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1、二、二、 两个重要极限两个重要极限 一、极限存在的两个准则一、极限存在的两个准则第五节极限存在准则与两个重要极限 第二二章 准则准则1 (夹逼准则夹逼准则 )证证 由由条件条件 (2) ,当当时时,当当时时,如果数列如果数列满足满足一、一、 极限存在的两个准则极限存在的两个准则 令令则当则当时时, 有有由由条件条件 (1)，得，得即即故故 注注 1 利用夹逼准则求数列极限的关键：构造利用夹逼准则求数列极限的关键：构造 yn , zn .要求：要求： yn , zn 的的极限易求；极限易求；例例1 证明证明证证而而因为因为由由夹逼准则，得夹逼准则，得准则准则 (2)设函数设函数 f(x), g(
2、x), h(x) 满足满足:1 数列极限的夹逼准则可以推广到函数的极限：数列极限的夹逼准则可以推广到函数的极限：求极限求极限解解即即而而所以所以例例1-1例例2解解= 由由夹逼准则夹逼准则，得，得同理，同理， 由由夹逼准则夹逼准则得得例例1-4解解单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. .准则准则( (单调有界准则单调有界准则) )如果数列如果数列满足满足( 证明略证明略 )(单调增加有上界单调增加有上界)(单调减少有下界单调减少有下界)证证例例31单调性单调性假定假定:，则，则2有界性有界性 学会用数学归纳法证明学会用数学归纳法证明xn的单调性和有界性的单调性和有界性.( (舍去舍去)
3、)例4思考题思考题问：下列推导是否正确？问：下列推导是否正确？解解答：答：不正确不正确.事实上，事实上，注意：注意：一定一定圆扇形圆扇形AOB的面积的面积二、二、 两个重要极限两个重要极限 证证故故只需证只需证AOB 的面积的面积AOC 的面积的面积( 利用利用准则准则 )因为因为取倒数得取倒数得当当时时,例例5解解注注由复合函数求极限法则，可知由复合函数求极限法则，可知例例5-1 求求解解 例例5-2 求求解解 令令则则因此因此原式原式例例5-3 求求解解 原式原式 =例例5-4 已知圆内接正已知圆内接正 n 边形面积为边形面积为证明证明: : 证证注注 注意利用注意利用例例5-5解解使用使
4、用n次倍角公式后次倍角公式后例例5-6解解证明思路证明思路: （分四步）（分四步）1（单调有界准则）（单调有界准则）2(利用利用1及夹逼准则及夹逼准则)3（作变换：（作变换：t = - x )4（极限存在的充要条件）（极限存在的充要条件） .注注12由复合函数求极限法则，可知由复合函数求极限法则，可知3 可以证明：可以证明：或或例例6 求求解解 则则注注 若利用若利用则则 原式原式 令令例例6-1解解并且有并且有例例6-2解解例例6-3解解例例6-4解解例例7解解 原式原式例例7-1解解 原式原式v(x)求极限求极限例例 7-2解解例例7-3 求求解解 原式原式 =变成形式变成形式的的不同数列
5、不同数列内容小结内容小结1. 函数极限与数列极限关系的应用函数极限与数列极限关系的应用(1) 利用数列极限判别函数极限不存在利用数列极限判别函数极限不存在 (2) 数列极限存在的夹逼准数列极限存在的夹逼准则则法法1 找一个数列找一个数列且且使使法法2 找两个趋于找两个趋于及及使使不存在不存在 .函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则2. 两个重要极限两个重要极限或或注注 代表相同的表达式代表相同的表达式思考题思考题问：下列推导是否正确？问：下列推导是否正确？解解答：答：不正确不正确.事实上，事实上，注意：注意：一定一定2. 命题命题(减少减少)( )注注可根据此命题，推测可根据此命题，推
6、测再再证之证之.易证，易证，用用倒推法：倒推法：+推测：推测：但需证之但需证之.推测：推测：但需证之但需证之.假设：假设：+ 04.填空题填空题 :求极限求极限解解即即而而所以所以备用题备用题例例1-1例例1-2解解 因因即即而而所以所以一般地，有一般地，有例例1-3解解由于由于而而由由夹逼准则可知夹逼准则可知设设 , 且且求求例例3-1分析分析易知易知xn的的单调性如何？单调性如何？ 0？关键：关键：？证证1有界性有界性易知易知关键：关键：？2单调性单调性或或则则得得 即即 例例3-2 设设证证 显然显然证明下述数列有极限证明下述数列有极限 .即即单调增单调增, 又又存在存在“拆项相拆项相消
7、消” 法法F超越数e 在中学数学书中这样提出：以e为底的对数叫做自然对数。那么e到底有什么实际意义呢？ 1844年，法国数学家刘维尔最先推测e是超越数，一直到了1873年才由法国数学家爱米特证明e是超越数。 1727年，欧拉最先用e作为数学符号使用，后来经过一个时期人们又确定用e作为自然对数的底来纪念他。有趣的是，e正好是欧拉名字第一个小写字母，是有意的还是偶然巧合？现已无法考证！ e在自然科学中的应用并不亚于值。像原子物理和地质学中考察放射性物质的衰变规律或考察地球年龄时便要用到e。 在用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度时也会用到e，在计算储蓄最优利息及生物繁殖问题时，也要用到e。 F同一样，
8、e也会在意想不到的地方出现，例如：“将一个数分成若干等份，要使各等份乘积最大，怎么分？”要解决这个问题便要同e打交道。答案是：使等分的各份尽可能接近e值。如，把10分成10e=3.7份，但3.7份不好分，所以分成4份，每份为104=2.5，这时2.54=39.0625乘积最大，如分成3或5份，乘积都小于39。e就是这样神奇的。 1792年，15岁的高斯发现了素数定理：“从1到任何自然数N之间所含素数的百分比，近似等于N的自然对数的倒数；N越大，这个规律越准确。”这个定理到1896年才由法国数学家阿达玛和几乎是同一时期的比利时数学家布散所证明。以e为底还有很多优越性。如以e为底编制对数表最好；微积分公式也具有最简的形式。 利用二项式公式利用二项式公式 , 有有证证 1（单调有界准则）（单调有界准则）第二个重要极限证明大大 大大 正正比较可知比较可知大大 又又根据根据准则准则 可知数列可知数列记此极限为记此极限为 e , 可以证明：可以证明：e 为无理数为无理数 , 其值为其值为即即有有极限极限 .2需证：需证：即即即即 由夹逼准则，得由夹逼准则，得3需证：需证：44由极限存在的充要条件：由极限存在的充要条件： 得得
