《结构力学课件：第13-15讲_力法位移法应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《结构力学课件：第13-15讲_力法位移法应用（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8-1 力法解力法解超超静定刚架和排架静定刚架和排架8-2 力法解力法解超超静定桁架和组合结构静定桁架和组合结构8-3 对称性的利用对称性的利用8-4 支座移动和温度改变时的力法计算支座移动和温度改变时的力法计算8-5 力法解超静定拱力法解超静定拱8-6 位移法计算连续梁和无侧移刚架位移法计算连续梁和无侧移刚架8-7 位移法计算位移法计算有侧移结构有侧移结构8-8 支座移动和温度改变时的位移法计算支座移动和温度改变时的位移法计算8-9 位移法位移法分析对称结构分析对称结构1. 超静定刚架超静定刚架一般忽略轴力一般忽略轴力(轴向变形轴向变形)、剪力、剪力(剪切变形剪切变形)对位移的影响。对位移的
2、影响。1) 基本结构和基本未知量基本结构和基本未知量q=20kN/m6m8m基本体系基本体系q=20kN/mX1例例1：力法解两铰刚架。：力法解两铰刚架。必要约束必要约束2) 力法典型方程：力法典型方程： 11X1+ 1P =03) 计算计算 11, 1P 先作先作M1、MP图，再图乘计算图，再图乘计算(单位单位:kNm)q=20kN/mMP 图160(单位单位:m)X1=1M1 图4) 求得：求得：5) 作内力图作内力图 M图：图： FQ图：以杆件为隔离体图：以杆件为隔离体, 力矩方程求力矩方程求FQ。80808.98.9CDFQ图(kN) 变形轮廓图变形轮廓图 FN图图以结点为隔离体，投影
3、方程求出。以结点为隔离体，投影方程求出。808.980q=20kN/m6m8mP.232，例，例8-1，两次超静定，可选不同基本结构。，两次超静定，可选不同基本结构。2. 超静定排架超静定排架 柱底固定，柱顶与横梁铰接的单层刚架柱底固定，柱顶与横梁铰接的单层刚架常忽略铰接横梁的轴向变形。常忽略铰接横梁的轴向变形。P.233-234，例，例8-2排架示意图：排架示意图： P.231图8-1ae1e2FP1FP2q2) 基本方程：基本方程： 11X1+ 1P =0 1. 桁架桁架基本体系基本体系一次超静定一次超静定1) 基本体系基本体系多余未知力多余未知力 (基本未知量基本未知量)：X1 (广义力
4、广义力); 1 相对位移相对位移 FPFPX13) 求求FN1、FNP值，计算值，计算 11, 1P。4) 解方程求解解方程求解X15) 求最后轴力求最后轴力:P.235-236，例，例8-3，两次超静定，两次超静定基本体系基本体系FPX12. 组合结构组合结构 梁式杆：忽略轴力、剪力对位移的影响梁式杆：忽略轴力、剪力对位移的影响链链 杆：只有轴力。杆：只有轴力。P.237，例，例8-4 切开链杆。切开链杆。讨论讨论： 加劲杆加劲杆 (桁架杆桁架杆) 刚度对横梁受力的影响。刚度对横梁受力的影响。1. 对称结构与对称荷载对称结构与对称荷载 对称轴对称轴2) 对称荷载与反对称荷载对称荷载与反对称荷
5、载1) 对称结构对称结构几何形状几何形状杆件截面杆件截面材料性质材料性质支承情况支承情况均关于同一轴对称均关于同一轴对称FPFPFPFP对称荷载对称荷载反对称荷载反对称荷载2. 对称结构作用对称对称结构作用对称/反对称荷载反对称荷载基本未知量基本未知量X1、X2 正对称正对称X3 反对称反对称FPFPFPFPX1X2X2X3基本体系基本体系M1图、M2图对称称M3图反反对称称MP图对称称 (对称荷称荷载)1) 力法计算力法计算 取对称的基本结构取对称的基本结构 13 = 31 =0 23 = 32 =0 3P =0 (对称荷称荷载)反对称的多余未知力为零反对称的多余未知力为零 11X1+ 12
6、X2+ 0 + 1P=0 21X1+ 22X2+ 0 + 2P=0 0 + 0 + 33X3+ 0 =0FPFPMP图(正正对称荷称荷载)FPbFPbX1=1111M1图X3=1lllM3图X3 =0X2=1hhM2图FPFPFPbFPbMP图(反反对称荷称荷载)对称称结构作用反构作用反对称荷称荷载 1P = 2P =0 X1=0, X2 =0正对称的多余未知力为零正对称的多余未知力为零MP图反反对称称对称结构作用对称结构作用正正对称荷载对称荷载 内力、变形均为内力、变形均为正正对称对称FPFPX1X2X2X3X1=0, X2 =0X3=02) 基本特性基本特性M图, FN图正正对称称; FQ
7、图反反对称称M图, FN图反反对称称; FQ图正正对称称对称结构作用对称结构作用反反对称荷载对称荷载 内力、变形均为内力、变形均为反反对称对称2) 取半边结构计算取半边结构计算3. 对称结构的简化计算对称结构的简化计算力法、位移法均适用力法、位移法均适用1) 取取对称的基本称的基本结构构计算计算FPAC简化简化FPAC简化简化奇数跨奇数跨FPFPFQC=0ACB xC=0 C=0奇数跨奇数跨FPFPACBFNC=0MC=0 yC=0偶数跨偶数跨FPFPCD杆杆: FQ=0, M=0ACBDFPAC简化简化简化简化简化简化偶数跨偶数跨FPFPACBDIFPFPACBDI/2I/2FPACDFQC
8、I/2FPACDI/2例例8-5，P.243-2444. 对称结构作用一般荷载对称结构作用一般荷载1) 直接取对称的基本结构计算直接取对称的基本结构计算2) 将荷载分解为正对称与反对称荷载的叠加将荷载分解为正对称与反对称荷载的叠加FPACBEI1EI1EI2分解分解FP/2ACBFP/2ACBFP/2FP/2例例8-7，P.245-246下次课堂讨论：下次课堂讨论：1.1.用力法计算桁架和组合结构，通常采用切开链杆的方法用力法计算桁架和组合结构，通常采用切开链杆的方法选取多余未知力，它与拆除链杆有何区别？试举例说明。选取多余未知力，它与拆除链杆有何区别？试举例说明。2.2.外荷载作用下结构内力
9、在不同杆件间的分布主要与哪些外荷载作用下结构内力在不同杆件间的分布主要与哪些因素有关？试通过力法分析加以总结判断，并举例予以因素有关？试通过力法分析加以总结判断，并举例予以验证。验证。3.3.思考习题思考习题8-98-9，并举例加以分析。，并举例加以分析。4.4.如何利用对称性进行结构的简化计算？对习题如何利用对称性进行结构的简化计算？对习题8-46a,b8-46a,b如如何取出半边结构简化分析？何取出半边结构简化分析？5.5.对称结构作用一般荷载时，什么情况下将荷载分解为一对称结构作用一般荷载时，什么情况下将荷载分解为一组正对称和一组反对称计算才比较方便？举例说明。组正对称和一组反对称计算才
10、比较方便？举例说明。8-4-1 支座移动时的计算支座移动时的计算1) 力法典型方程：力法典型方程： 11 X1 + 12 X2 + + 1n Xn + 1c = 1 21 X1 + 22 X2 + + 2n Xn + 2c = 2 n1 X1 + n2 X2 + + nn Xn + nc = n第第i个方程：个方程：基本结构由支座移动基本结构由支座移动引起的沿引起的沿Xi 方向位移方向位移原结构沿原结构沿Xi方向的位移方向的位移仅与基本结构有关仅与基本结构有关而与外部作用无关而与外部作用无关 2) 最后内力：最后内力：仅由多余未知力引起仅由多余未知力引起1) 基本结构基本结构2) 力法典型方程
11、力法典型方程例例1. 两次超静定刚架两次超静定刚架AB ablhC基本结构基本结构X1X2ABC 11 X1 + 12 X2 + 1c =0 21 X1 + 22 X2 + 2c = 3) 系数、自由项计算系数、自由项计算与外部作用无关与外部作用无关 11、 12= 21、 22 计算同前。算同前。自由项自由项 1c、 2c 基本结构基本结构( (静定结构静定结构) )由支座移动引起的位移由支座移动引起的位移X1=1ABC1h/lh/lhM1图图, FR1值值X2=1ABC01/l1/lM2图图, FR2值值11AB abC4) 解方程求解方程求 X1、X25) 计算最后内力，作内力图计算最后
12、内力，作内力图M=M1 X1 + M2 X2基本结构基本结构2X1X2ABC讨论讨论：取其他的基本结构如何计算？：取其他的基本结构如何计算？ 讨论课思考题。讨论课思考题。AB ablhC例例8-8，P.248：一次超静定：一次超静定1) 基本体系基本体系2) 力法典型方程力法典型方程例例2. 有弹簧约束的结构计算有弹簧约束的结构计算 11 X1 + 1c = 13) 系数、自由项计算系数、自由项计算基本体系基本体系X1M1 图X1=1l采用另一基本结构：采用另一基本结构：4) 讨论：讨论：k，B端端链杆支承链杆支承k0， B端端自由端自由端基本结构基本结构2M1 图X1=1l 11 X1 +
13、1c =08-4-2 温度改变时温度改变时(温度内力温度内力)的计算的计算1) 力法典型方程：力法典型方程：基本结构由温度改变基本结构由温度改变引起的沿引起的沿Xi 方向位移方向位移仅与基本结构有关仅与基本结构有关而与外部作用无关而与外部作用无关 2) 最后内力：最后内力：仅由多余未知力引起仅由多余未知力引起P.250, 例例8-9M1 =M1 X1， FN =FN1 X1t0=10C, t=t内内 t外外= 20CX1= 94.2 EI结论结论 温度内力与杆件温度内力与杆件EI 成正比。成正比。外侧外侧+0 C5m6m内侧内侧+20 C3. 外荷载、支座移动、制造误差、温度改变共同作用时的计
14、算外荷载、支座移动、制造误差、温度改变共同作用时的计算1) 典型方程：典型方程：2) 最后内力：最后内力：(取静定的基本结构取静定的基本结构)0. 概述概述1) 工程应用工程应用 桥梁、建筑、水利工程等桥梁、建筑、水利工程等2) 结构形式结构形式超静定拱超静定拱两铰拱两铰拱无铰拱无铰拱 (图图8-27a,b)不带拉杆不带拉杆 (图图8-26a)带拉杆带拉杆 (图图8-26b)8-5-1 两铰拱的计算两铰拱的计算FP1ABFP2基本体系基本体系FP1ABFP2yxCy X11) 基本体系基本体系简支曲梁简支曲梁 (或三铰拱或三铰拱)2) 基本方程：基本方程： 11X1+ 1P=0 不能用不能用图
15、乘法图乘法3) 水平推力：水平推力：4) 最后内力最后内力:5) 与三铰拱比较与三铰拱比较(竖向荷向荷载下下)表达式与三表达式与三铰拱相同拱相同受力特性相近，受力特性相近，FH计算不同。计算不同。例例8-10 (P.253): 求抛物线两铰拱在均布荷载下的内力。求抛物线两铰拱在均布荷载下的内力。 带拉杆两铰拱带拉杆两铰拱 拉杆拉力：拉杆拉力：FP1AFP2BX1FP1ABFP2E1A1基本体系基本体系拉杆拉力：拉杆拉力：简支曲梁简支曲梁无拉杆两铰拱无拉杆两铰拱当当E1 A10FH 0 当当E1 A1 FH*FH1. 弹性中心法弹性中心法FP1AFP2BX1X2X2X3ABFP1FP21) 对称
16、无铰拱，取对称的基本结构对称无铰拱，取对称的基本结构力法方程力法方程X1、X2 正正对称称 X3 反反对称称 11X1+ 12X2+ 1P=0 21X1+ 22X2+ 2P=0 33X3+ 3P=0 13= 31=0 23= 32=0使使 1212= = 2121=0, =0, 则三方程独立。则三方程独立。8-5-2 无铰拱的计算无铰拱的计算使使 12= 21=0拱拱顶加加刚臂臂;Xi 设在在刚臂末端臂末端刚臂取适当臂取适当长度度修改基本结构修改基本结构xoy坐坐标下下令令 12=0 另取参考坐标轴另取参考坐标轴xoy刚臂长刚臂长= f d2) 求求刚臂长度刚臂长度FP1AFP2BFP1AFP
17、2BX1X2X2X3X1xxy ydo3) 物理意义物理意义OyxEI(x)Oyx1/EId形形心心dsOdA微段的弹性面积微段的弹性面积 1/EI 作宽度作宽度拱轴的拱轴的总弹性面积总弹性面积弹性面积对弹性面积对x轴的面积矩轴的面积矩弹性面积的形心到弹性面积的形心到x轴距离轴距离坐标原点坐标原点O 弹性中心弹性中心1) 计算弹性中心的位置计算弹性中心的位置;2) 取带刚臂的基本结构，刚臂末端位弹性中心取带刚臂的基本结构，刚臂末端位弹性中心;3) 按按 ii Xi+ iP=0 计算算Xi ； 22的计算有时需考虑轴向变形的计算有时需考虑轴向变形例例8-11, P.258： 圆弧形无铰拱作用跨中
18、集中荷载圆弧形无铰拱作用跨中集中荷载2. 弹性中心法的计算步骤弹性中心法的计算步骤 ii , iP 计算式算式见式见式(8-11) 适用于三次超静定的封闭结构适用于三次超静定的封闭结构与三铰拱内力的比较。与三铰拱内力的比较。1) 弹性中心：弹性中心：2) 基本体系、典型方程基本体系、典型方程 33 X3 + 3c =0 1c =0, 2c =0 X1 =0, X2 =0 3c = 0 ( )拱顶拱顶: MC =0拱脚拱脚: MA上侧受拉上侧受拉, MB下侧受拉下侧受拉例例8-12： P.260有支座移动的有支座移动的无铰拱无铰拱3. 支座移动和温度改变时的计算支座移动和温度改变时的计算Cf 0
19、 0ABl /2l /2R 0ABCX3xxy yOdO 0 M图图见见P.260。 结论结论无铰拱对支座移动敏感无铰拱对支座移动敏感, ,EI愈大愈大, ,内力愈大。内力愈大。例例8-13：无铰拱无铰拱发生温度变化、材料收缩时的计算发生温度变化、材料收缩时的计算均匀温变均匀温变 (收缩收缩)： t=0, t0=常数常数X2X2ABCM图图 1t=0 2t= t0 cos ds = t0l X1=0X2= 2t / 22= t0 l / 22 0M= X2 y FN = X2 cos FQ = X2 sin M1=1, FN1=0 M2 = yFN2= cos ABl /2l /2X1X2X2
20、oABCt0yx温度内力与拱刚度成正比温度内力与拱刚度成正比下次课堂讨论：下次课堂讨论：1.1.例例8-88-8结构若选取简支梁、左端滑动右端铰支梁分析，则结构若选取简支梁、左端滑动右端铰支梁分析，则其力法典型方程的系数、自由项和右端项有何不同，试具其力法典型方程的系数、自由项和右端项有何不同，试具体加以分析。体加以分析。2.2.支座移动、温度改变作用时，结构内力在不同杆件间的分支座移动、温度改变作用时，结构内力在不同杆件间的分布与哪些因素有关？试举例说明。布与哪些因素有关？试举例说明。3.3.设构件尺寸和荷载相同，则不带拉杆和带拉杆两铰拱的竖设构件尺寸和荷载相同，则不带拉杆和带拉杆两铰拱的竖
21、向反力是否相同？分别如何进行计算？向反力是否相同？分别如何进行计算？4.4.对称无铰拱一端支座发生了竖向或水平位移，能否不经具对称无铰拱一端支座发生了竖向或水平位移，能否不经具体计算判断拱顶和拱脚的弯矩受拉侧，绘出弯矩轮廓图？体计算判断拱顶和拱脚的弯矩受拉侧，绘出弯矩轮廓图？试举例分析。试举例分析。5.5.弹性中心法可用于哪些结构？有何优势？当结构有两个对弹性中心法可用于哪些结构？有何优势？当结构有两个对称轴时（如圆形、矩形封闭刚架），该方法有何特点称轴时（如圆形、矩形封闭刚架），该方法有何特点? ?1. 典型方程法典型方程法A20kN2kN/m3m3m6mBC基本基本结构构ABC 11) 基
22、本未知量：结点位移基本未知量：结点位移 1基本结构基本结构 (见图见图)MM1图图图图ABC2i4i3ik11 = 7iABC15F1P = 615159MMP图图图图2) 典型方程：典型方程：k11Z1+ F1P =03) 计算计算系数和自由项系数和自由项作作MM1图图图图、MMP图图图图，由结点，由结点B力矩平衡得：力矩平衡得：k11=7i, F1P =6 kNm4) 解方程得：解方程得： Z 1= 6/7iABC15F1P = 615159MMP图图图图(kNm)(kNm)5) 叠加法求杆端力，作内力图叠加法求杆端力，作内力图MM1图图图图ABC2i4i3ik11 = 7iMAB=2 (
23、 6/7) 15= 16.71 kNmMBA=4 ( 6/7)+15=11.57 kNmABC16.7115.8511.57MM图图图图(kNm)(kNm)3.21309A20kN2kN/m3m3m6mBC1) 基本未知量：基本未知量： Z 1= B2) 杆端弯矩表达式：杆端弯矩表达式：A20kNBZ12kN/mBCZ1AB杆：杆：BC杆：杆：设：设：iAB = iBC = i2. 直接列平衡方程法直接列平衡方程法3) 基本方程：基本方程：结点结点B力矩平衡方程力矩平衡方程5) 计算杆端力计算杆端力回代第回代第2)步步4) 求结点位移：求结点位移： Z1= 6/(7i)BMBAMBC MB =
24、0 MBA + MBC=0 7i B +6 =0MAB =2iZ1 15 = 16.72 kNmMBA =4iZ1 +15 = 11.57 kNmMBC =3iZ1 9 = 11.57 kNm结点转角结点转角结点力矩平衡方程结点力矩平衡方程6) 叠加法作叠加法作M图图可由可由M图进一步作图进一步作FQ、 FN图图M图图 (kNm)例例2：例：例8-14，P.262-263，无侧移刚架，无侧移刚架2) 典型方程：典型方程：1) 基本未知量：基本未知量：Z1、Z2K11 Z1+ k12 Z2+F1P=0k21 Z1+ k22 Z2+F2P=03) 计算系数和自由项计算系数和自由项作作M1、M2、M
25、P 图，由平衡条件求出系数和自由，由平衡条件求出系数和自由项。q=3kN/mDZ2Z1基本体系基本体系CABq=3kN/m2ii8m4mi8-7-1 有侧移梁和刚架有侧移梁和刚架4) 解方程得：解方程得：Z1=0.737/i， Z2=7.58/i。5) 叠加法求最后内力，作内力图。叠加法求最后内力，作内力图。DCAB4i2i6ik11 k21 M1图B4i6ik11=10i 1.5i0BCk21= 1.5i M2、MP 图及及k12、k22、F1P、F2P见P.246、245。CADM图图 (kNm)B4.4213.9061.265.69例例: 单层单跨刚架单层单跨刚架q=3kN/m2ii8m
26、4mi1)结点角位移结点角位移 结点力矩方程结点力矩方程2)结点线位移结点线位移 隔离体投影方程隔离体投影方程 (1) 基本未知量基本未知量：Z1= B、 Z2= (2) 列杆端弯矩、剪力表达式列杆端弯矩、剪力表达式取杆取杆AB： MA=0 FQBA= (MAB+MBA)/4 6取杆取杆CD： MD=0 FQCD= MDC /42. 直接列平衡方程法直接列平衡方程法MAB=2i Z1 6i Z2 /4 4MBA=4i Z1 6i Z2 /4 +4MBC=3(2i) Z1 , MDC= 3i Z2 /4(4) 解方程求出解方程求出Z1 、 Z2(5) 求出求出列杆端弯矩和剪力，作内力图列杆端弯矩
27、和剪力，作内力图CADM图图 (kNm)B4.4213.9061.265.69(3) 列基本方程列基本方程与与Z1 对应：对应： MB=0 (结点结点B力矩平衡力矩平衡)BMBAMBCFQBAFQCDBC与与Z2 对应：对应： Fx=0 (BC杆投影平衡杆投影平衡)例例7-2. 单层两跨排架单层两跨排架剪力分配法剪力分配法各杆剪力按抗各杆剪力按抗侧移刚度分配侧移刚度分配kAB=3iAB /h2AB1h侧移移刚度度: : k11 =kAB+kCD+kEF自由自由项: : F1P = FPACEBDF基本结构基本结构杆件杆件侧移移刚度度FPACEBDFEA EA8-7-2 桁架和组合结构桁架和组合
28、结构1) 基本未知量：结点位移基本未知量：结点位移 Z1 = A各杆伸长量：各杆伸长量：ui= Z1 sin i 杆端力杆端力- -杆端位移关系杆端位移关系桁架杆刚度方程桁架杆刚度方程各杆内力：各杆内力：2) 杆件分析杆件分析 建立杆件的刚度方程建立杆件的刚度方程 拆分拆分1 2 3 4 5l iA Z1AFPEAi=常数常数4) 再次杆件分析再次杆件分析 杆端内力计算杆端内力计算 3) 整体分析整体分析直接按平衡条件建立位移法方程直接按平衡条件建立位移法方程结点结点A： Fy=0 FNi sin i =FP 组装组装AFPFN1FN52. 组合结构的位移法组合结构的位移法参见参见7-6节例题
29、节例题1. 固端弯矩由已知支座移动引起固端弯矩由已知支座移动引起1) 基本未知量、基本结构见图基本未知量、基本结构见图2) k11Z1+F1c=03) k11=3i+3i=6i, F1c= (3i/l) C 解得：解得：Z1= C /2l2. 例题分析：已知例题分析：已知 C，作，作M图。图。4) MBA= MBC = 3i C /2lZ1 CABCiillB BA AC CZ Z 1基本基本结构构B BA AC Ck k 113 3i i3 3i iM1图B BA AC CF F 1c(3i/l) CMc图解法解法1 ：典型方程法：典型方程法8-8-1 支座移动时的计算支座移动时的计算1)
30、基本未知量：基本未知量： Z1= B2) MBA=3i Z1 MBC=3i Z1 3i C /l3) MB=0 MBA+MBC=0 Z1 = C /2l4) MBA= MBC = 3i C /2l5) 结构最终结构最终M图如下。图如下。Z1 CABCiillZ1 ABZ1 CBC解法解法2 ：直接列平衡方程法：直接列平衡方程法BMBAMBCB BA AC C1.5i C /lM图1. 固端弯矩由温度改变引起固端弯矩由温度改变引起1) 基本未知量、基本结构见图基本未知量、基本结构见图2) k11Z1+F1t=0，F1t=F1t0+F1 t2. 例例8-20，P.273-2744) k11=9i,
31、 F1t=MBA=45 i 50 i= 5 i8-8-2 温度改变时的计算温度改变时的计算杆轴处温变杆轴处温变t0上下温变之差上下温变之差 t两部分：两部分：ABCEDt2=15 Ct2=15 Ct1=25 Ct1=25 Cll/2lABCED10l30l20l15lt0引起变形图引起变形图3) M1图、Mt0图、图、M t图图1. 对称结构作用对称或反对称荷载对称结构作用对称或反对称荷载位移法简化计算步骤位移法简化计算步骤：1)取出半边结构；取出半边结构；2)位移法计算半边结构；位移法计算半边结构；3)根据对称性作原结构内力图。根据对称性作原结构内力图。2. 例题分析：例题分析：P.275下
32、次课堂讨论：下次课堂讨论：1.1.位移法计算中的典型方程法和直接列平衡方程法的计算步骤、位移法计算中的典型方程法和直接列平衡方程法的计算步骤、得到的方程和最终结果有何异同？举例加以说明。得到的方程和最终结果有何异同？举例加以说明。2.2.位移法分析组合结构时应注意哪些问题？以图示结构说明。位移法分析组合结构时应注意哪些问题？以图示结构说明。3.3.图示结构各杆图示结构各杆i= =常数，已知支座常数，已知支座A发生了发生了 的顺时针转动，试列的顺时针转动，试列出结构的位移法方程。出结构的位移法方程。4.4.题题3 3中若中若BC为刚性杆，位移法方程有何不同？为刚性杆，位移法方程有何不同？5.5.当超静定结构具有静定部分时，如何用位移法计算？举例说明。当超静定结构具有静定部分时，如何用位移法计算？举例说明。B BA AC Clll/2C CEAEA=12=12EIEI/ /l l2 2B BA AE ED D梁式杆梁式杆梁式杆梁式杆EIEI= =常数常数常数常数FP题题题题2 2图图图图( (杆长均为杆长均为杆长均为杆长均为l l) )题题题题3 3图图图图
