《数字信号处理：第3章 频域中的离散时间信号》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字信号处理：第3章 频域中的离散时间信号（100页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第3 3章章 频域中的离散时间信号频域中的离散时间信号n连续和离散时间傅里叶变换连续和离散时间傅里叶变换n离散时间傅里叶变换定理离散时间傅里叶变换定理n连续时间信号的数字处理连续时间信号的数字处理傅立叶傅立叶 1768-1830(Fourier, Jean Baptiste Joseph) 法国数学家、物理学家法国数学家、物理学家最早使用定积分符号最早使用定积分符号改进符号法则、根数判别方法改进符号法则、根数判别方法傅立叶级数创始人傅立叶级数创始人 1807 热的传播热的传播推导热传导方程中发现解函数可以由三推导热传导方程中发现解函数可以由三角函数级数构成的级数形式表示角函数级数构成的级数形
2、式表示 1822 热的分析理论热的分析理论傅立叶级数、分析等理论傅立叶级数、分析等理论1 1、连续和离散时间傅里叶变换、连续和离散时间傅里叶变换傅立叶分析方法的历史傅立叶分析方法的历史l古巴比伦人古巴比伦人 “三角函数和三角函数和” 描述周期性过程、预测天体运描述周期性过程、预测天体运动动l 1748年年 欧拉欧拉 振动振动弦的形状弦的形状是振荡是振荡模的线性组合模的线性组合l1753年年 D伯努利伯努利 弦的实际运动弦的实际运动可用标准振荡可用标准振荡模的线性组合模的线性组合来表示来表示l17591759年年 拉格朗日拉格朗日 不能不能用用三角级数三角级数来表示具来表示具有间断点的函数有间断
3、点的函数 l1822年年 傅立叶傅立叶“热的分析理论热的分析理论” 中提出并证明中提出并证明周期函数的正弦级周期函数的正弦级数展开数展开原理，奠定了傅立叶级数的理论基础原理，奠定了傅立叶级数的理论基础l1829年年 P.L狄里赫利狄里赫利周期信号周期信号傅立叶级数表示的若干傅立叶级数表示的若干精确条件精确条件l19-20世纪世纪两种傅立叶分析方法两种傅立叶分析方法-连续连续与与离散离散l1965年年 Cooley & Tukey (IBM) 发明发明FFT 算法算法四种常用的傅立叶四种常用的傅立叶变换变换时域时域频域频域离散离散连续连续离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换连续连续连续连续连续时
4、间傅立叶变换连续时间傅立叶变换 离散离散离散离散 离散傅立叶变换离散傅立叶变换连续连续离散离散连续时间傅立叶级数连续时间傅立叶级数连续时间连续时间傅立叶傅立叶变换变换(FT) x(t)X(j) 正变换正变换 反变换反变换正变换正变换 分解分解 ( (提取提取) )反变换反变换 合成合成 ( (还原还原) ) 条件条件 有限个不连续点有限个不连续点 绝对可积绝对可积引例引例时域时域和弦和弦 中音中音CEG频域频域如何分解出如何分解出CEG分量？分量？傅立叶变换的物理意义傅立叶变换的物理意义滤波滤波相乘相乘中音中音C每个频率分量？每个频率分量？频域频域滤波器滤波器时域时域卷积卷积频率频率为为分量分
5、量幅度幅度频率频率通带通带变窄变窄x(t)x(t)滤波器滤波器频域频域频率频率幅度幅度时域时域单位冲击响应单位冲击响应与与 t无关无关常数常数x(t)x(t)非周期连续非周期连续时间信号时间信号非周期连续非周期连续频率函数频率函数常见信号频谱常见信号频谱连续时间连续时间傅立叶级数傅立叶级数(FS)周期周期正变换正变换 反变换反变换收敛性收敛性抽样定理抽样定理周期连续周期连续时间信号时间信号非周期离散非周期离散频谱函数频谱函数常见信号频谱常见信号频谱离散时间离散时间傅里叶变换傅里叶变换(DTFT)正变换正变换 反变换反变换非周期离散非周期离散信号信号周期连续周期连续频率函数频率函数常见信号频谱常
6、见信号频谱DTFT频谱频谱 的性质：的性质： 1. 模与幅角模与幅角 2. 对于实序列对于实序列证明：证明：复序列的离散时间傅立叶变换的对称关系复序列的离散时间傅立叶变换的对称关系 序列序列 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换 对称关系对称关系实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系 序列序列 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换 对称关系对称关系 注注: : 和和 分别代表着分别代表着 的偶部和奇部的偶部和奇部DTFT的收敛条件（的收敛条件（convergence)如果如果xn的的DTFT在种意义上收敛，则称在种意义上收敛，则称xn的傅立叶变换存在的傅立叶变
7、换存在例：低通滤波器例：低通滤波器能量有限，但不绝对可和能量有限，但不绝对可和2、均方收敛、均方收敛周期冲激串周期冲激串 periodic impulse train2、 DTFT的性质的性质 1. 线性线性 2. 时间反转时间反转 证明：证明：m=-n3. 时移时移证明证明m=n-n0幅度幅度(功率功率)谱不变谱不变仅影响相位谱仅影响相位谱解：解：傅立叶反变换傅立叶反变换vn4. 频移频移证明：证明：调频广播、频率调制调频广播、频率调制5. 频域微分频域微分证明：证明：6. 卷积卷积证明：证明：m=n-k7.调制定理调制定理(也称为加窗定理也称为加窗定理)证明证明高频高频例：幅度调制例：幅度
8、调制低频低频0-幅度幅度频率频率幅度幅度0-oo频率频率低通低通滤波滤波解调解调低频低频高频高频例：加窗例：加窗无限长序列无限长序列窗函数窗函数加窗后频谱产生失真加窗后频谱产生失真测不准原理：时域分辨率测不准原理：时域分辨率*频域分辨率频域分辨率常数常数加窗实例加窗实例频谱频谱频谱频谱加窗后频谱产生失真加窗后频谱产生失真正正弦弦序序列列 8. 帕斯瓦尔公式帕斯瓦尔公式 证明：证明：时域的能量等于频域的能量时域的能量等于频域的能量 称为能量谱密度称为能量谱密度特例：特例：采样采样量化量化A/DA/D与与D/A D/A 转换转换3、 连续时间信号的数字处理连续时间信号的数字处理抗混叠抗混叠滤波器滤
9、波器A/D变换器变换器数字信号数字信号处理器处理器D/A变换器变换器抗镜像抗镜像滤波器滤波器模拟模拟模拟模拟理想抽样器离散时间信号处理器理想内插器2.1 采样（采样（Sampling 抽样）抽样）采样导致信号丢失采样导致信号丢失能否从采样点中找回丢失？能否从采样点中找回丢失？能否无失真恢复原始连续信号？能否无失真恢复原始连续信号？两点采样即可代表直线两点采样即可代表直线三点采样即可代表圆三点采样即可代表圆外心外心=圆心圆心n+1个点可以无失真恢复个点可以无失真恢复n次多项式的曲线次多项式的曲线如果加以限制如果加以限制可以用有限、离散的点代表全部信号可以用有限、离散的点代表全部信号对信号的什么加
10、以限制，可对信号的什么加以限制，可以无失真的采样？以无失真的采样？频率范围是信号频率范围是信号重要特征重要特征实际信号一般都是带宽受限信号实际信号一般都是带宽受限信号音乐：音乐：20Hz22kHz，CD采样频率采样频率44.1KHz：中音：中音1的的1万倍万倍1个个高八度高八度倍频倍频电话声音：电话声音：300Hz-3400Hz，电话采样频率为电话采样频率为8KHz特例：特例： 白噪声，白噪声， 带宽无限带宽无限随机信号，整体性能随机信号，整体性能 采样的参数采样的参数TS：采样周期：采样周期sampling periodfS：采样频率：采样频率sampling frequency 采样定理采
11、样定理 (sampling theorem)：带宽带宽为为 W Hz 的信号，至少要以每秒的信号，至少要以每秒2W次次的采样频率进行采样，才可能由采样值恢的采样频率进行采样，才可能由采样值恢复原来的信号复原来的信号最小采样频率称为最小采样频率称为奈奎斯特采样率奈奎斯特采样率(Nyquist sampling rate)l采样的时域表达：采样的时域表达：T: 采样周期采样周期. FT=1/T: 采样频率采样频率XImpulse to sequence)( )( )(tpnx t xtxpa理想采样：理想采样：p 模拟输入模拟输入*脉冲串脉冲串p 连续时间信号连续时间信号 离散时间信号离散时间信号
12、 xa (t) p(t) xp(t) xn t t频谱频谱?t t t t原始信号采样信号理想采样在频域的表示：理想采样在频域的表示：周期性延拓周期性延拓注：注：抽样角频率抽样角频率(弧度弧度/秒秒)WWWW - NN)( jXa)2()(NajXWWWWWWWWLL采样信号的恢复采样信号的恢复 （抗镜像滤波抗镜像滤波低通滤波低通滤波）简单的简单的DSP系统系统抗混叠抗混叠滤波器滤波器A/D变换器变换器数字信号数字信号处理器处理器D/A变换器变换器抗镜像抗镜像滤波器滤波器模拟模拟xa(t)模拟模拟ya(t)x(n)y(n)采样采样量化量化转换为模拟电平转换为模拟电平零阶保持零阶保持ADCDAC
13、DSP带宽信号的频谱延拓带宽信号的频谱延拓声音声音1：采样频率：采样频率22.05KHz，数字化，数字化16Bit，双声道录音。，双声道录音。离散信号的信息与采样频率的关系（示例）离散信号的信息与采样频率的关系（示例）声音声音1：采样频率：采样频率1.38KHz，数字化，数字化16Bit，双声道录音。，双声道录音。声音声音1：采样频率：采样频率689Hz，数字化，数字化16Bit，双声道录音。，双声道录音。l窄带信号的采样窄带信号的采样不混叠的条件不混叠的条件（包含临界点包含临界点） 定义信号带宽定义信号带宽，若，若，为整数，为整数， 则当则当时，时，取最小值取最小值 当采样率取当采样率取采样
14、后的带通信号就可以被无失真的恢复采样后的带通信号就可以被无失真的恢复 l窄带信号处理过程窄带信号处理过程限制信号带宽，可以无失真恢复原信号限制信号带宽，可以无失真恢复原信号对于低频信号，采样率必须是信号最大频对于低频信号，采样率必须是信号最大频率的率的2 2倍倍对于窄带信号，采样率取大于信号带宽的对于窄带信号，采样率取大于信号带宽的2 2倍即可倍即可采样小结：采样小结：例：例：汽车开动时发现轮胎反向转动，此时车速汽车开动时发现轮胎反向转动，此时车速至少多少？至少多少？（车轮外直径（车轮外直径0.5米，视觉停留时间米，视觉停留时间0.1秒）秒）解：解：车轮转一个周期行使车轮转一个周期行使3.14
15、*0.5米，当一周期眼睛采米，当一周期眼睛采样两次达临界状态（样两次达临界状态（2*0.1秒），此时车速：秒），此时车速： 3.14*0.5/（2*0.1）= 7.85 米米/秒秒 = 28.26 公里公里/小时小时 量化量化(12.1节节) 电平表示的模拟信号电平表示的模拟信号: 0 2v ,0 5v ,0 15v二进制表示的数字量二进制表示的数字量: 2比特比特(bit): 00, 01, 10, 11 8比特比特(bit): 00000000, 000001, .,11111111 2Nl 关键问题关键问题如何使量化失真最小如何使量化失真最小量化区间划分量化区间划分每个区间的量化取值每个
16、区间的量化取值 标量量化标量量化线性量化线性量化(Linear) 采用等距离的间隔空间；采用等距离的间隔空间；非线性量化非线性量化(Nonlinear) 采用不同的间隔空间，如采用不同的间隔空间，如 “对数量化法对数量化法”单极量化单极量化(Unipolar) 被量化的信号只有正极性被量化的信号只有正极性双极量化双极量化(Bipolar) 被量化的信号有正负极性被量化的信号有正负极性 矢量量化矢量量化量化分类量化分类单极线性量化单极线性量化(去尾去尾)双极线性量化双极线性量化(四舍五入四舍五入)非均匀量化非均匀量化量化步长量化步长(quantization step) N比特量化，比特量化，2
17、N个编码电平个编码电平 各电平之间的间距称为量化步长各电平之间的间距称为量化步长 R 最大标定模拟范围最大标定模拟范围l量化误差量化误差 = 量化值实际值量化值实际值l量化噪声量化噪声(quantization noise)量化比特数量化比特数N越大越大量化步长量化步长Q越小越小 量化误差、量化噪声越小量化误差、量化噪声越小例例:已知最大可容许量化误差电平时，已知最大可容许量化误差电平时，求量化比特数。求量化比特数。解解:量化比特数为量化比特数为l信噪比信噪比(signal-to-noise ratio, SNR) 用来判断信号与噪声区分的难易程度用来判断信号与噪声区分的难易程度单位：单位：d
18、BSNR越大，信号越强越大，信号越强例：例：已知已知R = 03V, N = 3bit, 求单极量化结果。求单极量化结果。解：解： 步长步长 量化表量化表 数字代码数字代码 量化电平（量化电平（V） 相应的模拟电压范围（相应的模拟电压范围（V） 000 0.0 0.0x0.1875 001 0.375 0. 1875 x0.5625 010 0.75 0. 5625 x0.9375 011 1.125 0. 9375 x1.3125 100 1.5 1.3125 x 1.6875 101 1.875 1.6875 x2.0625 110 2.25 2.0625 x 2.4375 111 2.6
19、25 2.4375 x 3.000矢量量化矢量量化标量量化标量量化一维一维矢量量化矢量量化多维多维率率畸变理论表明，矢量量化总优于标量畸变理论表明，矢量量化总优于标量量化量化相关性相关性空间填补空间填补形状形状 标量量化标量量化 矢量量化矢量量化采样与量化的工程实现采样与量化的工程实现模数转换模数转换低通滤波器低通滤波器采样采样量化量化l采样前引入低通滤波器采样前引入低通滤波器（抗混叠滤波抗混叠滤波器器 antialiasing filter），确保滤除），确保滤除2W以上的频率分量，并帮助去除信号中以上的频率分量，并帮助去除信号中包含的噪声或其他次要的高频分量包含的噪声或其他次要的高频分量比
20、特率比特率(bit rate)：度量比特数产生的速：度量比特数产生的速度，通常用来度量度，通常用来度量A/D转换器的性能转换器的性能比特率比特率Nfs 其中其中N为每个采样值的比特数，为每个采样值的比特数，fs是每秒的采样点是每秒的采样点数，单位为数，单位为b/s例：例：模拟信号模拟信号01V，采样频率，采样频率5000次次/秒，秒，3bit量化，求单极量化电平和比特率。量化，求单极量化电平和比特率。比特率比特率 3bit/采样值采样值5k个采样值个采样值/秒秒15kb/s解：解：内插的工程实现数模转换内插的工程实现数模转换低通滤波器低通滤波器l内插内插模拟信号的恢复模拟信号的恢复低通滤波器低
21、通滤波器T低通滤波器低通滤波器低通滤波器（抗镜像滤波器）的作用低通滤波器（抗镜像滤波器）的作用 滤除零阶保持信号中的寄生高频分量滤除零阶保持信号中的寄生高频分量频域：有效滤除了采样过程中产生的频谱镜像频域：有效滤除了采样过程中产生的频谱镜像时域：使阶梯状的零阶保持信号的陡缘边平滑时域：使阶梯状的零阶保持信号的陡缘边平滑采样保持信号和原信号采样保持信号和原信号零阶保持信号和采样信号零阶保持信号和采样信号还原信号和零阶保持信号还原信号和零阶保持信号原信号和还原信号原信号和还原信号原信号原信号与还原与还原信号之信号之间有何间有何差别？差别？什么引什么引起的？起的？练习练习：3.33, 3.53, 3.54, 3.66
