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1、级数的主要问题： (1)判敛，(2)求和正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义: :这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数. .部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列. .部分和数列特点部分和数列特点回忆回忆：单调数列收敛原理单调数列收敛原理单调数列有界，则必有极限。单调数列有界，则必有极限。2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件: :定理定理若收敛 , 部分和数列有界, 故从而又已知故有界.单调递增, 收敛 , 也收敛.证证: :“ ”问题：寻找更实用的判敛法。问题：寻找更实用的判敛法。3.比较审敛法比较审敛法证明证明即部分和数列有界即部分和数列
2、有界不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.注释：注释： 1. 条件改为条件改为 N,当当nN时时，不等式成立，则相应，不等式成立，则相应 结论仍成立。结论仍成立。(收敛级数性质收敛级数性质3) 2. 条件改为条件改为 N,当当nN时，时，un Cvn，则相应，则相应 结论仍成立。结论仍成立。(收敛级数性质收敛级数性质1) 3. 正项级数正项级数 un 发散发散, 则则 un=+ 。证明证明判别下列级数的敛散性：判别下列级数的敛散性： （2）含三角函数的级数常可考虑用比较判别法解解由图可知由图可知比较审敛法的不便比较审敛法的不便: 先要估计敛散性，找参考级先要估计敛散性，找参考级数数, 且不
3、等式不易估计。且不等式不易估计。重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. .4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: :设设 = =1nnu与与 = =1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; 当当时时, , 若若 = =1nnv发散发散, , 则则 = =1nnu发散发散; ;证明证明由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证.证明证明得证得证.得证得证.注意：注
4、意：比较审敛法的极限形式本质上是两个无穷比较审敛法的极限形式本质上是两个无穷小比阶，若同阶，则敛散性相同。小比阶，若同阶，则敛散性相同。因此可充分利因此可充分利用等价、同阶无穷小帮助分析用等价、同阶无穷小帮助分析 解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.证明证明原级数收敛原级数收敛发散发散取取 充分小，充分小，取取 充分小，充分小，比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 解解比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法级数收敛级数收敛.解解故原级数收敛。（亦可用比值法。） (2) (2) 常用常用(1) (1) 此法适用于通项中含以为
5、指数幂因子此法适用于通项中含以为指数幂因子当通项中既有又有以当通项中既有又有以n n为指数幂因子，为指数幂因子，用比值法。用比值法。(3) (3) 能用比值法判别，则一定能用根值法，反之能用比值法判别，则一定能用根值法，反之不然不然总之，（1）这一部分主要内容是级数的相关定义，级数的性质，正项级数的判别法对一个给定的级数，在判别其收敛性之前，应先分析清楚级数的结构，再选择适当的判别法这就要求我们熟练记住及运用级数的性质及判别法 （2）通过分析前面的例子，我们看到，熟练运用一些常见极限的结论，能进行灵活的极限运算及等价无穷小运算，对于我们准确地分析级数的敛散性有重要意义方法以此数列为一般项构造一
6、级数，证明此级数收敛，方法以此数列为一般项构造一级数，证明此级数收敛，由级数收敛的必要条件，得数列极限为零由此求数列由级数收敛的必要条件，得数列极限为零由此求数列极限又多了一种方法极限又多了一种方法思考与练习思考与练习设正项级数收敛, 能否推出收敛 ?提示提示: :由比较判敛法可知收敛 .注意注意: : 反之不成立.例如,收敛 ,发散 .1.1. 练习 判别级数的敛散性:解解: : (1)发散 , 故原级数发散 .不是 p级数(2)发散 ,故原级数发散 .二、交错级数及其审敛法定义定义: : 正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数. .证明证明满足收敛的两个条件满足收敛的
7、两个条件,定理证毕定理证毕.收敛收敛用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?发散收敛收敛解解原级数收敛原级数收敛.任意项级数任意项级数判敛方法：转化为之前的方法。而相关的级数判敛方法：转化为之前的方法。而相关的级数是正项级数，寻找两者关系？是正项级数，寻找两者关系？ 定义定义: : 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. .证明证明上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数注：注： （1）但逆命题不成立，例如）但逆命题不成立，例如（2）若）若 发散，则发散，则 不确定。不
8、确定。小结：小结：对于级数对于级数 发散，则发散，则 需另外判定。需另外判定。三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛问题：为何要区分这两种情况？如何判断任意项级数的问题：为何要区分这两种情况？如何判断任意项级数的 敛散性？敛散性？为条件收敛为条件收敛 .例如例如 ：均为绝对收敛均为绝对收敛.类似地，令类似地，令均收敛；均收敛；均发散。均发散。为何要区分这两种情况？为何要区分这两种情况？绝对收敛级数的性质.则任意交换此级数各项次序后所得的新级数也绝对收敛，且和仍为S。如果级数绝对收敛，且其和为S， 条件收敛的级数不具备这个性质，而且可以证明，条件收敛的级数不具备这个性质，而且可以证明，对于
9、条件收敛的级数，适当地交换各项的次序所组成的对于条件收敛的级数，适当地交换各项的次序所组成的级数，可以收敛于任何预先给定的数或发散级数，可以收敛于任何预先给定的数或发散. 例如，例如，是条件收敛的，设其和为S，即将上式两边都乘以1/2，得上式可以改写为根据收敛级数的性质，两个收敛的级数可以逐项相加，是更序级数，但是和为. 解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.方法：一般先判断绝对收敛性方法：一般先判断绝对收敛性小结小结：若用比值法或根值法判别了若用比值法或根值法判别了 发散，则原发散，则原级数一定发散。级数一定发散。其他例其他例2.2. 则级数(A) 发散 ; (B) 绝对收敛
10、;(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.分析分析: : (B) 错 ;又C，若 是两个级数， 仿有限和相乘的规则，仿有限和相乘的规则，乘积所有可能的项为乘积所有可能的项为柯柯西西乘乘积积这些项可以用各种方式排成数列，从而构成级数这些项可以用各种方式排成数列，从而构成级数若级数若级数 ， 都绝对收敛，他们的和分别是都绝对收敛，他们的和分别是s和和 ，则它们的柯西乘积，则它们的柯西乘积也绝对收敛，且和为也绝对收敛，且和为s .四、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法,8 .积积分法分法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;内容小结内容小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数审敛法利用正项级数审敛法必要条件必要条件不满足不满足发发 散散满足满足比值审敛法比值审敛法根值审敛法根值审敛法收收 敛敛发发 散散不定 比较审敛法比较审敛法用它法判别积分判别法积分判别法部分和极限部分和极限
