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1、第十六章第十六章 树树主要内容主要内容l无向树及其性质无向树及其性质l生成树生成树l根树及其应用根树及其应用 116.1 无向树及其性质无向树及其性质定义定义16.1 (1) 无向树无向树连通无回路的无向图连通无回路的无向图(2) 平凡树平凡树平凡图平凡图(3) 森林森林至少由两个连通分支（每个都是树）组成至少由两个连通分支（每个都是树）组成(4) 树叶树叶1度顶点度顶点(5) 分支点分支点度数度数 2的顶点的顶点 2无向树的等价定义无向树的等价定义定理定理16.1 设设G=是是n阶阶m条边的无向图，则下面各命题条边的无向图，则下面各命题是等价的：是等价的：(1) G 是树是树(2) G 中任
2、意两个顶点之间存在惟一的路径中任意两个顶点之间存在惟一的路径.(3) G 中无回路且中无回路且 m=n 1. (4) G 是连通的且是连通的且 m=n 1.(5) G 是连通的且是连通的且 G 中任何边均为桥中任何边均为桥.(6) G 中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到惟一的一个含新边的圈边，在所得图中得到惟一的一个含新边的圈. 3(3)(4). 只需证明只需证明G连通连通. 用反证法用反证法. 否则否则G有有s（s 2）个连通个连通分支都是小树分支都是小树. 于是有于是有mi=ni 1, ，这与这与m=n 1矛盾矛盾
3、. 证明思路证明思路(2)(3). 若若G中有回路，则回路上任意两点之间的路径不中有回路，则回路上任意两点之间的路径不惟一惟一. 对对n用归纳法证明用归纳法证明m=n 1. n=1正确正确. 设设n k时对，证时对，证n=k+1时也对：取时也对：取G中边中边e，G e有且仅有两个连通分支有且仅有两个连通分支G1,G2(为什么为什么?) . ni k，由归，由归纳纳假设得假设得mi=ni 1, i=1,2. 于是，于是，m=m1+m2+1=n1+n2 2+1=n 1.(1)(2). 关键一步是关键一步是, 若路径不惟一必有回路若路径不惟一必有回路. 4(4)(5). 只需证明只需证明G 中每条边
4、都是桥中每条边都是桥. 为此只需证明命题为此只需证明命题 “G 是是 n 阶阶 m 条边的无向连通图，则条边的无向连通图，则 m n 1”. 命题的证明命题的证明: 对对n归纳归纳. e E, G e只有只有n 2条边，由命题可知条边，由命题可知G e不连通，故不连通，故e为为桥桥. 证明思路证明思路(5)(6). 由由(5)易知易知G为树，由为树，由(1)(2)知，知， u,v V（u v）, u到到v有惟一路径，加新边有惟一路径，加新边(u,v)得惟一的一个圈得惟一的一个圈. (6)(1). 只需证明只需证明G连通，这是显然的连通，这是显然的. 5由上式解出由上式解出x 2. 定理定理16
5、.2 设设T是是n阶非平凡的无向树，则阶非平凡的无向树，则T 中至少有两片树叶中至少有两片树叶. 无向树的性质无向树的性质证证 设设 T 有有 x 片树叶，由握手定理及定理片树叶，由握手定理及定理16.1可知，可知，6例题例题例例1 已知无向树已知无向树T中有中有1个个3度顶点，度顶点，2个个2度顶点，其余顶点度顶点，其余顶点全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构的无向树全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构的无向树. 解解 解本题用树的性质解本题用树的性质m=n 1，握手定理，握手定理. 设有设有x片树叶，于是片树叶，于是 n = 1+2+x = 3+x, 2m = 2(n 1)
6、 = 2 (2+x) = 1 3+2 2+x解出解出x = 3，故，故T有有3片树叶片树叶.T 的度数列应为的度数列应为 1, 1, 1, 2, 2, 3，易知易知3度顶点与度顶点与1个个2度顶点相邻度顶点相邻与和与和2个个2度顶点均相邻是非同度顶点均相邻是非同构的，因而有构的，因而有2棵非同构的无向棵非同构的无向树树T1, T2，如图所示，如图所示. 7例例2 已知无向树已知无向树T有有5片树叶，片树叶，2度与度与3度顶点各度顶点各1个，其余顶个，其余顶点的度数均为点的度数均为4，求，求T的阶数的阶数n，并画出满足要求的所有非同，并画出满足要求的所有非同构的无向树构的无向树. 例题例题解解
7、设设T的阶数为的阶数为n, 则边数为则边数为n 1，4度顶点的个数为度顶点的个数为n 7. 由握手定理得由握手定理得 2m = 2(n 1) = 5 1+2 1+3 1+4(n 7)解出解出n = 8，4度顶点为度顶点为1个个. 8T的度数列为的度数列为1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4，共有，共有3棵非同构的无向树，棵非同构的无向树，如图所示如图所示.例题例题9不一定连通，也不一定不含回路，如图所示定义定义16.2 设设G为无向图为无向图(1) G的的树树T 是是G 的子图并且是树的子图并且是树(2) G的的生成树生成树T 是是G 的生成子图并且是树的生成子图并且是树(3) 生成树
8、生成树T的的树枝树枝T 中的边中的边(4) 生成树生成树T的的弦弦不在不在T 中的边中的边(5) 生成树生成树T的的余树余树 全体弦组成的集合的导出子图全体弦组成的集合的导出子图16.2 生成树生成树10推论推论2 的边数为的边数为m n+1. 推推论3 为为G的生成树的生成树T的余树，的余树，C为为G中任意一个圈，则中任意一个圈，则C与与 一定有公共边一定有公共边. .证证 否则，否则，C中的边全在中的边全在T中，这与中，这与T为树矛盾为树矛盾. 定理定理16.3 无向无向图G具有生成具有生成树当且当且仅当当G连通通.生成树存在条件生成树存在条件推论推论1 G为为n阶阶m条边的无向连通图，则
9、条边的无向连通图，则m n 1. 证证 必要性显然必要性显然.充分性用破圈法（注意：在圈上删除任何一条边，不破坏充分性用破圈法（注意：在圈上删除任何一条边，不破坏连通性）连通性）11基本回路系统基本回路系统定理定理16.4 设设T为为G的生成树，的生成树，e为为T的任意一条弦，则的任意一条弦，则T e中中含一个只有一条弦其余边均为含一个只有一条弦其余边均为T的树枝的圈的树枝的圈. 不同的弦对应不同的弦对应的的圈也不同圈也不同. 证证 设设e=(u,v)，在，在T中中u到到v有惟一路径有惟一路径 ，则，则 e为所求的圈为所求的圈. 定义定义16.3 设设T是是n阶阶m条边的无向连通图条边的无向连
10、通图G的一棵生成树，设的一棵生成树，设e 1, e 2, , e m n+1为为T 的弦的弦. 设设Cr为为T 添加弦添加弦e r 产生产生的只含弦的只含弦e r、其余边均为树枝的圈、其余边均为树枝的圈. 称称Cr为为G的对应树的对应树T 的弦的弦e r的的基本基本回路回路或或基本圈基本圈，r=1, 2, , m n+1. 并称并称C1, C2, ,Cm n+1为为G对应对应T 的的基本回路系统基本回路系统，称，称m n+1为为G的的圈秩圈秩，记作，记作 (G). 求基本回路的算法：设弦求基本回路的算法：设弦e=(u,v)，先求，先求T中中u到到v的路径的路径 uv，再并上弦再并上弦e，即得对
11、应，即得对应e的基本回路的基本回路. 12基本割集的存在基本割集的存在定理定理16.5 设设T是连通图是连通图G的一棵生成树，的一棵生成树，e为为T的树枝，则的树枝，则G中存在只含树枝中存在只含树枝e，其余边都是弦的割集，且不同的树枝对，其余边都是弦的割集，且不同的树枝对应的割集也不同应的割集也不同.证证 由定理由定理16.1可知，可知，e是是T的桥，因而的桥，因而T e有两个连通分支有两个连通分支T1和和T2，令，令 Se=e | e E(G)且且 e 的两个端点分别属于的两个端点分别属于V(T1)和和V(T2)，由构造显然可知由构造显然可知Se为为G的割集，的割集，e Se且且Se中除中除
12、e外都是弦，外都是弦，所以所以Se为所求为所求. 显然不同的树枝对应的割集不同显然不同的树枝对应的割集不同. 13定义定义16.4 设设T是是n阶连通图阶连通图G的一棵生成树，的一棵生成树，e 1, e 2, , e n 1为为T 的树枝，的树枝，Si是是G的只含树枝的只含树枝e i的割集，则称的割集，则称Si为为G的对应的对应于生成树于生成树T由树枝由树枝e i生成的生成的基本割集基本割集，i=1, 2, , n 1. 并称并称S1,S2, , Sn 1为为G 对应对应T 的的基本割集系统基本割集系统，称，称n 1为为G的的割割集秩集秩，记作，记作 (G). 基本割集与基本割集系统基本割集与
13、基本割集系统求基本割集的算法求基本割集的算法设设e 为生成树为生成树T 的树枝，的树枝，T e 为两棵小树为两棵小树T1与与T2，令，令 Se =e | e E(G)且且e的两个端点分别属于的两个端点分别属于T1与与T2 则则Se 为为e 对应的基本割集对应的基本割集. 14解解 弦弦e, f, g对应的基本回路分别为对应的基本回路分别为 Ce=e b c, Cf=f a b c, Cg=g a b c d, C基基=Ce, Cf, Cg. 树枝树枝a, b, c, d对应的基本割集分别为对应的基本割集分别为 Sa=a, f, g, Sb=b, e, f, g, Sc=c, e, f g, S
14、d=d, g, S基基=Sa, Sb, Sc, Sd. 例例3 图图5实线边所示为生成树，求基本回路系统与实线边所示为生成树，求基本回路系统与基本割集系统基本割集系统实例实例15最小生成树最小生成树定义定义16.5 T是是G=的生成树的生成树(1) W(T)T各边权之和各边权之和(2) 最小生成树最小生成树G的所有生成树中权最小的的所有生成树中权最小的求最小生成树的一个算法求最小生成树的一个算法避圈法避圈法（Kruskal）设）设G=，将，将G中非环边按权从小中非环边按权从小到大排序：到大排序：e1, e2, , em.(1) 取取e1在在T中中(2) 查查e2，若，若e2与与e1不构成回路，
15、取不构成回路，取e2也在也在T 中，否则弃中，否则弃e2.(3) 再查再查e3, 直到得到生成树为止直到得到生成树为止. 16例例4 求图的一棵最小生成树求图的一棵最小生成树.所求最小生成树如所求最小生成树如图所示，图所示，W(T)=38.实例实例1716.3 根根树及其应用树及其应用定义定义16.6 T是有向树（基图为无向树）是有向树（基图为无向树）(1) T 为为根树根树T 中一个顶点入度为中一个顶点入度为0，其余的入度均为，其余的入度均为1.(2) 树根树根入度为入度为0的顶点的顶点(3) 树叶树叶入度为入度为1，出度为，出度为0的顶点的顶点(4) 内点内点入度为入度为1，出度不为，出度
16、不为0的顶点的顶点(5) 分支点分支点树根与内点的总称树根与内点的总称(6) 顶点顶点v的的层数层数从树根到从树根到v的通路长度的通路长度(7) 树高树高T 中层数最大顶点的层数中层数最大顶点的层数(8) 平凡根树平凡根树平凡图平凡图18根根树实例树实例根树的画法根树的画法树根放上方，省去所有有向边上的箭头树根放上方，省去所有有向边上的箭头19家族树与根子树家族树与根子树定义定义16.7 T 为非平凡根树为非平凡根树(1) 祖先与后代祖先与后代(2) 父亲与儿子父亲与儿子(3) 兄弟兄弟定义定义16.8 设设v为根树为根树T中任意一顶点，称中任意一顶点，称v及其后代的导出子及其后代的导出子图为
17、以图为以v为根的为根的根子树根子树.20根树的分类根树的分类(1) T 为为有序根树有序根树同层上顶点标定次序的根树同层上顶点标定次序的根树(2) 分类分类 r 叉树叉树每个分支点至多有每个分支点至多有r 个儿子个儿子 r 叉有序树叉有序树r 树是有序的树是有序的 r 叉正则树叉正则树每个分支点恰有每个分支点恰有r 个儿子个儿子 r 叉正则有序树叉正则有序树 r 叉完全正则树叉完全正则树树叶层数相同的树叶层数相同的r叉正则树叉正则树 r 叉完全正则有序树叉完全正则有序树21定义定义16.9 设设2叉树叉树T 有有t片树叶片树叶v1, v2, , vt，权分别为，权分别为w1, w2, , wt
18、，称，称 为为T 的权，其中的权，其中l(vi)是是vi 的层数的层数. 在所有有在所有有t片树叶，带权片树叶，带权w1, w2, , wt 的的2叉树中，权最小的叉树中，权最小的2叉树称为叉树称为最优最优2叉树叉树. 最优二叉树最优二叉树求最优树的算法求最优树的算法 Huffman算法算法给定实数给定实数w1, w2, , wt，且，且w1 w2 wt. (1) 连接权为连接权为w1, w2的两片树叶，得一个分支点，其权为的两片树叶，得一个分支点，其权为w1+w2.(2) 在在w1+w2, w3, , wt 中选出两个最小的权，连接它们对应中选出两个最小的权，连接它们对应的顶点的顶点(不一定
19、是树叶不一定是树叶)，得新分支点及所带的权，得新分支点及所带的权. (3) 重复重复(2)，直到形成，直到形成 t 1个分支点，个分支点，t片树叶为止片树叶为止. 22例例 5 求带权为求带权为1, 1, 2, 3, 4, 5的最优树的最优树. 解题过程由图解题过程由图9给出，给出，W(T)=3823最佳前缀码最佳前缀码定义定义16.10 设设 1, 2, , n-1, n是长度为是长度为 n 的符号串的符号串(1) 前缀前缀 1, 1 2, , 1 2 n 1 (2) 前缀码前缀码 1, 2, , m中任何两个元素互不为前缀中任何两个元素互不为前缀(3) 二元前缀码二元前缀码 i (i=1,
20、 2, , m) 中只出现两个符号，如中只出现两个符号，如0与与1. 如何产生二元前缀码？如何产生二元前缀码？定理定理16.6 一棵一棵2叉树产生一个二元前缀码叉树产生一个二元前缀码.推论推论 一棵正则一棵正则2叉树产生惟一的前缀码（按左子树标叉树产生惟一的前缀码（按左子树标0，右子树标，右子树标1）24图所示二叉树产生的前缀码为图所示二叉树产生的前缀码为 00, 10, 11, 011, 0100, 0101 25用用Huffman算法产生最佳前缀码算法产生最佳前缀码例例6 在通信中，八进制数字出现的频率如下：在通信中，八进制数字出现的频率如下： 0：25% 1：20% 2：15% 3：10
21、% 4：10% 5：10% 6：5% 7：5%求传输它们的最佳前缀码，并求传输求传输它们的最佳前缀码，并求传输10n（n 2）个按上述）个按上述比比例出现的八进制数字需要多少个二进制数字？若用等长的例出现的八进制数字需要多少个二进制数字？若用等长的（长为（长为3）的码字传输需要多少个二进制数字？）的码字传输需要多少个二进制数字？26解解 用用100个八进制数字中各数字出现的个数，即以个八进制数字中各数字出现的个数，即以100乘各频乘各频率为权，并将各权由小到大排列，得率为权，并将各权由小到大排列，得w1=5, w2=5, w3=10, w4=10, w5=10, w6=15, w7=20, w
22、8=25. 用此权产生的最优树如图所示用此权产生的最优树如图所示. 求最佳前缀码求最佳前缀码 01-0 11-1 001-2 100-3 101-4 0001-500000-6 00001-7W(T)=285，传传10n(n 2)个个用二进制数字需用二进制数字需2.85 10n个个， 用等长码需用等长码需3 10n个数字个数字. 27波兰符号法与逆波兰符号法波兰符号法与逆波兰符号法行遍或行遍或周游根树周游根树T对对T的每个顶点访问且仅访问一次的每个顶点访问且仅访问一次. 对对2叉有序正则树的周游方式：叉有序正则树的周游方式： 中序行遍法中序行遍法次序为：左子树、根、右子树次序为：左子树、根、右
23、子树 前序行遍法前序行遍法次序为：根、左子树、右子树次序为：根、左子树、右子树 后序行遍法后序行遍法次序为：左子树、右子树、根次序为：左子树、右子树、根对图所示根树按中序、前序、对图所示根树按中序、前序、后序行遍法访问结果分别为：后序行遍法访问结果分别为： b a (f d g) c e， a b (c (d f g) e)， b (f g d) e c) a28用用2叉有序正则树存放算式叉有序正则树存放算式存放规则存放规则l最高层次运算放在树根最高层次运算放在树根l后依次将运算符放在根子后依次将运算符放在根子树的根上树的根上l数放在树叶上数放在树叶上l规定：被除数、被减数放规定：被除数、被减
24、数放在左子树树叶上在左子树树叶上 算式算式 (b+(c+d) a) (e f) (g+h) (i j)存放在图所示存放在图所示2叉树上叉树上. 29波兰符号法波兰符号法波兰符号法波兰符号法按前序行遍法访问存放算式的按前序行遍法访问存放算式的2叉有序正则树，其结果不加叉有序正则树，其结果不加括号，规定每个运算符号与其后面紧邻两个数进行运算，运括号，规定每个运算符号与其后面紧邻两个数进行运算，运算结果正确算结果正确. 称此算法为波兰符号法或前缀符号法称此算法为波兰符号法或前缀符号法. 对上图对上图的的访问结果为访问结果为 b + c d a e f + g h i j 逆波兰符号法逆波兰符号法按后
25、序行遍法访问，规定每个运算符与前面紧邻两数运算，按后序行遍法访问，规定每个运算符与前面紧邻两数运算，称为逆波兰符号法或后缀符号法称为逆波兰符号法或后缀符号法. 对上图的访问结果为对上图的访问结果为 b c d + + a e f g h + i j 30第十六章第十六章 习题课习题课主要内容主要内容l无向树及其性质无向树及其性质l生成树、最小生成树、基本回路系统、基本割集系统生成树、最小生成树、基本回路系统、基本割集系统l根树及其分类、最优树、最佳前缀码、波兰符号法、逆波根树及其分类、最优树、最佳前缀码、波兰符号法、逆波兰符号法兰符号法基本要求基本要求l深刻理解无向树的定义及性质深刻理解无向树
26、的定义及性质l熟练地求解无向树熟练地求解无向树l准确地求出给定带权连通图的最小生成树准确地求出给定带权连通图的最小生成树l深刻理解基本回路、基本割集的概念，并会计算深刻理解基本回路、基本割集的概念，并会计算l理解根树及其分类等概念理解根树及其分类等概念l会画会画n阶（阶（n较小）非同构的无向树及根树（较小）非同构的无向树及根树（1 n 6）l熟练掌握求最优树及最佳前缀码的方法熟练掌握求最优树及最佳前缀码的方法l掌握波兰符号法与逆波兰符号法掌握波兰符号法与逆波兰符号法31（2）（3）从而解出从而解出练习练习11. 无向树无向树 T 有有ni个个i 度顶点，度顶点，i=2, 3, ,k，其余顶点全
27、是树叶，其余顶点全是树叶，求求T 的树叶数的树叶数. 解解 用树的性质：边数用树的性质：边数 m=n 1（n为阶数），及握手定理为阶数），及握手定理. (1) 322设设n阶非平凡的无向树阶非平凡的无向树T中，中， (T) k，k 1. 证明证明T至少至少 有有k片树叶片树叶. 证证 反证法反证法. 否则，否则，T至多有至多有s片树叶，片树叶，s k，下面利用握手定理及树的，下面利用握手定理及树的性质性质m = n 1推出矛盾推出矛盾. 由于由于 (T) k，故存在，故存在v0，d(v0) k. 于是，于是，由此解出由此解出s k，这与与s k矛盾矛盾. 证本本题的方法有多种，的方法有多种，请
28、用分支点都是割点来用分支点都是割点来证明明.练习练习2333设G为n 阶无向无向简单图，n 5，证明明G 或或 中必含圈中必含圈.本本题的方法很多，的方法很多，证明中用：明中用：G与与 边数之和为边数之和为Kn的边的边数数 ，以及树的性质：，以及树的性质：m = n 1.方法一方法一. 反反证法法. 否否则G与与 的各连通分支都是树的各连通分支都是树. 设设G与与 的连通分支分别为的连通分支分别为G1, G2, , Gs和和G 1, G 2, , G s . 令令ni, mi与与 n j, m j 分别为分别为Gi, G j的顶点数和边数的顶点数和边数. 于是于是得得 n2 5n+4 0， 解
29、出解出 1 n 4, 矛盾于矛盾于n 5. 练习练习334方法二方法二. 在在G与与 中存在一个，比如说中存在一个，比如说G，它的边数，它的边数用反证法证明用反证法证明G中必含圈中必含圈. 比方法一简单比方法一简单.方法三方法三. 不妨设不妨设G的边数的边数由于由于n 5，得，得m n. 再用反证法证明之，更简单再用反证法证明之，更简单. 练习练习3354画出基图为图所示无向树的所有非同构的根树画出基图为图所示无向树的所有非同构的根树 练习练习4以以a, b, c 或或d为根的根树同构，选为根的根树同构，选a为根，则根为根，则根树如图树如图(1); 以以 e 与与 g 为根的根树同构，取为根的
30、根树同构，取 g为为根，则根树如图根，则根树如图(2)； 以以 f 为根，如图为根，如图(3) 所所示示. (1) (2) (3) 365设设T 是正则是正则2叉树，叉树，T 有有t 片树叶，证明片树叶，证明T的阶数的阶数 n=2t 1. 方法一方法一. 利用正利用正则2叉叉树的定的定义及及树的性的性质直接直接证明明.(1) n = t+i (i为分支点数为分支点数)(2) n = m+1 （m为为T的边数）的边数）(3) m = 2i （正则（正则2叉树定义）叉树定义）由由(2)、(3)得得 ，代入（，代入（1）得）得n = 2t 1. 练习练习5方法二方法二. 利用握手定理及树的性质证利用握手定理及树的性质证.T的树根为的树根为2度顶点，所有内点为度顶点，所有内点为3度顶点，当然叶为度顶点，当然叶为1度度顶点，有顶点，有(1) 2m = 2+3(i 1)+t(2) n = m+1 = i+t由由(1) 和和(2) 可解出可解出n = 2t 1. 37
