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1、 第第8 8章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换8.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质8.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义8.2 常用信号的拉普拉斯变换常用信号的拉普拉斯变换8.4 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换8.5 拉普拉斯变换应用拉普拉斯变换应用1 1;.8.1 8.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义2 2;.以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义义 ，但也有不足之处，傅里叶变换只能处理符合狄利克利条件的信号，而有些信号，但也有不足之处，傅里叶变换只能处理符合狄
2、利克利条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；8.1.1 拉普拉斯变换的定义3 3;.另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。4 4;.为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第七章中引入了广义函数理论去解为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第七章中引入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范释傅里叶变换，同时，还可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。围。缺点：缺点：物理概念不
3、如傅氏变换那样清楚。物理概念不如傅氏变换那样清楚。5 5;.优点：优点：把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数。数。拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具。拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具。应用拉氏变换：应用拉氏变换：（1 1）求解方程得到简化。且初始条件自动包含在变换式里。）求解方程得到简化。且初始条件自动包含在变换式里。（2 2）拉氏变换将）拉氏变换将“微分微分”变换成变换成“乘法乘法”，“积分积分”变换成变换成“除法除法”。即将微分方程变成代数方程。即将微分方程变成代数方程。6 6;. 本章首先
4、由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。的性质进行讨论。 本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析。本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析。 注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。 7 7;.引入衰减因子引入衰减因子 得得- f(t)的双边的双边拉氏变换拉氏变换(Double-sided Laplace Transform)8.1.2 8.1.2 从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换8 8;.双边拉氏逆变换：双边
5、拉氏逆变换：9 9;.8.1.3 8.1.3 拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别FT: 时域函数时域函数f(t)频域函数频域函数变量变量 t变量变量 LT: 时域函数时域函数f(t)复频域函数复频域函数（变量（变量 t、 都是实数）都是实数）变量变量 t变量变量s (复频率）复频率） t（实数）（实数）(复数）复数） 即：即：傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。1010;.从算子法的概念说明拉氏变换的定义从算子法的概念说明拉氏变换的定义1111;
6、.8.1.4 8.1.4 单边拉普拉斯变换的收敛域单边拉普拉斯变换的收敛域对于因果信号f(t)，拉氏变换为：- f(t)的单边的单边拉氏变换拉氏变换(Single-sided Laplace Transform)1212;. 在以 为实轴， 为虚轴的复平面中，凡能使变换 存在的s值范围称为拉氏变换的收敛域。 单边拉氏变换的收敛域为平行于 轴的一条收敛轴的右边区域，即1313;.0例如：例如：若若 ，则，则f(t)存在拉氏变换，收敛域存在拉氏变换，收敛域为：为：1414;.01515;.拉氏变换是将时间函数拉氏变换是将时间函数f(t)f(t)变换为复变函数变换为复变函数F(s)F(s)，或作相反变换。，或作相反变换。时域时域(t)(t)变量变量t t是实数，复频域是实数，复频域F(s)F(s)变量变量s s是复数。变量是复数。变量s s又称又称“复频率复频率”。拉氏变换建立了时域与复频域拉氏变换建立了时域与复频域(s(s域）之间的联系。域）之间的联系。8.1.5 8.1.5 拉普拉斯变换的物理意义拉普拉斯变换的物理意义1616;.可以看出：将可以看出：将 频率变换为复频率频率变换为复频率s,s,且且 只能描述振荡的重复频只能描述振荡的重复频率，而率，而s s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅度的增长速率或衰不仅能给出重复频率，还给出振荡幅度的增长速率或衰减速率。减速率。1717;.
