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1、高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜第六节一、旋转曲面一、旋转曲面二、二次曲面二、二次曲面旋转曲面和二次曲面高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜研究空间曲面有研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知
2、曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜一、旋转曲面一、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线绕其以一条平面曲线绕其平面上平面上的一条的一条直线直线旋转旋转一周所成的曲面称为旋转曲面一周所成的曲面称为旋转曲面. .这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜高等数学高
3、等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜定义定义 以一条平面曲线以一条平面曲线绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称旋转一周所成的曲面称为旋转曲面为旋转曲面. .这条定直线叫旋转曲这条定直线叫旋转曲面的面的轴轴高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜定义定义 以一条平面曲线以一条平面曲线绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称旋转一周所成
4、的曲面称为旋转曲面为旋转曲面. .这条定直线叫旋转曲这条定直线叫旋转曲面的面的轴轴高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的方程的方程:当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时, ,若点若点给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 C: 则有则有则有则有该点转到该点转到高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜将将
5、代入代入得方程得方程高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜思考：当曲线思考：当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？同理：同理：yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线0),(= =zyf绕绕y轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程为为高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几
6、何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜解解 圆锥面方程圆锥面方程或或高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜例2. 求坐标面 xoz 上的双曲线分别绕分别绕 x轴和轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜解解: :绕绕 x 轴旋转轴旋转绕绕
7、z 轴旋转轴旋转这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面. .所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为单叶单叶双叶双叶高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜二、二次曲面二、二次曲面二次曲面二次曲面三元二次方程所表示的曲面称三元二次方程所表示的曲面称(二次项系数不全为二次项系数不全为 0 )其基本类型有其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面适当选取直角坐标系可得它们的标准方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅下
8、面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍就几种常见标准型的特点进行介绍 .高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解
9、析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜（一）椭球面（一）椭球面 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲
10、面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜球面球面截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学
11、理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜（二）抛物面（二）抛物面（ 与与 同号）同号）椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点设设原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 不相交不相交.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相
12、截与曲面相截截得抛物线截得抛物线xyzo高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.它的轴平行于它的轴平行于 轴轴顶点顶点（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形
13、如下：高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜（ 与与 同号）同号）双曲抛物面（马鞍面）
14、双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设图形如下：图形如下：xyzo高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜(三三) 双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面椭圆椭圆.时时, 截痕截痕为为( (实轴平行于实轴平行于x 轴；轴；虚轴平行于虚轴平行于z 轴）轴）平面平面 上的截痕情况上的截痕情况:双曲线双曲线: 高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜虚轴平
15、行于x 轴）时, 截痕为时, 截痕为(实轴平行于z 轴;相交直线: 双曲线: 高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜(2) 双叶双曲双叶双曲面面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线单叶双曲面双叶双曲面xyo高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜对对xoy平面上的图形，如果把平面上的图形，如果把y轴方向的长度伸缩轴方向的长度伸缩b/a倍，倍，那么那么在
16、空间，把在空间，把y轴方向的长度伸缩轴方向的长度伸缩b/a倍，那么圆锥面倍，那么圆锥面椭圆锥面椭圆锥面研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法: 伸缩变形法伸缩变形法 高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜椭球面椭球面范围：范围：由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转轴旋转旋转椭球面旋转椭球面把旋转椭球面沿把旋转椭球面沿y y轴方向伸缩轴方向伸缩b/ab/a倍，得椭球面。倍，得椭球面。高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次
17、曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜球面球面方程可写为方程可写为由此看出，球面是特殊的旋转椭球面，旋转椭球面是由此看出，球面是特殊的旋转椭球面，旋转椭球面是特殊的椭球面特殊的椭球面y y方向伸缩方向伸缩b/ab/a倍倍高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜引例引例. . 分析方程分析方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面解解: :在在 xoy 面上面上，表示圆表示圆C, 过此点作过此点作在圆在圆C上任取一点上任取一点 三、柱面三、柱面的坐标也满足方程的坐标也满足方
18、程对任意对任意 z ,平行平行 z 轴的直线轴的直线 l ,高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜定义定义观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程:这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫柱面叫柱面的的母线母线.平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成所形成的曲面称为柱面的曲面称为柱面. .高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理
19、学院 汪丽娜汪丽娜定义定义观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程:这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫柱面叫柱面的的母线母线.平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成所形成的曲面称为柱面的曲面称为柱面. .高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面轴的一切直线所形成的曲面称为称为圆圆故在空间故在空间柱面柱面. .表示表示圆柱面圆柱面其上所有点的坐标都满足此方程其上所有
20、点的坐标都满足此方程, ,高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜定义定义观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线 L 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 C 叫柱面叫柱面的的母线母线.高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜母线：母
21、线：椭圆柱面椭圆柱面可看作：平行于可看作：平行于z轴的直线沿轴的直线沿XOY面上的椭圆平行移动面上的椭圆平行移动而形成的。而形成的。平行于平行于z轴轴准线：准线： xoy上的椭圆上的椭圆高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜母线：母线：双曲柱面双曲柱面可看作：平行于可看作：平行于z轴的直线沿轴的直线沿XOY面上的双曲线平行移面上的双曲线平行移动而形成的。动而形成的。平行于平行于z轴轴准线：准线： xoy上的双曲线上的双曲线高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析
22、几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜母线：母线：抛物柱面抛物柱面可看作：平行于可看作：平行于z轴的直线沿轴的直线沿XOY面上的抛物线平行移面上的抛物线平行移动而形成的。动而形成的。平行于平行于z轴轴准线：准线： xoy上的抛物线上的抛物线高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜一般地一般地, ,在三维空间在三维空间柱面柱面, ,柱面柱面, ,平行于平行于 x 轴轴; ;平行于平行于 y 轴轴;平行于平行于 z 轴轴; ;准
23、线准线 xoz 面上的曲线面上的曲线 l3.母线母线柱面柱面, ,准线准线 xoy 面上的曲线面上的曲线 l1.母线母线准线准线 yoz 面上的曲线面上的曲线 l2. 母线母线高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜思考题解答思考题解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中斜率为斜率为1的直线的直线方程方程高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜内容小
24、结内容小结1. 空间曲面空间曲面三元方程三元方程 球面球面 旋转曲面旋转曲面如如, 曲线曲线绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面: 柱面柱面如如,曲面曲面表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.又如又如,椭圆柱面椭圆柱面, 双曲柱面双曲柱面, 抛物柱面等抛物柱面等 .高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜2. 二次曲面二次曲面三元二次方程三元二次方程 椭球面椭球面 抛物面抛物面:椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面 双曲面双曲面: 单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面椭圆锥面: 高等数学高等数学 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 旋转曲面和二次曲面旋转曲面和二次曲面内蒙古工业大学理学院内蒙古工业大学理学院 汪丽娜汪丽娜
