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1、极限运算法则一、极限基本运算法则一、极限基本运算法则定理定理推论推论3 3 如果 lim f (x)存在且f (x)0,则注意注意 运算法则运用的条件是运算法则运用的条件是lim f (x)， lim g (x)存在存在于是于是 推论推论1 1推论推论2 2例例1 1解解解解例例2 2(消去零因子法消去零因子法)二、求极限方法举例二、求极限方法举例小结小结: :则原极限为则原极限为 。则可约去公因子再求极限或则可约去公因子再求极限或采用其它方法采用其它方法。例例1 1解解例例2 2(可直接应用上结果可直接应用上结果)思考及练习1.是否存在 ? 为什么 ?答答: （1）不存在 . （2）存在 .
2、 （3）不确定 （4）不知道否则由利用极限四则运算法则可知存在 , 与已知条件矛盾.问无穷大量与 无穷小量一、无穷小一、无穷小1.定义定义:若若 limf (x)=0 , 则则f (x)称是在此自变量变化过称是在此自变量变化过程中的无穷小量程中的无穷小量.或称或称 f (x) 为此过程中的无穷小为此过程中的无穷小. 记为记为limf (x)=0。 例如例如,注意注意1.无穷小是变量（函数）无穷小是变量（函数）,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:意义意义将一般极限问题转化为无穷小量
3、的研究将一般极限问题转化为无穷小量的研究;无穷小分析。无穷小分析。证证 必要性必要性充分性充分性由极限的定义有二、无穷大二、无穷大直观上，绝对值无限增大的变量称为直观上，绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大. 以以xx0为例。为例。1.定义定义 设函数设函数f (x)在点在点x0的某一去心邻域内有定义的某一去心邻域内有定义(或或 |x|大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义)。若。若 M 0（不论它多（不论它多 么大），么大）， 0 (或正数或正数X )，当，当 0|x-x0|X) 时，都有时，都有| f (x) | M，那么称函数那么称函数f (x)当当xx0(或或x)时为无穷大量时为无穷
4、大量. 记为记为特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.* f (x)在某区间内无界与自变量在某变化过程在某区间内无界与自变量在某变化过程中为无穷大是不一样的中为无穷大是不一样的.*无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量但是无界变量未必是无穷大未必是无穷大. 例例但为了便于叙述函数的这一性态但为了便于叙述函数的这一性态,我们也说我们也说函数的极限是无穷大函数的极限是无穷大 例例 用定义证明用定义证明三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在自变量的
5、同一变化过程中，如果在自变量的同一变化过程中，如果f (x)为无穷为无穷大大,则则 为无穷小；反之为无穷小；反之, 如果如果f (x)为无穷小为无穷小,且且f (x) 0,则则 为无穷大为无穷大.意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论.证证以以xx0为例。为例。例如例如3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的和仍是无穷小有限个无穷小的和仍是无穷小.注意注意以下做法是否正确：以下做法是否正确：定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中
6、在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷有极限的变量与无穷小的乘积是无穷 小小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.例如四、小结四、小结1、主要内容、主要内容:2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；混淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. .
7、（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.二、复合函数的极限运算法则二、复合函数的极限运算法则定理定理5 设u= (x), (x) a，又，又f (u)=A，则f (x)= f (u)=A.= a，且在点，且在点x0的某去心邻域内的某去心邻域内注释注释 (1)在定理中，把在定理中，把a， x0均可以换成均可以换成 (2)定理表示，如果函数定理表示，如果函数 f (u)和和 (x)满足该定理的条满足该定理的条件，那么作代换件，那么作代换u= (x)，有，有 f (x)= f (u)，这里，这里a= . 复合函数的极限运算法则为求函数极限时的变量代换复合函数的极限运算法则为求函数极限时的变
8、量代换法提供了理论依据。例及综合例法提供了理论依据。例及综合例证证 设在 时， (x) a。当时, 有当时, 有对上述取则当时故因此结论成立.二、复合函数的极限运算法则二、复合函数的极限运算法则注释注释 (1)在定理中，把在定理中，把a， x0均可以换成均可以换成 (2)定理表示，如果函数定理表示，如果函数 f (u)和和 (x)满足该定理的条满足该定理的条件，那么作代换件，那么作代换u= (x)，有，有 f (x)= f (u)，这里，这里a= . 定理定理5 设u= (x), (x) a，又，又f (u)=A，则f (x)= f (u)=A.= a，且在点，且在点x0的某去心邻域内的某去心
9、邻域内复合函数的极限运算法则为求函数极限时的变量代换复合函数的极限运算法则为求函数极限时的变量代换法提供了理论依据。法提供了理论依据。例及综合例例及综合例PPT例8 . 求解解: 方法方法 1则令方法方法 2 通常这种方法称为变量代换法，复合函数的极限通常这种方法称为变量代换法，复合函数的极限运算法则为求函数极限时的变量代换法提供了理论依运算法则为求函数极限时的变量代换法提供了理论依据。据。例9 . 求解解:二、求极限方法举例二、求极限方法举例小结小结: :则原极限为则原极限为 。则可约去公因子再求极限或则可约去公因子再求极限或采用其它方法采用其它方法。例例3.3.从具体例子引出：从具体例子引
10、出：方法推广：方法推广：例例4 4解解判断错在哪里：判断错在哪里：其它例。3. 求求解法解法 1 原式 =解法解法 2 令则原式 =4. 试确定常数试确定常数 a 使使解解 : 令则故因此原极限原极限估计极限估计极限，并证明你的结论。，并证明你的结论。解解因 不存在。不存在。另一类似的函数另一类似的函数 例 设设解解: :由第一个极限式,令再利用后一极限式 , 得可见是多项式 , 且求故三、小结三、小结1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数的结果多项式与分式函数的结果;b.函数因式分解、分子有理化、通分等变形方法函数因式分解、分子有理化、通分等变形方法;c.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;d. 利用左右极限求分段函数在分段点处极限利用左右极限求分段函数在分段点处极限;e.证明极限不存在：左右极限、函数极限与数列极限证明极限不存在：左右极限、函数极限与数列极限的关系、的关系、无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系.f.变量代换求极限。变量代换求极限。
