《概率论与数理统计：第3章 第四节相互独立的随机变量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计：第3章 第四节相互独立的随机变量（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、概率统计两事件两事件A, B独立的定义是：独立的定义是：若若P (AB) = P (A) P(B)则称事件则称事件 A, B相互独立相互独立 .第三节第三节 相互独立的随机变量相互独立的随机变量 两随机变量独立概念的引出两随机变量独立概念的引出 问：问： 若若 X, Y 是两个随机变量，若对任意的是两个随机变量，若对任意的x, y,有有则能否得出则能否得出 X, Y 相互相互独立独立 ？概率统计一一. 随机变量相互独立的定义随机变量相互独立的定义设设 (X,Y) 的的 联合分布函数及边缘分布函数联合分布函数及边缘分布函数为为F(x,y) 若对任意的若对任意的 x, y都有都有:则则 称称 随机
2、变量随机变量 X和和 Y是是相互独立的相互独立的.二二. 当当 (X,Y) 为离散型随机变量为离散型随机变量X和和Y相互独立相互独立是是的所有可能的取值的所有可能的取值概率统计例例1. 设设 X,Y 相互独立，它们的分布律分别为相互独立，它们的分布律分别为:求求: (X,Y) 的联合分布律的联合分布律.解解:相互独立相互独立从而：从而：概率统计依次可得依次可得 (X,Y) 的联合分布律为的联合分布律为:XY从此例可得出：对离散型随机变量而言，已知联合分布律从此例可得出：对离散型随机变量而言，已知联合分布律可求出其相应的边缘分布律，但反之则不然。而一旦已知可求出其相应的边缘分布律，但反之则不然。
3、而一旦已知 X,Y 相互独立条件后，则可由边缘分布律直接求得其联合相互独立条件后，则可由边缘分布律直接求得其联合分布律。分布律。概率统计 三三. 当当 (X,Y) 为连续型随机变量为连续型随机变量设设 (X,Y) 服从正态分布，其边缘分布密度为：服从正态分布，其边缘分布密度为：例例2.概率统计问问: X 和和 Y 相互独立的充分必要条件是什么相互独立的充分必要条件是什么?解解:要要 则比较可知其充分必要条件是：则比较可知其充分必要条件是：概率统计(1) 联合概率密度及边缘概率密度联合概率密度及边缘概率密度(2) 检验检验 X 和和 Y 是否相互独立是否相互独立(3) (X,Y) 的联合分布函数
4、的联合分布函数(4)例例3.求求:解解: (1). 设随机变量设随机变量 (X,Y) 在矩形域在矩形域: 内服从均匀分布内服从均匀分布(X,Y) 服从均匀分布服从均匀分布由题意在由题意在区域内区域内概率统计在矩形在矩形 上上:所以，其联合概率密度为：所以，其联合概率密度为：概率统计在其它域上在其它域上:(2).所以得其边缘概率密度分别为：所以得其边缘概率密度分别为：与与相互独立相互独立概率统计(3).视它为不视它为不可能事件可能事件概率统计概率统计故故(X,Y)的联合分的联合分布函数为布函数为概率统计(4).甲乙两人约定中午甲乙两人约定中午12时时30分在某地会面。分在某地会面。设甲在时间设甲
5、在时间12:15到到12:45之间到达某地之间到达某地是均匀分布；乙独立地到达，而且到达是均匀分布；乙独立地到达，而且到达时间在时间在12:00到到13:00之间也是均匀分布之间也是均匀分布. 试求：试求：(1) 先到的人等待另一人到达的先到的人等待另一人到达的 时间不超过时间不超过5分钟的概率分钟的概率. (2) 甲先到的概率甲先到的概率例例4.概率统计设设 X：甲到达时刻，甲到达时刻， Y：乙到达时刻：乙到达时刻若以若以12时为起点，以分为单位，依题意：时为起点，以分为单位，依题意：X U ( 15, 45 ), Y U ( 0, 60 )先到的人等待另一人先到的人等待另一人到达的时间不超
6、过到达的时间不超过5分钟分钟的概率的概率甲先到甲先到的概率的概率解解:且有：且有： 所求为所求为 ：P( |X - Y | 5 ) 及及 P( X Y )概率统计P(| X-Y| 5) =1/6=1/2 P ( X Y )解解:= P( -5 X -Y 5 )概率统计类似的问题如：类似的问题如： 甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独 立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可 能的能的 . 若甲船需停泊若甲船需停泊1小时，乙船需停泊小时，乙船需停泊 2小时小时 而该码头只能停泊一艘船而该码头只能停泊一艘船 试求：
7、其中一艘船要等待码头空出的概率试求：其中一艘船要等待码头空出的概率.概率统计 在在某某一一分分钟钟的的任任何何时时刻刻，信信号号进进入入收收音音机机是是等等可可能能的的. 若若收收到到两两个个互互相相独独立立的的这这种种信信号号的的时时间间间间隔隔小小于于0.5 秒，则信号将产生互相干扰秒，则信号将产生互相干扰. 求：发生两信号互相干扰的概率求：发生两信号互相干扰的概率.把长度为把长度为a 的线段在任意两点折断成为三线段的线段在任意两点折断成为三线段求：它们可以构成三角形的概率求：它们可以构成三角形的概率.长度为长度为a概率统计 四四. 个随机变量相互独立的概念个随机变量相互独立的概念定义定义
8、1.则称则称是相互独立的。是相互独立的。定义定义2. 若对所有的若对所有的有：有：若对所有的若对所有的有：有：其中其中依次为随机变量依次为随机变量和和的分布函数。则称的分布函数。则称和和是相互独立的。是相互独立的。关于关于 的边缘的边缘分布函数分布函数 概率统计若连续型随机向量（若连续型随机向量（X1, ,Xn）的概率密度）的概率密度函数函数 f (x1, , xn)可表示为可表示为 n 个函数个函数 g1, ,gn 之积，其中之积，其中gi 只依赖于只依赖于 xi，即，即 f (x1, ,xn) = g1(x1) gn(xn) 则则 X1, , Xn 相互独立，且相互独立，且 Xi 的边缘密度的边缘密度fi ( xi ) 与与 gi ( xi ) 只相差一个常数因子只相差一个常数因子.关于独立性的三个结果：关于独立性的三个结果：定理定理1概率统计 若若 X1, , Xn 相互独立，而：相互独立，而： Y1= g1 ( X1, ,Xm ), Y2= g2 ( Xm+1, , Xn ) 则则 Y1与与 Y2 相互独立相互独立. 定理定理 2 定理定理 3和和相互独立相互独立设设则则和和相互独立。相互独立。又若又若是连续函数，是连续函数，则：则：和和相互独立。相互独立。
