《自动控制原理：第六章 线性离散系统的分析与校正-6-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制原理：第六章 线性离散系统的分析与校正-6-5（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、Automatic Control Principle Page: 1自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 1.Z变换下s域到z域的映射6.5 离散系统的稳定性与稳态误差 与连续系统一样，稳定性和稳态误差是离散系统分与连续系统一样，稳定性和稳态误差是离散系统分析的重要内容。析的重要内容。 按按Z变换定义，变换定义， 给出了给出了s s域与域与z z域的关系。设域的关系。设s s域的任一点域的任一点 ，则在，则在z z域域由此可得由此可得若若s s位于位于s s平面左半平面平面左半平面, ,则则z z位于位于z z平面的单位圆内平面的单位圆内若若s s位于位于s s平面的虚
2、轴上平面的虚轴上, , 则则z z位于位于z z平面的单位圆上平面的单位圆上若若s s位于位于s s平面右半平面平面右半平面, ,则则z z位于位于z z平面的单位圆外平面的单位圆外Automatic Control Principle Page: 2自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 采样角频率采样角频率 的周期函数的周期函数 将将s s左半平面按相位周期变左半平面按相位周期变化划分平行于负实轴的周期化划分平行于负实轴的周期带，其中带，其中 为为主主带带，其余周期带为次带。，其余周期带为次带。j j主带主带次带次带次带次带s s平面平面 研究研究s s域到域到z z域
3、的映射只需域的映射只需研究其主带即可。研究其主带即可。Automatic Control Principle Page: 3自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 等等线映射线映射 等等线映射线映射 等等线映射线映射 s s平面的等平面的等线线( (平行于实轴平行于实轴) )映射到映射到z z平面，是平面，是一条一条起于原点、与实轴夹角等于起于原点、与实轴夹角等于T T的射线。的射线。 s s平面的等平面的等线线( (平行于虚轴平行于虚轴) )映射到映射到z z平面，是以平面，是以 为半径、圆心为原点的圆，为半径、圆心为原点的圆，0,0,则半则半径大于径大于1 1；0,1,
4、|1,系统不稳定系统不稳定采样周期是否影响采样周期是否影响系统的稳定性？系统的稳定性？加入采样开关系统加入采样开关系统为什么会不稳定？为什么会不稳定？开环增益是否影响开环增益是否影响系统的稳定性？系统的稳定性？问题？问题？Automatic Control Principle Page: 9自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 3.离散系统的稳定性判据连续系统稳定性连续系统稳定性 充要条件：系统充要条件：系统闭环极点位于闭环极点位于s s平面左半平面平面左半平面 稳定判据：稳定判据：( (基于传递函数基于传递函数) )赫尔维茨判据、劳斯赫尔维茨判据、劳斯判据判据离散系统稳
5、定性离散系统稳定性 充要条件：系统充要条件：系统闭环极点位于闭环极点位于z z平面单位圆内平面单位圆内 稳定判据稳定判据: (: (基于脉冲传递函数）基于脉冲传递函数）朱利判据朱利判据( (计算计算量大量大) )、双线性变换双线性变换：又称：又称W W变换，是一种变换，是一种线性变换线性变换。劳斯判据劳斯判据Automatic Control Principle Page: 10自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 即即z z所对应的所对应的w w分别位于分别位于w w平面的虚轴、左半平面和右半平面的虚轴、左半平面和右半平面平面。设复变量设复变量由双线性变换由双线性变换当
6、当z z分别位于分别位于z z平面的单位圆上、单位圆内和单位圆外平面的单位圆上、单位圆内和单位圆外时，则有时，则有 离散系统稳定的充要条件转换为特征方程离散系统稳定的充要条件转换为特征方程 的所有根均位于的所有根均位于w w平面的左半平面平面的左半平面Automatic Control Principle Page: 11自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 例6.5-2 设离散系统的特征方程为D(z)=45z3-117z2+119z-39=0试判断系统的稳定性。解：解： 令令z=(w+1)/(w-1)代人代人D(z)中，得中，得w 3+2w2+2w+40=0列写劳斯表列
7、写劳斯表劳斯表第一列元素有两次变号，有两个特征根位于劳斯表第一列元素有两次变号，有两个特征根位于w w的左半平面。由的左半平面。由W W变换知，系统有两个特征根位于变换知，系统有两个特征根位于z z平平面的单位圆外，系统不稳定。面的单位圆外，系统不稳定。Automatic Control Principle Page: 12自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 例6.5-3 设闭环离散系统如图解解: :系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为即即 开环增益K=10，求使系统闭环稳定的采样周期T的范围 采样周期T=1s时，求系统稳定时开环增益K的范围。作作W W变换，即令变换，
8、即令 ，得得4.采样周期与开环增益对稳定性的影响Automatic Control Principle Page: 13自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 K K=10=10时，特征方程展开并化简得时，特征方程展开并化简得由于由于因此，使系统闭环稳定的因此，使系统闭环稳定的T T的范围为的范围为 T=1sT=1s时，特征方程展开并化简得时，特征方程展开并化简得为保证闭环稳定，应有为保证闭环稳定，应有 由二阶系统闭环稳定的条件：特征方程的系数同由二阶系统闭环稳定的条件：特征方程的系数同号且不缺项，为保证闭环稳定，应有号且不缺项，为保证闭环稳定，应有Automatic Co
9、ntrol Principle Page: 14自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 当采样周期一定时，当采样周期一定时，开环增益过大，开环增益过大，离散系统的离散系统的稳定性差稳定性差，甚至会使系统变得不稳定。，甚至会使系统变得不稳定。 当开环增益一定时，当开环增益一定时，采样周期越长采样周期越长，丢失信息越，丢失信息越多，对离散系统的多，对离散系统的稳定性及动态性能都不利稳定性及动态性能都不利，甚至，甚至使系统失去稳定性。使系统失去稳定性。 开环增益开环增益K K和采样周期和采样周期T T都将影响系统的稳定性：都将影响系统的稳定性：例例6.5-46.5-4 设有零阶保
10、持器的离散系统如图,试求当采样周期T分别为0.02s和0.5s时，系统K的稳定范围。Automatic Control Principle Page: 15自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 解：解：系统开环传递函数为系统开环传递函数为闭环特征方程为闭环特征方程为 ，即，即系统开环脉冲传递函数为系统开环脉冲传递函数为零阶保持器不增加零阶保持器不增加（不改变）开环脉（不改变）开环脉冲传递函数的极点冲传递函数的极点Automatic Control Principle Page: 16自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 (1)(1)当当T=0.1T=
11、0.1时，由系统闭环特征方程时，由系统闭环特征方程展开得展开得为保证系统闭环稳定，应有为保证系统闭环稳定，应有作作W W变换，即令变换，即令 ，得得Automatic Control Principle Page: 17自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 (2)(2)当当T=0.5T=0.5时，由系统闭环特征方程时，由系统闭环特征方程展开得展开得为保证系统闭环稳定，应有为保证系统闭环稳定，应有作作W W变换，即令变换，即令 ，得得Automatic Control Principle Page: 18自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 5.离散系
12、统的稳态误差 与连续系统不同，离散系统没有典型的结构形式。与连续系统不同，离散系统没有典型的结构形式。离散系统的稳态误差须根据其结构形式求取离散系统的稳态误差须根据其结构形式求取。单位反馈离散系统单位反馈离散系统常用离散系统结构图常用离散系统结构图误差脉冲传递函数为误差脉冲传递函数为Automatic Control Principle Page: 19自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 离散系统稳态误差的计算离散系统稳态误差的计算 若若离散系统稳定离散系统稳定，即误差，即误差脉冲传递函数的极点均位于脉冲传递函数的极点均位于z z平面的单位圆内，则可平面的单位圆内，则可
13、用用z z变换的终值定理变换的终值定理确定确定误差采样序列的稳态值误差采样序列的稳态值，即，即离散系统采样瞬时的稳态误差离散系统采样瞬时的稳态误差单位反馈离散系统单位反馈离散系统例6.5-5 设离散系统T=0.1s, r(t)分别为1(t)、t和t2/2,试求系统的稳态误差。Automatic Control Principle Page: 20自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 解：解： 系统开环传递函数系统开环传递函数G(s)G(s)相应的相应的z z变换为变换为则误差脉冲传递函数为则误差脉冲传递函数为闭环极点为闭环极点为闭环系统稳定。可运用终值定理计算典型输入作用
14、下闭环系统稳定。可运用终值定理计算典型输入作用下离散系统的稳态误差。离散系统的稳态误差。Automatic Control Principle Page: 21自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 当当r(t)=1(t)r(t)=1(t)时时当当r(t)=tr(t)=t时时当当r(t)=tr(t)=t2 2/2/2时时是否有规是否有规律可循？律可循？Automatic Control Principle Page: 22自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 例6.5-6 设G(s)=1/(s+1), r(t)=1(t),求两系统稳态误差并比较单位反馈
15、离散系统单位反馈离散系统解：解：系统系统(a)(a)：系统闭环稳定，则系统闭环稳定，则Automatic Control Principle Page: 23自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 系统系统(b)(b)：系统输出采样序列的拉氏变换系统输出采样序列的拉氏变换整理得整理得Automatic Control Principle Page: 24自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 系统闭环稳定，则系统闭环稳定，则 阶跃输入下，系统阶跃输入下，系统(a)(a)和系统和系统(b)(b)都存在稳态误差，都存在稳态误差，但稳态误差不等。但稳态误差不等
16、。 此例也表明，对此例也表明，对非误差采样的离散系统，其稳态误非误差采样的离散系统，其稳态误差必须根据其结构形式求取差必须根据其结构形式求取。系统稳态误差为系统稳态误差为Automatic Control Principle Page: 25自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 6.离散系统的型别与静态误差系数单位反馈离散系统单位反馈离散系统 设系统输入为单位幂设系统输入为单位幂函数，考虑图示结构下函数，考虑图示结构下系统的稳态误差。系统的稳态误差。 拟将单位反馈连续系统拟将单位反馈连续系统所建立的系统型别和静态误差系数的概念推广应用于所建立的系统型别和静态误差系数的概念
17、推广应用于离散系统，涉及三个问题：离散系统，涉及三个问题： 设开环脉冲传递函数设开环脉冲传递函数 为传递函数为传递函数 的的Z Z变换，变换，定义定义 中中z=1z=1的极点数的极点数 为离散系统的型别。为离散系统的型别。 离散系统型别定义离散系统型别定义 称称 的离散系统系统为的离散系统系统为0 0型、型、型、型、型离散系统，型离散系统，。Automatic Control Principle Page: 26自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 按照型别，按照型别， 可表示为可表示为 静态误差系数定义静态误差系数定义 类同连续系统，在类同连续系统，在离散系统离散系统闭
18、环稳定条件闭环稳定条件下下静态位置误差系数静态位置误差系数静态速度误差系数静态速度误差系数静态加速度误差系数静态加速度误差系数前提条件前提条件具体地，静态误差系数与离散系统的型别有关具体地，静态误差系数与离散系统的型别有关Automatic Control Principle Page: 27自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 设图示单位反馈设图示单位反馈离散系统离散系统闭环稳定闭环稳定，当输入信号为幂，当输入信号为幂函数函数 时时系统在采样瞬时的稳态误差系统在采样瞬时的稳态误差与系统型别有关，且可由静与系统型别有关，且可由静态误差系数表示。态误差系数表示。 当当 时时
19、 幂函数输入信号作用下离散系统的稳态误差幂函数输入信号作用下离散系统的稳态误差单位反馈离散系统单位反馈离散系统Automatic Control Principle Page: 28自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 当当 时时 当当 时时Automatic Control Principle Page: 29自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 指标指标 型别型别静态误差系数静态误差系数 稳态误差稳态误差KpKvKa0型00型00型00型000单位反馈离散系统静态误差系单位反馈离散系统静态误差系数数和稳态误差和稳态误差幂函数输入信号作用下，若离散
20、系统闭环稳定，则幂函数输入信号作用下，若离散系统闭环稳定，则稳态误差稳态误差取决于取决于开环系统型别开环系统型别 和输入幂次和输入幂次 的差的差Automatic Control Principle Page: 30自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 例6.5-7 设有零阶保持器的离散系统,T=0.5s试分别求r(t)=t,Kc=3或10时系统的稳态误差。解：系统开环脉冲传递函数为系统开环脉冲传递函数为离散系统为离散系统为I I型系统，开环脉冲传递函数增益为型系统，开环脉冲传递函数增益为系统稳态误差为系统稳态误差为闭环系统闭环系统稳定性？稳定性？Automatic Control Principle Page: 31自自动动控控制制原原理理 南南京京航航空空航航天天大大学学 根据根据例6.5-4的结果，当的结果，当T=0.5T=0.5时，由系统闭环特征方程时，由系统闭环特征方程为保证系统闭环稳定，应有为保证系统闭环稳定，应有 。作作W W变换，即令变换，即令 ，得得时，系统稳定，闭环特征方程时，系统稳定，闭环特征方程 时，系统不稳定，闭环特征方程时，系统不稳定，闭环特征方程系统稳定系统稳定系统不稳定系统不稳定
