形式，其中的形式，其中 0i4，0j3， 0k2， 0l1于是，要确定于是，要确定 75600的一的一个正约数，可分四步完成，即分别对个正约数，可分四步完成，即分别对i、j、k、l在各自的在各自的范围内任取一个数字，这样，范围内任取一个数字，这样，i有有5种选法，种选法，j有有4种选法，种选法，k有有3种选法，种选法，l有两种选法，根据分步计数原理，有两种选法，根据分步计数原理，75600的的正约数个数是：正约数个数是：N5432120(2)正奇数中不含有正奇数中不含有2的因数，所以要确定的因数，所以要确定75600的一个的一个正奇数只需
10、要分三步，即分别对正奇数只需要分三步，即分别对j、k、l在各自的范围内任在各自的范围内任取一个数字根据分步计数原理，取一个数字根据分步计数原理，75600的正奇约数的个的正奇约数的个数是数是 N43224答：答：75600有有120个正约数，个正约数，24个正奇约数个正奇约数练习练习:1. 某同学有若干本课外参考书，其中外语某同学有若干本课外参考书，其中外语5本，数本，数学学6本，物理本，物理2本，化学本，化学3本，他欲带参考书到图书馆看书本，他欲带参考书到图书馆看书(1)若从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同若从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？的带法？(2)若外语、数学
11、、物理和化学参考书各带一本，有多若外语、数学、物理和化学参考书各带一本，有多少种不同的带法？少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？书馆，有多少种不同的带法？2. 有有A、B、C三组人，三组人，A组有组有6个人，个人，B组有组有5个人，个人，C组组有有4个人现根据下列条件选人去外地参观，则有多少种个人现根据下列条件选人去外地参观，则有多少种不同的选法？不同的选法？(1)任选出任选出1人人(2)选取两个不同组的人选取两个不同组的人(3)三组中各选取一个三组中各选取一个3. 有有91个乒乓球运动员进行冠军赛，采取每输一场即淘汰个乒乓球运动员进行冠军赛，采取每输一场即淘汰出局的淘汰制，问决出冠军出局的淘汰制，问决出冠军1人，需要比赛多少场人，需要比赛多少场?
