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1、复习回顾复习回顾解：解： f (x)=x3-3x=3x2-3=3(x2-1)=3(x-1)(x+1) 当当f (x)0,即即-1x0,即即x1或或x0 ,那么函数在这个区间内单调那么函数在这个区间内单调递增递增； 如果如果 f (x)0 , 那么函数在这个区间内单调那么函数在这个区间内单调递减递减2.函数的单调性与导函数的正负的关系函数的单调性与导函数的正负的关系：1.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数1.理解极大值，极小值的概念理解极大值，极小值的概念;2.会用导数会用导数求求函数的极大值、极小值函数的极大值、极小值,并掌握求极值的步骤并掌握求极值的步骤学习目标学习目标自学指导一自学指
2、导一时间：时间：4分钟分钟内容：课本第内容：课本第26页页27页页任务：任务：1.什么是极小值，什么是极大值？各有什么特点？什么是极小值，什么是极大值？各有什么特点？2.函数的极大值一定大于极小值吗？函数的极大值一定大于极小值吗？3.在区间内可导函数的极大值和极小值是在区间内可导函数的极大值和极小值是唯唯一的吗？一的吗？4.导数为导数为0的点一定是极值点吗？的点一定是极值点吗？知识建构知识建构1极小值点与极小值极小值点与极小值如图，函数如图，函数yf(x)在点在点xa的函数值的函数值f(a)比它在点比它在点xa附近其他点的函数值附近其他点的函数值_，且且_；而且；而且在点在点xa的左侧的左侧_
3、，右侧，右侧_，则把，则把点点a叫做函数叫做函数yf(x)的极小值点，的极小值点，f(a)叫做函数叫做函数yf(x)的极小值的极小值f(x)0xyoaby=f(x)0f (a)=0都小都小f(a)02极大值点与极大值极大值点与极大值如图，函数如图，函数yf(x)在点在点xb的函数值的函数值f(b)比它在点比它在点xb附近其他点的函数值附近其他点的函数值_，且且_；而且在点；而且在点xb的左侧的左侧_，右侧，右侧_，则把点，则把点b叫做函数叫做函数yf(x)的极大值点，的极大值点，f(b)叫做函数叫做函数yf(x)的极大值的极大值_、_统称为极值点，统称为极值点，_和和_统称为极值统称为极值f(
4、x)0f(x)0极大值点极大值点极小值点极小值点极大值极大值极小值极小值0xyoaby=f(x)f (b)=0都大都大f(b)0yabx1x2x3x4Ox 问题问题1：你能找出函数的极小值点和极大值点吗？为什么？：你能找出函数的极小值点和极大值点吗？为什么？观察观察上述图象上述图象,试指出该函数的极值点与极值试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点并说出哪些是极大值点,哪些哪些 问题问题2：极小值一定比极大值小吗？：极小值一定比极大值小吗？上述图象上述图象,试指出该函数的极试指出该函数的极值点与极值值点与极值,并说出哪些是极大值点并说出哪些是极大值点,哪些哪些观察图象回答下面问题：观察
5、图象回答下面问题：不一定不一定？小试牛刀小试牛刀“课本课本”第第96页页练习练习2思考思考(1)导数为导数为0的点一定是的点一定是 函数的极值点吗？函数的极值点吗？例如：例如：f(x)=x3f (x)=3x20f (0)=302=0xx0f (x)+0+f(x)oxyy=x3+不一定不一定f (x0) =0=0 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 自学指导二自学指导二时间：时间：3分钟分钟内容：课本第内容：课本第2829页页任务：任务：1.体会例体会例4中求函数极值的解题步骤中求函数极值的解题步骤.2.尝试总结求函数极值的步骤尝试总结求函数极值的步骤.因为因为 所以所以例例4 求函数求
6、函数 的极值的极值.解解:令令 解得解得 或或当当 x 变化时变化时, 、f (x) 的变化情况如下表的变化情况如下表:x(, 2)2(2, 2)2( 2, +)00f (x) +单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极大值，极大值为有极大值，极大值为 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极小值，极小值为有极小值，极小值为 .求导求导列表：列表：求根求根列表列表判断判断定义域定义域求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求导函数）求导函数（2）求
7、方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况 若若f (x)左正右负，则左正右负，则f(x)为极大值；为极大值； 若若 f (x)左负右正，则左负右正，则f(x)为极小值为极小值定义域定义域求导求导求根求根列表列表判断判断解解(1)f(x)3x26x9 =3（x-3）(x+1).令令f(x)0，得，得x11，x23.当当x变化时，变化
8、时，f(x)与与f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x(，1) 1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)单调递单调递增增10单调递单调递减减22 单调单调递递增增当当x1时函数取得极大值，且极大值为时函数取得极大值，且极大值为f(1)10；当当x3时函数取得极小值，且极小值为时函数取得极小值，且极小值为f(3)22.练习练习1:1:下列函数中，下列函数中，x=0x=0是极值点的函数是是极值点的函数是( )( )A.y=xA.y=x3 3 B.y=x B.y=x2 2 C.y=x C.y=x2 2x D.y=1/xx D.y=1/xB课堂练习课堂练习练习练习练习练习2 2小结小结1、函
9、数的极值点、极值、函数的极值点、极值2、判定函数极值的方法、判定函数极值的方法极大值极大值极小值极小值例例:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1处有极值为处有极值为 10,求求a、b的值的值.解解: =3x2+2ax+b=0有一个根有一个根x=1,故故3+2a+b=0.又又f(1)=10,故故1+a+b+a2=10.由由、解得解得 或或当当a=-3,b=3时时, ,此时此时f(x)在在x=1处无处无极值极值,不合题意不合题意.当当a=4,b=-11时时,-3/11x1时时, ,此时此时x=1是极是极值点值点.从而所求的解为从而所求的解为a=4,b=-11.习题习题 A组
10、组 #4下图是导函数下图是导函数 的图象的图象, 在标记的点中在标记的点中, 在哪一点处在哪一点处(1)导函数导函数 有极大值有极大值?(2)导函数导函数 有极小值有极小值?(3)函数函数 有极大值有极大值?(4)函数函数 有极小值有极小值?或或例例3:已知函数已知函数f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函数若函数f(x)在在x=0,x=4处取得极值处取得极值,且极小值为且极小值为-1, 求求a、b的值的值.解解:(1)由由 得得x=0或或x=4a/3.故故4a/3=4, a=6.由于当由于当x0时时, 故当故当x=0时时,f(x)达到极小值达到极小值f(0)=b,所以所以b=-1.例例4
11、:已知已知f(x)=ax5-bx3+c在在x= 1处有极值处有极值,且极大值为且极大值为 4,极小值为极小值为0.试确定试确定a,b,c的值的值.解解:由题意由题意, 应有根应有根 ,故故5a=3b,于是于是:(1)设设a0,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 0 + f(x) 极大值极大值 极小值极小值 由表可得由表可得 ,即即 .又又5a=3b,解得解得a=3,b=5,c=2.(2)设设a0,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 极小值极小值 极大值极大值 由表可得由表可得 ,即即 .又又5a=3b,解得解得a=-3,b=-5,c
12、=2.1极值的概念理解极值的概念理解在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值请注意以的是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：下几点：(1)极值是一个局部概念由定义，极值只是某个极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小最小方法感悟方法感悟已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时，注意
13、两点：进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性理性已知极值求参数已知极值求参数考点二考点二考点二考点二极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思
14、想、分类知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键略是解决综合问题的关键函数极值的综合应用函数极值的综合应用考点三考点三例例例例3 3 设函数设函数f(x)x36x5，xR.(1)求函数求函数f(x)的单调区间和极值；的单调区间和极值；(2)若关于若关于x的方程的方程f(x)a有三个不同的实根，求有三个不同的实根，求实数实数a的取值范围的取值范围【思路点拨】【思路点拨】(1)利用导数求单调区间和极值利用导数
15、求单调区间和极值.(2)由由(1)的结论，问题转化为的结论，问题转化为yf(x)和和ya的图象的图象有有3个不同的交点，利用数形结合的方法求解个不同的交点，利用数形结合的方法求解.【名师点评名师点评】用求导的方法确定方程根的个数用求导的方法确定方程根的个数,是一种很有效的方法它通过函数的变化情况，是一种很有效的方法它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点轴的交点个数，从而判断方程根的个数个数，从而判断方程根的个数(2)函数的极值不一定是惟一的，即一个函数在某函数的极值不一定是惟一的，即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止
16、个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个一个(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，是极大值点，x4是极小值点，而是极小值点，而f(x4)f(x1)2极值点与导数为零的点极值点与导数为零的点(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即为零的点不一定是极值点，即“点点x0是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点”是是“f(x0)0”的充分但不必要的充分但不必要条件；条件；(2)可导函数可导函数f(x)在点在点x0处取得极值的充要条件是处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在，且在x0左侧和右侧左侧和右侧f(x)的符号不同的符号不同.如果在如果在x0的两侧的两侧f(x)的符号相同，则的符号相同，则x0不是极值不是极值点点
